Tài liệu Xây dựng và sử dụng hệ thống bài tập có nội dung hình học để bước đầu rèn luyện tư duy logic cho học

ĐỀ TÀI: Xây dựng và sử dụng hệ thống bài tập có nội dung hình học để bước đầu rèn luyện tư duy logic cho học sinh lớp 5

MỞ ĐẦU
1. Lư do chọn đề tài
1.1. Loài người đang bước vào kỷ nguyên mới với sự phát triển mạnh mẽ của khoa học công nghệ thông tin. Thời đại văn minh đ̣i hỏi người lao động cũng phải có sự thay đổi mạnh mẽ về chất lượng. Lao động không chỉ dừng lại ở lao động thủ công thuần tuư mà đ̣i hỏi phải có tri thức, tŕnh độ, tư duy, năng động và sáng tạo. Mặt khác, xu thế toàn cầu hoá đang diễn ra và lôi kéo tất cả các nước trên thế giới trong đó có Việt Nam. Điều đó đặt ra vấn đề là Việt Nam phải thúc đẩy nhanh sự nghiệp công nghiệp hoá - hiện đại hoá để sớm trở thành một nước công nghiệp phát triển. Việt Nam muốn vươn lên phát triển và khẳng định ḿnh th́ phải đổi mới một cách toàn diện. Việt Nam muốn hoà nhập chứ không bị hoà tan th́ phải tạo ra một đội ngũ lao động có đầy đủ những phẩm chất của con người lao động mới.
ĐÓ đáp ứng những nhu cầu thực tiễn xă hội trước hết và đ̣i hỏi phải có sự chuyển biến mạnh mẽ của ngành Giáo dục - Đào tạo. Bởi v́ Giáo dục - Đào tạo là quốc sách hàng đầu. Trong những năm qua, Đảng và Nhà nước đă rất quan tâm đến vấn đề đổi mới trong giáo dục và đào tạo. Nghị quyết Hội nghị lần thứ tư Bạn chấp hành trung ương Đảng khoá VII đă chỉ rơ: “Đổi mới giáo dục phải đổi mới phương pháp dạy và học ở tất cả các cấp học, bậc học; phải áp dụng những phương pháp dạy học hiện đại để bồi dưỡng cho học sinh năng lực tư duy sáng tạo và năng lực giải quyết các vấn đề, h́nh thành nhân cách con người Việt Nam xă hội chủ nghĩa”[10, 64], mà muốn có năng lực giải quyết vấn đề cần phải có năng lực tư duy logic,muốn có năng lực tư duy sáng tạo th́ phải rèn luyện cho các em biết tư duy, suy luận một cách logic. Như vậy việc bồi dưỡng và rèn luyện tư duy logic cho học sinh là một nhiệm vụ quan trọng của nhà trường phổ thông.
1.2. Bậc tiểu học là bậc học nền tảng“giúp học sinh h́nh thành những có sở ban đầu cho sự phát triển đúng đắn và lâu dài về đạo đức, trí tuệ, thể chất, thẩm mỹ và các kỹ năng cơ bản ” [27, 23]. Do đó đổi mới trong giáo dục trước hết phải đổi mới từ bậc học nền tảng; rèn luyện tư duy logic cho học sinh phải rèn luyện cho các em ngay từ những ngày đầu đến trường.
Toán học với những đặc trưng về tính trừu tượng hoá, khái quát hoá, với những lập luận lôgic chặt chẽ, là môn học có vị trí quan trọng trong việc rèn luyện tư duy logic cho học sinh tiểu học. Ở tiểu học cùng với môn Tiếng Việt, môn Toán được coi là môn học công cụ góp phần bước đầu phát triển năng lực tư duy, khả năng suy luận hợp lư cho học sinh tiểu học. Môn Toán ở tiểu học có đặc thù riêng, không được sắp xếp thành các phân môn như ở các cấp học cao hơn mà nội dung được sắp xếp xen kẽ với 5 mạch kiến thức: Số học, Đại lượng và Đo đại lượng, Yếu tố h́nh học, Yếu tố thống kê, và Giải toán có lời văn. Yếu tố h́nh học được đưa vào chương tŕnh học ngay từ lớp 1 và phát triển dần ở các lớp học tiếp theo. H́nh học có ư nghĩa rất to lớn đối với sự h́nh thành và phát triển tư duy logic cho cho sinh. Dạy học các Yếu tố h́nh học có ưu thế trong việc giúp các em phát triển các thao tác tư duy, khả năng suy luận và óc phán đoán. Như vậy thông qua dạy học Toán ở tiểu học để bước đầu h́nh thành và phát triển tư duy logic cho cho sinh tiểu học là một trong những nhiệm vụ rất quan trọng.
Tuy nhiên trong giai đoạn hiện nay nh́n nhận về phương pháp dạy học Toán nói chung, Giáo sư Nguyễn Cảnh Toàn nói “kiến thức, tư duy tính cách con người chính là mục tiêu giáo dục nhưng hiện nay trong nhà trường tư duy và tính cách bị ch́m đi trong kiến thức” [35, 40] hay Giáo sư Hoàng Tuỵ nhận xét về phương pháp dạy học Toán là “hiện nay ta c̣n chuộng cách nhồi nhét, luyện trí nhớ, dạy mẹo vặt để giải quyết những bài toán oái oăm chẳng giúp Ưch ǵ mấy để phát triển trí tuệ mà c̣n làm cho học sinh thêm xa dời thực tế, mệt mỏi và chán nản”. [35, 42]
1.3. Thực tế hiện nay đă có rất nhiều nhà giáo, nhà nghiên cứu với nhiều công tŕnh nghiên cứu về tư duy nói chung và tư duy logic nói riêng. Tất cả đều khẳng định sự cần thiết phải phát triển tư duy logic cho học sinh. Tuy nhiên cho đến nay vẫn chưa có một công tŕnh nghiên cứu riêng về tư duy logic và bước đầu rèn luyện tư duy logic cho học sinh thông qua việc sử dụng hệ thống bài tập có nội dung h́nh học.
1.4. Mặt khác, thực tế giảng dạy Toán nói chung và dạy học các YƠu tố h́nh học nói riêng ở các trường tiểu học hiện nay cho thấy việc rèn luyện tư duy logic cho học sinh c̣n chưa được định hướng rơ ràng và cụ thể. Đứng trước thực trạng đó và xuất phát từ vị trí, vai tṛ, tầm quan trọng của việc rèn tư duy cho học sinh nói chung và tư duy logic cho học sinh tiểu học nói riêng, chúng tôi đă chọn và nghiên cứu đề tài: “Xây dựng và sử dụng hệ thống bài tập có nội dung h́nh học để b­ước đầu rèn luyện t­ư duy logic cho học sinh líp 5”
2. Lịch sử nghiên cứu vấn đề
Vấn đề tư duy logic và rèn luyện tư duy logic là một vấn đề đă được nghiên cứu từ rất lâu trong lịch sử.
Ngay từ thời cổ đại, những nhà thông thái như Socrates, Aristot, đă đề cập đến những tư tưởng đầu tiên về tư duy logic. Socrates đă đưa ra phương pháp để gạt bỏ những tri thức sai, đạt tới những chân lư. Đó là phương pháp sử dụng bảng hỏi. Bằng việc sử dụng những câu hỏi, ông đă bước đầu nhấn mạnh đến tính thiết yếu của tư duy logic nh­ tính chặt chẽ, mạch lạc, suy luận đi từ những vấn đề đơn giản đến những vấn đề phức tạp.
Aristot đă nêu ra những phương pháp cơ bản của việc xây dựng khái niệm, phạm trù phán đoán, suy luận tam đoạn và chứng minh. Ông là người đầu tiên đưa ra những quy luật cơ bản của môn “Logic học h́nh thức” với tư cách là một quy luật của tư duy.
Vào đầu thế kỷ XX, rất nhiều nhà toán học đă đưa ra những quan điểm nêu bật được vai tṛ cũng như vị trí của tư duy logic. Chẳng hạn như Frege và Russell đă có “ư đồ xếp logic vào trung tâm những hoạt động trí tuệ bằng cách quy những chân lư toán học về chân lư logic”[7, 175]
Piaget - một nhà tâm lư học Thuỵ Sỹ cũng đưa ra lư thuyết “Trẻ em xây dựng”, trong đó ông khẳng định: logic xuất hiện từ một chuỗi những giai đoạn. Qua đó trẻ xây dựng thao tác tư duy qua hội nhập hành vi và qua suy nghĩ về các thao tác này.
Nhà tâm lư học Nga A.A.Larudnaia cho rằng tư duy của con người là quá tŕnh giải quyết các nhiệm vụ khác nhau nhằm giải quyết vẫn đề. Để làm được việc đó, con người phải thiết lập mối quan hệ giữa các thành tố, các ư nghĩa, phải tiến hành những quá tŕnh tư duy gọi là các thao tác tư duy logic để giải quyết nhiệm vụ.
Nh­ vậy, trên thế giới từ cổ chí kim đă có rất nhiều nhà triết học, tâm lư học, giáo dục học, toán học, đă quan tâm, nghiên cứu đến logic nói chung và tư duy logic nói riêng.
Bên cạnh đó vấn đề phát hiện, bồi dưỡng, rèn luyện tư duy logic cho học sinh cũng được nhiều tác giả quan tâm chú ư.
Theo M. Alêcxxep th́ việc bồi dưỡng tư duy logic cho học sinh và h́nh thành những kỹ năng và kỹ xảo suy luận hợp logic và nhất quán chiếm một vị trí quan trọng trong hoạt động của thầy giáo [2, 34]. Tác giả đă chỉ ra những đặc trưng của tư duy logic; những yêu cầu, biện pháp rèn luyện tư duy logic cho học như: phải phối hợp nhiều biện pháp để rèn luyện tư duy logic cho học sinh; phải đảm bảo có kế hoạch và có hệ thống; phải gây hứng thú cho học sinh; phải tuỳ vào môn học mà có những thủ pháp riêng để tập cho học sinh. Trong các biện pháp đó tác giả đặc biệt nhấn mạnh đến việc thực hành luyện tập v́ ông cho rằng: “Các bài tập và giờ thực hành về logic giữ vai tṛ quan trọng trong việc h́nh thành tư duy logic cho học sinh”; cần phải dạy cho các em biết suy luận một cách logic; đặt vấn đề một cách logic; tuân theo logic dữ liệu; cân nhắc đến tính chất logic của câu hỏi [2, 35]
C̣ng trong cuốn này, tác giả Dabotin đă xét tới hai biểu hiện quan trọng của tư duy logic. Đó là tính logic của việc đặt câu hỏi và tính logic của việc trả lời câu hỏi. Như vậy bằng cách giáo dục cho học sinh những kỹ năng của tư duy logic khi đặt và trả lời câu hỏi tác giả đă đề xuất với chúng ta một biện pháp rất quan trọng để góp phần rèn luyện tư duy logic cho học sinh. [2,35]
Tiếp đến không thể không nhắc đến B.A.Ozahecrh trong cuốn Phương pháp giảng dạy toán ở trường trung học, ông cho rằng: tư duy logic đặc trưng bởi kỹ năng đưa ra hệ quả từ những tiền đề; kỹ năng phân chia những trường hợp riêng biệt và hợp chúng lại để được đối tượng đang xét; kỹ năng khẳng định lư thuyết một kết quả cụ thể hoặc tổng quát những kết quả thu được [37, 58]
Ở trong nước đă có rất nhiều nhà khoa học, nhà nghiên cứu với nhiều công tŕnh nghiên cứu ở nhiều mức độ khác nhau từ luận án, luận văn, khoá luận, đến các bài nghiên cứu đăng trên các sách báo, tạp chí, về tư duy logic và rèn tư duy logic cho học sinh thông qua môn Toán. Trong đó:
Tác giả Phạm Văn Hoàn, Trần Thúc Tŕnh, Phạm Gia Cốc trong cuốn Giáo dục học môn Toán đă khẳng định: “làm cho học sinh nắm được phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận, phương pháp học tập để từ đấy rèn luyện năng lực tư duy logic.” [21, 81]
Tác giả Nguyễn Bá Kim, Vũ Dương Thuỵ trong cuốn Phương pháp dạy học môn Toán đă nhấn mạnh: “Tư duy không thể tách rời ngôn ngữ. Nó phải diễn ra với các kiến thức ngôn ngữ; hoàn thiện trong sù trao đổi bằng ngôn ngữ. V́ vậy việc rèn luyện tư duy logic phải gắn liền với việc rèn luyện ngôn ngữ chính xác”[25, 29]. Các tác giả đă đề ra phương hướng bồi dưỡng và rèn luyện tư duy logic. Đó là phải làm cho học sinh nắm vững, hiểu đúng và sử dụng đúng những liên kết logic “và”, “hoặc”, “nếu th́”, ; phát triển khả năng định nghĩa và làm việc với những định nghĩa [25, 30].
Bên cạnh đó cũng có rất nhiều công tŕnh nghiên cứu về tư duy và tư duy logic trong dạy học Toán ở tiểu học.
Với Luận án Phó giáo sư khoa học “Góp phần hoàn thiện nội dung và phương pháp dạy học các YƠu tố h́nh học theo hướng bồi dưỡng năng lực tư duy cho học sinh các lớp cuối tiểu học” và công tŕnh nghiên cứu “Dạy học các YƠu tố h́nh học nhằm bồi dưỡng năng lực tư duy cho học sinh tiểu học” PGS.TS Vũ Quốc Chung đă đề xuất rất nhiều phương án dạy học các YƠu tố h́nh học để bồi dưỡng tư duy cho học sinh trong đó tác giả đặc biệt nhấn mạnh đến việc xây dựng và sử dụng hợp lư các câu hỏi và bài tập để rèn luyện tư duy cho học sinh.
PGS.TS. Trần Diên Hiển với cuốn “Các bài toán về suy luận logic” đă đưa ra một hệ thống bài tập giải bằng phương pháp suy luận đơn giản và các bài toán giải bằng công cụ của logic mệnh đề.
Luận văn Thạc sỹ của Thạc sỹ Nguyễn Thị Xuân với đề tài “H́nh thành và rèn luyện tư duy logic cho học sinh thông qua dạy các khái niệm h́nh học ở tiểu học”. Trong Luận văn tác giả cũng đă đề xuất nhiều giải pháp để rèn luyện tư duy logic cho học sinh tiểu học như: xây dựng các câu hỏi và bài tập để rèn luyện tư duy logic cho học sinh tiểu học thông qua việc phân tích cấu trúc logic của các khái niệm ở tiểu học.
Luận văn Thạc sỹ của Thạc sỹ Trịnh Lưu Tuấn với đề tài “Rèn luyện tư duy logic cho học sinh líp 4 thông qua các phép suy luận quy nạp trong dạy học các tính chất, quy tắc thực hành bốn phép tính”, tác giả đă đề xuất nhiều biện pháp rèn tư duy logic cho học sinh thông qua dạy học các quy tắc thực hành, dạy học tính chất các phép tính trong tập số tự nhiên và trên phân số.
Ngoài ra c̣n rất nhiều các bài nghiên cứu đăng trên các báo, tạp chí về tư duy logic và rèn luyện tư duy logic cho học sinh như:
Tác giả Nguyễn Văn Lộc với bài “Nâng cao tŕnh độ logic cho học sinh qua dạy học H́nh học 6” đăng trên Tạp chí Nghiên cứu giáo dục số 4 năm 1994.
3. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của đề tài là nhằm xây dựng hệ thống các bài tập có nội dung h́nh học để bước đầu rèn luyện tư duy logic cho học sinh líp 5 và đưa ra quy tŕnh sử dụng hệ thống bài tập đó.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
T́m hiểu một số vấn đề về t­ư duy nói chung và tư duy logic nói riêng
T́m hiểu thực tiễn b­ước đầu rèn luyện tư­ duy logic cho học sinh ở trường tiểu học.
T́m hiểu nội dung h́nh học ở lớp 5 nhằm b­ước đầu rèn luyện tư­ duy logic cho học sinh trong quá tŕnh học tập.
Xây dựng hệ thống bài tập có nội dung H́nh học nhằm bư­ớc đầu rèn luyện tư­ duy logic cho học sinh líp 5.
Xây dùng quy tŕnh bư­ớc đầu rèn luyện tư duy logic cho học sinh líp 5 thông qua việc sử dụng hệ thống bài tập có nội dung H́nh học.
Tổ chức thực nghiệm sư­ phạm để đánh giá hiệu quả và tính khả thi của quy tŕnh bư­ớc đầu rèn luyện tư­ duy logic cho học sinh líp 5 thông qua việc sử dụng hệ thống bài tập có nội dung h́nh học.
5. Khách thể nghiên cứu
Quá tŕnh rèn luyện tư duy logic cho học sinh líp 5 qua dạy học các bài tập có nội dung h́nh học ở các trường tiểu học.
6. Đối t­ượng nghiên cứu
T­ư duy logic của học sinh tiểu học trong dạy học toán có nội dung h́nh học ở lớp 5.
7. Giả thuyết khoa học
Nếu xây dựng đ­ược hệ thống bài tập có nội dung h́nh học phù hợp đồng thời vận dụng được các bài tập đó một cách hợp lư th́ bước đầu góp phần rèn luyện tư duy logic cho học sinh tiểu học và góp phần nâng cao hiệu quả dạy học toán ở lớp 5
8. Phư­ơng pháp nghiên cứu
- Ph­ương pháp nghiên cứu lư luận: phân tích, tổng hợp
- Phư­ơng pháp nghiên cứu thực tiễn: điều tra, quan sát, thực tập sư­ phạm, tổng kết, rút kinh nghiệm
9. Những đóng góp mới của đề tài
- Đề tài đă làm sáng tỏ một số vấn đề lư luận về tư duy và tư duy logic;
- Đề tài đă xây dựng được hệ thống bài tập (gồm 130 bài) có nội dung h́nh học để bước đầu rèn luyện tư duy logic cho học sinh líp 5;
- Đề tài đă góp phần bổ sung thêm một giải pháp bước đầu rèn luyện tư duy logic cho học sinh thông qua việc sử dụng hệ thống bài tập trong dạy học toán ở Tiểu học nói chung và dạy học các Yếu tố h́nh học nói riêng.

10. Cấu trúc của luận văn
- Phần mở đầu
- Phần nội dung
Ch­ương I: Cơ sở lư luận và thực tiễn của đề tài
Chư­ơng II: Xây dựng và sử dụng hệ thống bài tập có nội dung h́nh học để bư­ớc đầu rèn luyện t­ư duy logic cho học sinh líp 5
Chư­ơng III: Thực nghiệm sư­ phạm
- Phần kết luận
- Danh mục tài liệu tham khảo
- Phụ lục


CHƯƠNG 1
CƠ SỞ LƯ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Cơ sở lư luận
1.1.1. Một số vấn đề về tư duy
1.1.1.1. Khái niệm về tư duy
Nhận thức cảm tính có vai tṛ quan trọng trong đời sống tâm lư của con người. Nó cung cấp vật liệu cho các hoạt động tâm lư cao hơn. Tuy nhiên, thực tế cuộc sống luôn đặt ra những vấn đề mà bằng cảm tính con người không nhận thức và giải quyết được. Do đó muốn cải tạo thế giới con người phải đạt tới mức độ nhận thức cao hơn. Đó là nhận thức lư tính (c̣n gọi là tư duy)
Cho đến nay có nhiều nhà khoa học đặc biệt là các nhà tâm lư học đă đưa ra nhiều định nghĩa cũng nh­ quan điểm khác nhau về tư duy.
Theo A. V. Da-pa-rô-giét, nhà Tâm lư học người Nga th́: “Tư duy là sự phản ánh trong óc ta những sự vật và hiện tượng trong những mối liên hệ và quan hệ có tính quy luật của chúng” [12, 145].
C̣n theo từ điển Tiếng Việt, tư duy được hiểu là: “giai đoạn cao của quá tŕnh nhận thức đi sâu vào bản chất và phát hiện ra tính quy luật của sự vật bằng những h́nh thức như biểu tượng, khái niệm, phán đoán và suy lư” [38, 547]
Nh­ vậy, có thể nói tư duy của con người mang bản chất xă hội, sáng tạo và có cá tính ngôn ngữ. Trong quá tŕnh phát triển, con người không chỉ dừng lại ở những thao tác bằng chân tay, bằng h́nh tượng mà con người c̣n đạt tới tŕnh độ tư duy bằng ngôn ngữ. Đó là quá tŕnh con người sử dụng ngôn ngữ để nhận thức những những t́nh huống có vấn đề; để tiến hành các thao tác: phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hoá, trừu tượng hoá nhằm đi đến những khái niệm, phán đoán, suy luận.
1.1.1.2. Các thao tác của tư duy toán học
Quá tŕnh tư duy được diễn ra bằng cách chủ thể nhận thức tiến hành những thao tác trí tuệ nhất định như: phân tích, tổng hợp, trừu tượng hoá, khái quát hoá, cụ thể như sau:
a. Thao tác phân tích
Phân tích là quá tŕnh tách đối tượng toán học thành các bộ phận, những dấu hiệu, những thuộc tính; những liên hệ và quan hệ giữa chúng theo một hướng nhất định nhằm mục đích nghiên cứu đầy đủ và sâu sắc hơn để nhận thức một cách trọn vẹn về đối tượng toán học Êy.
Thao tác phân tích được thể hiện dưới nhiều h́nh thức, phát triển từ thấp đến cao như: phân tích bằng hành động thực tiễn, phân tích bằng cảm tính, phân tích bằng trí tuệ. Sự hoàn thiện về tâm sinh lư học sinh là cơ sở để các em tiến hành các thao tác phân tích phù hợp. Do đó khi dạy toán cho học sinh tiểu học giáo viên cũng phải hướng dẫn các em đi từ phân tích bằng hành động thực tiễn, phân tích bằng cảm tính, phân tích bằng trí tuệ.
Chẳng hạn: H́nh thành cho học sinh líp 5 biểu tượng h́nh thang

[TABLE=align: left]
[TR]
[TD][/TD]
[/TR]
[TR]
[TD][/TD]
[TD][/TD]
[/TR]
[/TABLE]





Trước hết phải cho học sinh quan sát, nhận dạng các đồ vật có dạng h́nh thang như: cái thang, Đây là sự phân tích hành động thực tiễn.
- Trên cơ sở sự quan sát, học sinh tiến hành phân tích đặc điểm các yếu tố: đỉnh, cạnh, góc, Đây là sự phân tích cảm tính. Trong quá tŕnh phân tích các yếu tố của h́nh, các em sẽ sử dụng các biểu tượng và tri thức về cạnh, góc, biểu tượng về 2 cạnh song song để có biểu tượng mới là h́nh thang. H́nh thang đó là h́nh tứ giác có 2 cạnh song song. Sự phân tích này tiến tới sự phân tích trí tuệ để h́nh thành tư duy về h́nh thang.
b. Thao tác tổng hợp
Tổng hợp là dùng trí óc thống nhất những bộ phận thuộc tính, quan hệ của đối tượng toán học đă được phân chia qua thao tác phân tích thành một chỉnh thể nhằm giúp nhận thức đối tượng toán học một cách khái quát và đầy đủ hơn. Khi tổng hợp th́ những yếu tố đă được chia cắt của đối tượng toán học được kết hợp lại với nhau, được đưa vào một quan hệ. Chính v́ vậy là đă thu được một sự vật, hiện tượng nguyên vẹn mới. Như vậy, tổng hợp không phải là một phép cộng đơn giản thành chỉnh thể mà đó là một hoạt động tư duy đem lại kết quả mới về chất, cung cấp một sự hiểu biết mới nào đó về đối tượng toán học.
Thao tác tổng hợp thể hiện dưới nhiều h́nh thức và mức độ khác nhau. Do đặc điểm lứa tuổi nên ở tiểu học, học sinh chủ yếu tiến hành tổng hợp bằng hành động thực tiễn. Từ hoạt động tổng hợp hành động – thực tiễn được phát triển đến tổng hợp trí tuệ và các h́nh thức này diễn ra trong mối quan hệ chặt chẽ, liên hệ logic với nhau trong quá tŕnh dạy học.
Ví dụ như: trên cơ sở phân tích những đặc điểm của h́nh thang học sinh sẽ tiến hành thao tác tổng hợp nh­ sau: h́nh tứ giác có 2 cạnh song song được gọi là h́nh thang.
Như vậy mặc dù có sự khác nhau về nhiều phương diện, mỗi thao tác tư duy có những đặc điểm riêng, phân tích đi từ cái phức tạp đến cái đơn giản; tổng hợp th́ ngược lại đi từ các đơn giản đến phức tạp nhưng tựu chung lại hai thao tác này luôn bổ trợ cho nhau: phân tích là cơ sở của tổng hợp c̣n tổng hợp lại diễn ra trên cơ sở phân tích.
c. Thao tác so sánh
So sánh là một thao tác tư duy nhằm xác định sự giống và khác nhau, sự đồng nhất hoặc không đồng nhất giữa các đối tượng toán học, giữa các thuộc tính, các quan hệ, các bộ phận của đối tượng toán học. Thao tác này được tiến hành ở cả 3 giai đoạn trong sự phát triển tư duy: tư duy trực quan hành động, tư duy trực quan h́nh ảnh và tư duy trừu tượng.
Sù so sánh có ư nghĩa đặc biệt ở giai đoạn đầu của nhận thức kinh nghiệm. Có thể nói rằng việc nhận thức được tất cả những ǵ tồn tại đều thông qua việc so sánh các đối tượng và hiện tượng này với các đối tượng và hiện tượng khác giống chúng hoặc khác chúng. Thông qua việc so sánh các đối tượng với nhau, con người có thể định hướng đúng đắn sự vật, hiện tượng trong thế giới xung quanh. Đối với học sinh tiểu học, việc nhận ra và phân biệt được các đối tượng toán học đều bắt đầu bằng sự so sánh.
Ví dô: Khi cho học sinh líp 3 làm các bài tập về nhận dạng h́nh. Chẳng hạn như: nhận dạng xem đâu là h́nh vuông, đâu là h́nh chữ nhật th́ học sinh phải tiến hành thao tác so sánh. H́nh vuông và h́nh chữ nhật đều giống nhau ở chỗ có 4 cạnh, 4 góc vuông. Nhưng đặc điểm quan trọng để phân biệt được h́nh vuông và h́nh chữ nhật mà học sinh phải chỉ ra được là sự khác nhau giữa chúng. H́nh vuông th́ có 4 cạnh liên tiếp bằng nhau; c̣n h́nh chữ nhật th́ 2 cặp cạnh đối diện phải bằng nhau.
Như vậy quá tŕnh phân tích để t́m ra các đối tượng giống nhau và khác nhau của các h́nh đă tạo điều kiện cho học sinh rèn luyện thao tác so sánh.
d. Thao tác trừu tượng hoá
Trừu tượng hoá là thao tác tư duy nhằm gạt bỏ những thuộc tính, những mối quan hệ không bản chất của một đối tượng toán học mà chỉ giữ lại những thuộc tính, những dấu hiệu bản chất, đặc trưng của đối tượng toán học. Trừu tượng hoá là một dạng đặc biệt của phân tích, thể hiện ở chỗ: trừu tượng hóa đề cao cái bản chất và gạt bỏ đi cái không bản chất. Mỗi một sự trừu tượng hoá khoa học, đúng đắn là trừu tượng hoá những dấu hiệu bản chất khỏi những dấu hiệu không bản chất.
Như vậy trừu tượng hoá nhất thiết phải có hai mặt: nêu bật những dấu hiệu bản chất ra khỏi những dấu hiệu khác và được bảo toàn như đối tượng nhận thức; loại trừ những dấu hiệu không bản chất ra khỏi những dấu hiệu bản chất.
Trừu tượng hoá thường diễn ra theo hai con đường sau: tách và phân tích. Nếu trừu tượng hoá tách mang tính chất cụ thể, ngẫu nhiên th́ trừu tượng hoá đó mang tính chất cảm tính ; c̣n trừu tượng hoá phân tích là sự phân tích trí tuệ th́ trừu tượng hoá đó có tính chất lư tính. V́ vậy rèn luyện khả năng trừu tượng hoá phân tích cho học sinh tiểu học là một nhiệm vụ quan trọng và cần thiết.
Trừu tượng hoá có ba mức độ:
- Tách ra (biệt lập) các dấu hiệu bên ngoài, dễ gây Ên tượng, không bản chất của sự vật, hiện tượng. Chẳng hạn khi nghiên cứu các khái niệm về biểu tượng các h́nh h́nh học th́ những đặc điểm về màu sắc, kích cỡ, . là những dấu hiệu không bản chất.
- Tách ra (biệt lập) các dấu hiệu chung bản chất nhưng không phải là dấu hiệu đặc thù.
- Tách ra các dấu hiệu bản chất có tính đặc thù, những dấu hiệu xác định được thứ bậc của chúng trên cơ sở phân tích các mối quan hệ tồn tại của chúng mà kết quả của nó phụ thuộc vào nhiều yếu tố.
Ví dô : H́nh thành biểu tượng h́nh chữ nhật cho học sinh tiểu học.
Đầu tiên, giáo viên đưa ra các tấm b́a h́nh chữ nhật với nhiều màu sắc, kích cỡ khác nhau. Từ những dấu hiệu không bản chất đó, giáo viên hướng dẫn học sinh “bóc”, “tách ” để rót ra những dấu hiệu bản chất của một h́nh chữ nhật: có 4 cạnh, 4 góc vuông, 2 cạnh dài bằng nhau, 2 cạnh ngắn bằng nhau.
e. Khái quát hoá
Là thao tác tư duy nhằm bao quát nhiều đối tượng toán học khác nhau thành một nhóm hoặc một lớp trên cơ sở chúng có một thuộc tính chung, bản chất những mối quan hệ có tính quy luật sau khi gạt bỏ những thành phần khác.
Khái quát hoá cũng như thao tác trừu tượng hoá, diễn ra theo những con đường khác nhau.
- Con đường 1: khái quát hoá kinh nghiệm dựa trên sự so sánh trực tiếp, tách ra những dấu hiệu chung của các hiện tượng được so sánh. Con đường này trên thực tế chỉ dừng lại ở giai đoạn đầu của nhận thức khi nó chưa đạt được tới tŕnh độ nhận thức lư luận.
- Con đường 2: đó là khái quát hoá thông qua phân tích và trừu tượng hoá dẫn đến tách ra những cái chung, bản chất, những mối liên hệ bên trong mang tính quy luật của các sự vật, hiện tượng.
- Con đường 3 : thể hiện ở chính quá tŕnh tách ra hoặc suy diễn. Đó là sự khái quát hoá được thể hiện bằng chính con đường chứng minh, là sự tách ra mang tính chất chứng minh của một luận điểm khác mà luận điểm đó được suy ra một cách tất yếu.

Theo Vưgotxki th́ khái quát hoá có các mức độ sau:
- Mức độ 1: khái quát hoá hỗn hợp: mức độ này thường có ở trẻ nhỏ. Đặc trưng của mức độ khái quát hoá này là tính ‘‘không liên hệ’’, nhóm đối tượng được tập hợp theo Ên tượng ngẫu nhiên.
- Mức độ 2: khái quát hoá được dựa vào những đặc điểm bên ngoài đối tượng. Tách ra những nét giống nhau và tổ hợp những dấu hiệu chung đă được tách ra cả một loạt những đối tượng cùng loại.
- Mức độ 3: mức độ khái quát hoá cao hơn cả; kiểu khái quát hoá đặc biệt có trong khái niệm khoa học, trong các h́nh thức cao cấp của tư duy.
* Mối quan hệ giữa khái quát hoá và trừu tượng hoá
Trừu tượng hoá và khái quát hoá là hai thao tác quan trọng của tư duy. Đặc trưng của tư duy loài người, là một trong các chỉ số cơ bản của sự phát triển tư duy. Muốn có hoạt động trừu tượng hoá th́ phải có hoạt động tư duy khái quát hoá. Ngược lai, muốn có khái quát hoá th́ th́ phải dựa vào kết quả của hoạt động trừu tượng hoá.
Ví dô: Viết thêm ba sè trong dăy số sau:
1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ;
Học sinh sẽ quan sát dăy số; thử t́m mối quan hệ giữa các số trong dăy và nhận xét. Đầu tiên có hai sè : 1 ; 1. Nếu lấy 1 + 1 được 3; lấy 2 + 3 được 5.
Vậy sè sau 5 sẽ là 3 + 5 = 8 ; sè sau 8 sẽ là 5 + 8 = 13; sè sau 13 sẽ là
8 + 13 = 21.
Vậy dăy số có thể viết tiếp: 1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5; 8; 13; 21,
Ở đây học sinh không cần phát biểu quy tắc, nhưng đă khái quát hoá thành quy luật cộng hai số liền nhau th́ được số tiếp theo liền sau hai số đó.
Trên đây là một số các thao tác tư duy cơ bản. Các thao tác tư duy toán học này thường đan xen, bổ sung, hỗ trợ nhau trong quá tŕnh tư duy chứ không theo một chiều hướng nhất định nào và đều do chủ thể tư duy tiến hành nhằm đạt được kết quả đă đề ra.

1.1.1.3. Vai tṛ của tư duy
Tư duy có vai tṛ rất to lớn đối với đời sống và xă hội. Con người bằng tư duy và dựa vào tư duy để nhận thức những quy luật vận động của tự nhiên, xă hội và con người. Từ đó con người lợi dụng chúng, cải biến chúng và sử dụng chúng theo mục đích của con người.
Đặc điểm của tư duy khoa học là phản ánh bản chất, quy luật của sự vật hiện tượng, là sự khái quát kinh nhiệm hoạt động thực tiễn của con người trong quá tŕnh đấu tranh để chinh phục thiên nhiên và cải tạo xă hội. Do đó tư duy có vai tṛ đặc biệt quan trọng đối với hoạt động thực tiễn của con người, giúp cho con người ư thức được quy luật khách quan, trên cơ sở đó có thể chủ động dự kiến một cách khoa học xu hướng phát triển của sự vật, hiện tượng và có kế hoạch, biện pháp cải tạo hiện thực khách quan một cách đúng đắn, cụ thể.
Trong đó, tư duy toán học có tác dụng rất to lớn đối với nhận thức. Đó là giúp người học suy luận được theo một sơ đồ logic; t́m ra con đường và cách thức ngắn nhất để đi đến mục đích; sử dụng chính xác các kư hiệu, ngôn ngữ toán học; lập luận và suy luận chặt chẽ; ứng dụng thực tế đời sống một cách có hiệu quả nhất và thiết thực nhất.
Do đặc trưng của môn học: Toán học với tư cách là một khoa học nghiên cứu một số mặt của thế giới thực, có một hệ thống kiến thức cơ bản và phương pháp nhận thức cơ bản rất cần thiết cho đời sống, sinh hoạt lao động. Mặt khác, khả năng giáo dục nhiều mặt của môn Toán rất to lớn. Nó có nhiều khả năng để phát triển tư duy logic, bồi dưỡng và phát triển những thao tác trí tuệ cần thiết nhận thức thế giới hiện thực nh­ trừu tượng hoá, khái quát hoá, phân tích, tổng hợp, so sánh, dự đoán, chứng minh và bác bỏ. Nó có vai tṛ to lớn trong việc rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp giải quyết vấn đề căn cứ khoa học, toàn diện, chính xác; nó có nhiều tác dụng trong việc phát triển trí thông minh, tư duy độc lập, linh hoạt, sáng tạo,
* Trước hết, thông qua việc học Toán sẽ giúp phát triển trí thông minh, óc sáng tạo và thói quen làm việc một cách khoa học trong cuộc sống. Bởi v́ khi học toán, học sinh phải biết tập trung chó ư vào bản chất của các vấn đề toán học, gạt bỏ những cái thứ yếu, phải biết phân biệt cái đă cho và cái phải t́m, phải biết phân tích t́m ra cái mới liên hệ giữa cái cũ cái đă biết và chưa biết Nhờ đó tư duy của các em sẽ linh hoạt, chính xác hơn; cách suy nghĩ trong làm việc của các em sẽ khoa học hơn.
Chẳng hạn: đối với học sinh tiểu học, khi học về phép cộng các em phải dần gạt bỏ những thao tác trực quan trên các đồ vật thật (quả cam, bông hoa, ), que tính, chấm tṛn, từ đó hiểu được bản chất của phép cộng các số tự nhiên là phép hợp của các tập hợp.
* Qua học toán các em biết vận dụng những điều đă học (công thức tính, cách suy luận, ) để giải quyết các vấn đề toán học cùng với việc học tập các môn học khác. Nhờ có tư duy các em sẽ biết vận dụng những điều đă học vào cuộc sống, vào sinh hoạt trong xă hội .
* Vận dụng suy luận để giải quyết các vấn đề toán học sẽ giúp cho học sinh rót ra được những kết luận toán học một cách chính xác trên cơ sở những cứ liệu xác đáng và đầy đủ.
Ví dô: dựa vào một số trường hợp riêng lẻ nh­:
3 : 0,5 = 6
4 : 0,5 = 8
7 : 0,5 = 14

Học sinh nhận ra được “thương gấp đôi số bị chia”.
Từ đó, học sinh vận dung suy luận quy nạp không hoàn toàn để rót ra kết luận: “muốn chia một số cho 0,5 ta chỉ cần gấp đôi số đó”
Từ đây, các em dễ dàng vận dụng điều đă học vào việc giải các bài tập toán học như:
So sánh hai biểu thức 25 : 0,5 và 25,5
* Mỗi một vấn đề toán học đều có thể giải quyết bằng nhiều hướng đi khác nhau. V́ vậy việc học toán sẽ giúp học sinh biết được các cách thức và lựa chọn các giải pháp khác nhau cho cùng một vấn đề, từ đó lựa chọn giải pháp đơn giản và ưu việt nhất.
VƯ dô: So sánh phân số
và có các hướng giải sau
- Quy đồng mẫu số
- Quy đồng tử số
- Phần bù (học sinh sẽ chọn phương pháp thứ 3 v́ phương pháp này sẽ giúp các em không phải tính toán những con số quá lớn mà cũng dễ nhầm lẫn khi tính toán
1 - = 1 - =
V́ nên
* Đứng trước một vấn đề toán học, các em sẽ t́m ra được những kết quả khác nhau nhưng để biết kết quả nào đúng, kết quả nào hợp lí nhất các em phải tư duy lựa chọn
* Tư duy trong việc học tập toán c̣n giúp học sinh xem xét đánh giá bài làm của các bạn. Qua đó thấy được đâu là kết luận khoa học, hợp lư, logic và đúng đắn, kết luận nào là vô giá trị. Đồng thời, tư duy mềm dẻo c̣n giúp các em b́nh tĩnh, tự tin, chăm chỉ lắng nghe ư kiến của bạn bè thầy cô giáo về bài làm của ḿnh hoặc giảng giải về 1 kiến thức mới.
* Việc học tập toán đ̣i hỏi học sinh phải biết tự ḿnh xem xét các vấn đề, tự ḿnh t́m ṭi cách giải quyết các vấn đề, tự ḿnh thực hiện các phép tính, tự ḿnh kiểm tra lại các kết quả Bằng việc tư duy trước các vấn đề toán học, các em đă bước đầu h́nh thành ư thức tự học tập, tự phấn đấu, tự rèn luyện, tự vươn lên. Đó là một trong những phẩm chất rất quan trọng của con người mới trong thời đại ngày nay. Tư duy toán do đó có vai tṛ rất quan trọng trong sự h́nh thành và phát triển nhân cách của trẻ.
Trên đây là những vai tṛ của tư duy đối với đời sống nói chung và trong viêc học tập nói riêng. Từ vai tṛ quan trọng này ta thấy trong nhà trường việc rèn luyện để học sinh có tư duy tốt là điều hết sức quan trọng và cần thiết.
1.1.1.4. Phân loại tŕnh độ tư duy
Có nhiều cách thức phân loại tŕnh độ tư duy, theo đa số các nhà nghiên
cứu th́ có 3 loại tư duy nh­ sau:
- Thứ nhất là tư duy trực quan - hành động: tư duy xuất hiện ở trẻ em khi nhận thức trong tư tưởng các đối tượng được thực hiện trong quá tŕnh hoạt động thực tiễn với các đối tượng này.
- Thứ hai là tư duy trực quan - h́nh ảnh: tư duy xuất hiện chủ yếu ở trẻ em mẫu giáo và học sinh tiểu học mà việc giải quyết vẫn đề dựa vào các h́nh ảnh trực quan của sự vật, hiện tượng.
- Thứ ba là tư duy trừu tượng: tư duy xuất hiện chủ yếu ở học sinh trung học mà việc giải quyết vấn đề dựa trên khái niệm, các mối quan hệ logic gắn chặt chẽ với ngôn ngữ, lấy ngôn ngữ làm phương tiện.
Khi xét đặc trưng của tư duy, các nhà tâm lí cho rằng tư duy trừu tượng gồm 3 thành phần:
+ Tư duy phân tích: là dạng tư duy được đặc trưng bởi tính rơ ràng của các giai đoạn riêng biệt trong nhận thức, bởi sự hiểu rơ trọn vẹn nội dung của nó cũng nh­ các thủ thuật được vận dụng. Dạng tư duy này liên hệ chặt chẽ với thao tác phân tích.
+ Tư duy logic: dạng tư duy được đặc trưng bởi năng lực rót ra kết luận từ các tiền đề đă cho, năng lực phân hoạch ra các trường hợp riêng để khảo sát đầy đủ một sự kiện toán học, năng lực dự đoán các kết quả cụ thể của lư thuyết; khái quát hoá các kết quả nhận được.
+ Tư duy lược đồ không gian: dạng tư duy được đặc trưng bởi năng lực thiết kế trong tư tưởng các h́nh tượng không gian hoặc cấu trúc lược đồ của các đối tượng cần nghiên cứu và thực hiện các thủ thuật trên chúng, tương ứng với những điều cần phải thực hiện trên chính các đối tượng này.
Trong học tập toán học nói chung và H́nh học nói riêng các nhà toán học cũng thống nhất việc phân chia tŕnh độ tư duy H́nh học theo 5 cấp độ như sau:
- Tŕnh độ thứ nhất: ở tŕnh độ này, các h́nh học được tri giác như là một cái “ toàn thể ” và chúng chỉ khác nhau về h́nh dạng. Chẳng hạn đối với học sinh líp 1 và lớp 2 khi h́nh thành biểu tượng h́nh tṛn, giáo viên giơ h́nh tṛn lên và giới thiệu ‘‘Đây là h́nh tṛn’’. Học sinh quan sát và nhắc lại. Như vậy, ở giai đoạn này việc nhận dạng các h́nh h́nh học chủ yếu được tri giác tổng thể chứ chưa tiến hành phân tích đặc điểm của các h́nh h́nh học.
- Tŕnh độ thứ hai: ở tŕnh độ này đă có thể nhận diện các h́nh h́nh học qua việc phân tích các đặc điểm các h́nh bằng con đường trực giác. Chẳng hạn như: học sinh có thể phân tích đặc điểm của h́nh vuông dựa trên kiến thức về cạnh và góc đă được học là h́nh vuông có 4 cạnh bằng nhau và có 4 góc vuông. Tuy nhiên các tính chất về của các h́nh chưa được sắp xếp một cách logic. Bản thân khái niệm các h́nh cũng vậy, chúng chỉ được mô tả chứ chưa được định nghĩa. Quan hệ logic giữa các h́nh cũng chưa được nêu lên ở tŕnh độ này. Ví dụ như quan hệ logic giữa h́nh vuông và h́nh chữ nhật.
- Tŕnh độ thứ ba: ở tŕnh độ này đă có thể thực hiện được việc sắp xếp một cách logic các tính chất của các h́nh và bản thân các h́nh. Một số tính chất sẽ được sử dụng để định nghĩa h́nh, c̣n những tính chất khác sẽ được xây dựng bằng suy diễn logic. Ở đây, các h́nh đă xuất hiện trong những mối quan hệ logic xác định và đă được h́nh thành qua các định nghĩa. Tuy nhiên ở tŕnh độ này chưa đủ điều kiện để hiểu được toàn bộ hệ thống suy diễn mà mới chỉ hiểu được ư nghĩa của suy diễn trong những vấn đề nhỏ. Ví dụ như: học sinh có thể biết được định nghĩa của h́nh b́nh hành; hiểu được sự suy diễn từ định nghĩa đó đến các tính chất của h́nh b́nh hành; hiểu được mối quan hệ logic giữa h́nh b́nh hành, h́nh thoi, h́nh chữ nhật, h́nh vuông.
- Tŕnh độ thứ tư: ở tŕnh độ này, người ta đă nhận được ư nghĩa của con đường xây dựng toàn bộ lư thuyết h́nh học bằng suy diễn; hiểu được vai tṛ và bản chất của các tiên đề, định nghĩa; các cấu trúc logic của chứng minh, mối quan hệ logic giữa các định nghĩa và các mệnh đề.
- Tŕnh độ thứ năm: ở tŕnh độ này, người ta có thể thực hiện được tư duy trừu tượng, tách khỏi các đối tượng h́nh học cụ thể, tách khỏi các ư nghĩa cụ thể của các mối quan hệ giữa các đối tượng đó, có thể nắm được h́nh học xây dựng thành một hệ thống suy diễn trừu tượng.
1.1.2. Một số vấn đề về tư duy logic
Theo sự phân loại về cấp độ tư duy ở trên th́ tư duy logic thuộc vào lớp tư duy trừu tượng. Như vậy, xét về mặt thời gian th́ tư duy logic của con người xuất hiện muộn hơn so với các loại tư duy khác: tư duy trực quan hành động; tư duy trực quan h́nh ảnh. Nhưng do có tính kế thừa cộng thêm với việc sử dụng ngôn ngữ làm công cụ mà tư duy logic có bước phát triển, giúp con người nắm được các phạm trù, khái niệm, các thuộc tính và phẩm chất riêng biệt của sự vật, hiện tượng xung quanh.
1.1.2.1. Khái niệm
Theo M. Alêcxêep, V. Onhisuc th́ “phát triển tư duy logic cho học sinh được tiến hành thông qua việc sử dụng chính xác ngôn ngữ và các kư hiệu toán học, các khái niệm cùng với phương pháp suy luận quy nạp, suy luận suy diễn” [2, 70]
Theo quan điểm của B.A.Ozahecrh th́ Tư duy logic là loại tư duy trong đó yêu cầu chủ thể phải có kỹ năng rót ra các hệ quả từ những tiền đề cho trước; kỹ năng phân chia những trường hợp riêng biệt và hợp chúng lại; kỹ năng dự đoán kết quả cụ thể bằng lư thuyết, kỹ năng tổng quát những kết quả đă thu được [37, 57].
Như vậy tư duy logic trong dạy và học Toán là một dạng tư duy trừu tượng được đặc trưng chủ yếu bởi các kỹ năng sau :
- Kỹ năng rót ra các hệ quả từ những tiền đề cho trước. Khi nói đến tư duy logic có nghĩa là nói đến suy nghĩ theo các khái niệm, quy luật, quy tắc, phương pháp của logic học. Đây là đặc trưng của kỹ năng thứ nhất.
- Kỹ năng phân chia những trường hợp riêng biệt và hợp chúng lại; kỹ năng dự đoán kết quả cụ thể bằng lư thuyết. Khi gặp một bài tập với nhiều yếu tố cho trước và nhiều yêu cầu phức tạp gây khó khăn cho suy luận, ta có thể phân chia bài tập thành các trường hợp riêng - là các bài tập đơn giản hơn rồi kết hợp với việc suy luận để giải các bài tập đơn giản này. Trên cơ sở đó ta giải quyết được bài tập ban đầu. Đây là đặc trưng của kỹ năng thứ hai.
- Kỹ năng tổng quát những kết quả đă thu được. Đặc trưng này thể hiện ở chỗ khi gặp một bài toán được phân chia làm nhiều trường hợp riêng biệt, ta có thể giải quyết từng trường hợp riêng. Sau đó từ những trường riêng này ta khái quát để đi đến trường hợp tổng quát. Như vậy đặc trưng quan trọng của kỹ năng này được thể hiện ở chỗ: sử dụng thao tác khái quát hoá để dự đoán quy luật tổng quát và sử dụng khái quát hoá làm tiền đề định hướng cho quá tŕnh suy luận.
Tư duy logic của học sinh trong quá tŕnh học tập toán được biểu hiện trước hết ở kết luận mà các em rót ra được trong quá tŕnh suy luận; trong việc chứng minh các định lư; trong việc giải quyết các bài tập toán học . Do đó, cần rèn luyện tư duy logic cho học sinh ngay từ những bậc học thấp để các em có những kỹ năng, kỹ xảo suy luận hợp logic ở các bậc học trên là một yêu cầu cấp thiết đối với giáo dục.