Luận Văn Xây dựng vành chia theo Mal'cev-Neumann, vành chia hữu hạn địa phương yếu

MỤC LỤC


PHẦN MỞ DẦU 1
PHẦN NỘI DUNG 3
Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3
Chương 2 VÀNH CHIA MAL’CEV NEUMANN 3
Chương 3 VÀNH CHIA HỮU HẠN ĐỊA PHƯƠNG YẾU 3
PHẦN KẾT LUẬN 4
TÀI LIỆU THAM KHẢO 5
THỜI GIAN LÀM LUẬN VĂN 6



PHẦN MỞ ĐẦU

I MỞ DẦU
Vành chia là một lĩnh vực có nhiều ứng dụng trong nội tại toán học, đặc biệt là trong nghiên cứu lý thuyết nhóm và trong rất nhiều ngành khoa học khác. Việc xây dựng lớp các vành chia mới là nội dung được nhiều nhà khoa học trên thế giới quan tâm và tập trung nghiên cứu để từ đó phát hiện những tính chất quan trọng với nhiều ứng dụng của vành chia. Mặc dù vành chia nói chung đã xuất hiện trên các bài báo, đặc biệt là liên quan tới nền tảng hình học, rất ít thuộc tính của chúng được biết đến, ngay cả những ví dụ cụ thể của chúng cũng không dễ dàng xây dựng. Trường hợp đầu tiên được nghiên cứu bởi Hilbert về vành chia gồm các chuỗi lũy thừa vào năm 1899 chỉ ra rằng, vành chia thứ tự không Archimedean không nhất thiết giao hoán. Các bài báo trong các năm 1930, 1940, 1960 của Moufang , Mal’cev, B.H. Neumann, Amitsur và một số tác giả khác đã cho thấy rằng, một đại số tự do có thể nhúng vào một vành chia. Đây là một cách xây dựng mới về vành chia trên lớp các chuỗi Laurent rõ ràng và có nhiều ứng dụng
Định lý về vành chia theo Mal’cev Neumann đem lại công cụ quan trọng trong việc nghiên cứu về lý thuyết đại số nói chung và đặc biệt là về lý thuyết nhóm. Hiện nay, nhiều tác giả khoa học vẫn tiếp tục nghiên cứu nội dung này để làm rõ hơn các tính chất của vành chia và xây dựng lý thuyết nhóm trên vành chia đó. Vì vậy, tôi chọn đề tài “Xây dựng vành chia theo Mal’cev Neumann”.
II TỔNG QUAN
Lịch sử của lý thuyết của vành chia bắt đầu với nhóm quaternion được khám phá bởi W. R. Hamilton (1843) được coi là đỉnh cao trong sự nghiệp của ông. Tuy nhiên, để có một lý thuyết rõ ràng mạch lạc, người ta đã phải chờ đợi. Đến năm 1930, nó đã được làm rõ bởi Hasse, Brauer, E. Noether và Albert. Nhưng nó chỉ dừng lại ở việc xét các vành chia hữu hạn chiều trên tâm của nó. Đối với vành chia nói chung, nó cũng được nghiên cứu trên một vài bài báo mà chưa làm rõ được nhiều thuộc tính cũng như việc chỉ ra các ví dụ một cách rõ ràng. Năm 1899, Hilbert làm rõ tính chất vành không Archimedean không nhất thiết phải giao hoán khi nghiên cứu trên vành các chuỗi lũy thừa. Vào những năm 1930, 1940, 1960 lần lượt Moufang, Malcev, B. H. Neumann, Amitsur và một số tác giả khác đã chỉ ra rằng một đại số tự do có thể nhúng vào trong một vành chia. Nhiều tác giả sau đó tiếp tục hướng nghiên cứu về phép nhúng vào một vành chia. Điều này đã dẫn đến sự phát triển của vành ideal tự do. Nó đã chứng tỏ rằng tích tự do của các vành chia là vành ideal tự do (năm 1963). Đến năm 1971, ta đã chỉ ra rằng có thể nhúng vành ideal tự do vào một vành chia.
Ngày nay, nghiên cứu các thuộc tính của vành chia được nhiều tác giả trong và ngoài nước tiếp tục làm rõ. Đối với sinh viên và học viên cao học, nội dung kiến thức về vành chia nói chung và vành chia Mal’cev Neumann cần được nắm vững và phát triển sâu hơn. Vì vậy, đề tài luận văn về “Xây dựng vành chia theo Mal’cev Neumann” nhằm cung cấp những kiến thức cơ bản, cụ thể và rõ ràng về phương pháp cũng như đưa ra lớp các vành chia hữu hạn địa phương yếu là cơ sở để phát triển hơn nữa lý thuyết nhóm trong thời gian sắp tới.

PHẦN NỘI DUNG

Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Vành nhóm (group rings)
1.2 Trường và lý thuyết Galois
1.3 Nhóm con subnormal, nhóm torsion
Chương 2
VÀNH CHIA MAL’CEV NEUMANN

2.1 Nhóm sắp thứ tự toàn phần
2.2 Tập sắp thứ tự tốt
2.3 Vành chia Mal’cev Neumann
Chương 3
VÀNH CHIA HỮU HẠN ĐỊA PHƯƠNG YẾU

3.1 Một vài khái niệm
3.2 Xây dựng vành chia hữu hạn địa phương yếu
3.3 Giả thiết Hertein đối với vành chia hữu hạn địa phương yếu
3.4 Nhóm tuyến tính trên vành chia hữu hạn địa phương yếu

PHẦN KẾT LUẬN