Thạc Sĩ Về nhóm con của nhóm so(3)

[TABLE="width: 100%"]
[TR]
[/TR]
[TR]
[TD="width: 5%"][/TD]
[TD="width: 90%"] Lời nói đầu
Nhóm các phép quay SO(3) xuất hiện nhiều trong các lĩnh vực khác
nhau của toán học do đó nó là một đối tượng kinh điển đã được nghiên cứu
bởi nhiều nhà toán học. Đối tượng được trình bày trong luận văn là nhóm
con của nhóm SO(3) sinh bởi hai phép quay có bậc hữu hạn quanh các trục
vuông góc.
Nhóm các phép quay này được quan tâm nghiên cứu do nó có ứng dụng
trong lí thuyết Tilings, một lí thuyết nghiên cứu quá trình phủ không gian
bằng các bản copy của một số hữu hạn các hình đa diện cho trước. Tuy nhiên
trong khuôn khổ của một luận văn Cao học, chúng tôi chỉ tập trung tìm hiểu
kết quả đại số thuần tuý mà không trình bày được lí thuyết Tilings.
Bài toán đại số nghiên cứu trong luận văn là tìm hiểu cấu trúc đại số của
các nhóm con sinh bởi hai phép quay quanh hai trục vuông góc với
các góc quay lần lượt là và . Chúng ta nghiên cứu nhóm con này
với chú ý là ta đã có một số kết quả bước đầu như sau: Nếu hoặc bằng 1,
là nhóm Cyclic hữu hạn; nếu hoặc bằng 2, là nhóm nhị
diện hữu hạn; là nhóm đối xứng của các hình lập phương; còn tất
cả các trường hợp khác là trù mật trong SO(3). Luận văn được trình
bày theo bài báo [4] của hai tác giả C.radin và L.Sadun (năm 1998). Kết quả
chính đầu tiên của luận văn chính là định lí cấu trúc (Định lí 2.1.2), chỉ ra
rằng nhóm đẳng cấu với tích tự do và tích tự do với nhóm con chung
của các nhóm đơn giản là nhóm cyclic hay nhóm nhị diện. Kết quả tiếp theo
là định lí về dạng chuẩn tắc của các phần tử nói rằng mọi phần tử của nhóm
đều có thể biểu diễn một cách duy nhất dưới dạng tích của một số
phần tử có dạng cụ thể (Xem định lí 2.2.1 và 2.2.6). Ngoài ra trong phần
cuối luận văn còn nghiên cứu một ví dụ về nhóm con của nhóm SO(3) sinh
bởi hai phép quay với các góc quay là tích của với một số vô tỉ hay siêu
việt. Bằng cách sử dụng kĩ thuật như phần đầu, luận văn chứng minh được
một số trường hợp nhóm trong ví dụ là đẳng cấu với nhóm tự do sinh bởi hai
phần tử. Luận văn gồm 3 chương.
Chương 1 dành để giới thiệu các khái niệm, các tính chất đặc trưng và
các ví dụ minh họa về phép quay và ma trận phép quay; nhóm tự do; tích tự
do; tích tự do với nhóm con chung nhằm phục vụ cho chương sau.
Chương 2 là chương trình bày những nội dung chính của luận văn gồm
hai phần. Phần 1 trình bày biểu diễn cho nhóm . Phần 2 trình bày
dạng chính tắc cho mỗi phần tử của nhóm .
Chương 3 trình bày thêm một ví dụ nghiên cứu về nhóm các phép quay
trong đó có góc quay là một số vô tỉ cho trước nhân với . Sau đó
trình bày ví dụ nghiên cứu bước đầu về nhóm với (tương đương
) là siêu việt.

Luận văn được hoàn thành với sự hướng dẫn tận tình của Thầy Ts. Vũ
Thế Khôi. Tôi xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy.
Tôi xin trân trọng cám ơn ban lãnh đạo khoa toán ĐHSP Thái Nguyên,
khoa sau đại học ĐHSP Thái Nguyên, cám ơn các thầy cô giáo đã trang bị
cho tôi kiến thức cơ sở.
Tôi xin trân trọng cám ơn ban giám hiệu và các bạn đồng nghiệp trường
THPT chuyên Hà Giang, xin trận trọng cám ơn những người thân, bạn bè và
lớp cao học toán K14 đã động viên giúp đỡ tôi trong qua trình hoàn thành
luận văn.
5
4[/TD]
[/TR]
[/TABLE]
[charge=450]http://up.4share.vn/f/66575f525755505f/LV_08_SP_TH_DVH.pdf.file[/charge]