Thạc Sĩ Xây dựng đường cong chỉnh hình với một tập vô hạn số khuyết

Lời mở đầu
Lý thuyết Nevanlinna ra đời vào những năm đầu của thế kỷ 20 và đã
nhận được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới. Lý thuyết
Nevanlinna cổ điển nghiên cứu sự phân bố giá trị của hàm phân hình f thông
qua hàm đặc trưng T(f; a; r) - hàm đo cấp tăng của hàm phân hình, hàm đếm
N(f; a; r) - đếm số lần hàm f nhận giá trị a trong đĩa bán kính r, và hàm
xấp xỉ m(f; a; r) - đo độ gần đến a của hàm f (xem Định nghĩa 1.1.3, 1.1.1,
và 1.1.2). Trọng tâm của lý thuyết này là hai định lý cơ bản. Định lý cơ bản
thứ nhất thể hiện sự độc lập của hàm đặc trưng với mọi giá trị a 2 C[f1g.
Định lý cơ bản thứ hai nói rằng với hầu hết các giá trị a, hàm đếm N(f; a; r)
trội hơn hẳn hàm xấp xỉ m(f; a; r). Điều này dẫn đến định nghĩa số khuyết
của hàm f tại giá trị a như sau
(f; a) := lim inf
r!1
f1
N(f; a; r)
T(f; a; r)
g:
Giá trị a được gọi là giá trị khuyết cho hàm f nếu (f; a) > 0. Quan hệ số
khuyết là một dạng phát biểu khác của Định lý cơ bản thứ hai của Nevanlinna,
cụ thể là Nevanlinna đã chứng minh rằng
X
a2C[f1g
(f; a) 6 2:
Mặt khác, Định lý cơ bản thứ nhất cho ta thấy rằng số khuyết của hàm phân
hình tại một giá trị nào đó nằm trong đoạn [0; 1]: Hơn nữa người ta đã chứng
minh được rằng tập các giá trị khuyết là đếm được. Như vậy một câu hỏi tự
nhiên được đặt ra là: Cho 1  i  N  1; giả sử fig là dãy các số thực
không âm sao cho
0 < i  1;
X
i
i  2:
2
3
Giả sử ai; là các số phân biệt trong C [ f1g: Tồn tại hay không hàm phân
hình f trên C thỏa mãn (f; ai) = i; và (f; a) = 0 cho mọi a =2 faig?
Câu hỏi trên còn được biết như là bài toán ngược của Nevanlinna.
Đã có nhiều nhà toán học nghiên cứu bài toán ngược của Nevanlinna, cụ
thể Nevanlinna [9], Lê Văn Thiêm [11], Hayman [4], . đã giải quyết bài toán
này cho một số trường hợp đặc biệt. Đến năm 1976 vấn đề trên đã được giải
quyết trọn vẹn bởi D. Drasin trong [3]. Trong công trình này, Drasin không
chỉ xét bài toán ngược của Nevanlinna cho số khuyết mà còn cho số khuyết
rẽ nhánh. Vậy, bài toán về sự tồn tại của hàm phân hình với hữu hạn hay vô
hạn giá trị khuyết đã được nghiên cứu khá trọn vẹn.
Như ta đã biết hàm phân hình có thể được xem là đường cong chỉnh
hình từ C vào P1(C). Do đó, việc mở rộng lý thuyết Nevanlinna cổ điển
cho các đường cong chỉnh hình vào Pn(C) với n > 2 là một điều tự nhiên.
H. Cartan [1] đã chứng minh định lý sau (được gọi là định lý Nevanlinna-
Cartan cho đường cong chỉnh hình cắt các siêu phẳng)
Định lý. Cho đường cong chỉnh hình f : C ! Pn(C). Cho H1; : : : ;Hq là
các siêu phẳng ở vị trí tổng quát trong không gian xạ ảnh Pn(C). Khi đó
Xq
j=1
(Hj ; f) 6 n + 1:
Tương tự với trường hợp hàm phân hình, người ta cũng nghiên cứu tính
chất của số khuyết của đường cong chỉnh hình. Với n > 2, các ví dụ về
đường cong chỉnh hình với hữu hạn giá trị khuyết đã được đưa ra bởi nhiều
tác giả, trong khi đó, việc xây dựng đường cong chỉnh hình có vô hạn giá trị
khuyết không dễ chút nào. Năm 2004, N. Toda [12] đã nghiên cứu và đưa ra
các ví dụ cho đường cong chỉnh hình với một tập vô hạn giá trị khuyết.
Mục đích chính của luận văn là trình bày lại những kết quả đó của N. Toda
một cách có chọn lọc theo bố cục riêng của tác giả nhằm trả lời một phần
các câu hỏi trên.
Luận văn được chia thành 2 chương.
Chương1. Kiến thức chuẩn bị. Được trình bày với mục đích cung cấp các
kiến thức cần thiết để cho người đọc dễ theo dõi chứng minh các kết quả
của chương sau. Trong chương này, chúng tôi sẽ nhắc lại một số tính chất cơ
4
bản của lý thuyết Nevanlinna: Các hàm Nevanlinna cho hàm phân hình và
cho đường cong chỉnh hình, quan hệ số khuyết cho hàm phân hình và những
kiến thức liên quan, và chứng minh rằng tập hợp các giá trị a sao cho hàm
số khuyết của một hàm phân hình tại điểm a dương là đếm được.
Chương 2. Đường cong chỉnh hình với vô số giá trị khuyết. Đây là chương
chính của luận văn. Trong chương này, chúng tôi sẽ xây dựng các đường cong
chỉnh hình có vô số số khuyết dương. Chương này được chia thành hai phần.
Phần thứ nhất, chúng tôi đưa ra các kết quả bổ trợ như xây dựng lại khái
niệm hàm đếm, hàm xấp xỉ, hàm đặc trưng, số khuyết, giá trị khuyết, . cho
đường cong chỉnh hình và một số tính chất cơ bản, dễ thấy nhưng tương đối
quan trọng vì nó được sử dụng nhiều khi chứng minh những kết quả sâu hơn
ở những phần sau.
Phần thứ hai, trình bày các ví dụ về đường cong chỉnh hình với vô số giá trị
khuyết. Kết quả chính của chương này là Định lý 2.2.8 và Định lý 2.2.9.
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình, nghiêm túc của
TS. Tạ Thị Hoài An. Dưới sự hướng dẫn của cô, tôi đã bước đầu làm quen và
say mê hơn trong nghiên cứu toán. Nhân đây, tôi xin bày tỏ lòng kính trọng
và biết ơn sâu sắc tới cô.
Tôi xin trân trọng cảm ơn ban lãnh đạo khoa Toán, khoa Sau đại học
ĐHSPTN, Viện Toán học Việt Nam, các thầy, cô giáo đã trang bị kiến thức,
tạo điều kiện cho tôi trong thời gian học tập, đặc biệt là thầy Hà Trần Phương.
Tôi xin được gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu và các đồng nghiệp của
tôi ở trường THPT Lương Thế Vinh Thái Nguyên, các anh, chị học viên lớp
cao học khoá 14 đã giúp đỡ tôi rất nhiều trong quá trình học tập. Nhân đây,
tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới bạn Nguyễn Tuấn Long đã giúp đỡ tôi rất
nhiều trong quá trình nghiên cứu.
Cuối cùng, tôi xin được bày tỏ sự biết ơn tới gia đình: bố, mẹ, và em gái
đã tạo điều kiện tốt nhất cho tôi được học tập và hoàn thành luận văn này.
Mục lục
Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Lời mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1 Kiến thức chuẩn bị 5
1.1 Các hàm Nevanlinna cho hàm phân hình. . . . . . . . . . . . . 5
1.2 Quan hệ số khuyết cho hàm phân hình . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Các hàm Nevanlinna cho đường cong chỉnh hình. . . . . . . . 17
2 Đường cong chỉnh hình với vô số giá trị khuyết 20
2.1 Các kết quả bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Các ví dụ về đường cong chỉnh hình với vô số giá trị khuyết. . 31
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Tài liệu tham khảo 42
[charge=450]http://up.4share.vn/f/7d4c44494c4f4b45/LV_08_SP_TH_DTHN.pdf.file[/charge]