Tài liệu xây dựng chương trình tính gần đúng tích phân của một hàm số bằng công thức Simsơn và đánh giá sai s

Đề tài: xây dựng chương trình tính gần đúng tích phân của một hàm số bằng công thức Simsơn và đánh giá sai số của nghiệm gần đúng tìm được với số điểm chia và đoạn cần tính được nhập từ bàn phím

[TABLE=width: 100%]
[TR]
[TD]ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNKHOA CÔNG NGHỆ THÔNG TIN
BỘ MÔN : KHOA HỌC MÁY TÍNH
------ ™ & ˜ ------



Môn:
PHƯƠNG PHÁP SỐ

ĐỀ SỐ 30 : xây dựng chương tŕnh tính gần đúng tích phân của một hàm số bằng công thức Simsơn và đánh giá sai số của nghiệm gần đúng t́m được với số điểm chia và đoạn cần tính được nhập từ bàn phím


Giáo viên hướng dẫn: Đặng Thị Oanh
Sinh viên thực hiện: Lâm Văn An
Lớp: ĐH K6B
Năm học :2008-2009




Thái nguyên,ngày 20 tháng 11 năm 2008
[/TD]
[/TR]
[/TABLE]



LỜI GIỚI THIỆU
Trong phần này em xin giới thiệu về tính gần đúng đạo hàm và tích phân xác định mà phần trọng điểm là công thức SIMPSON và sai số
MỤC LỤC
PHẦN MỘT: TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM
1.1.ĐẶT VẤN ĐỀ
1.2.CÔNG THỨC TÍNH GẦN ĐÚNG CỦA ĐẠO HÀM CẤP MỘT
PHẦN HAI :TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
2.1 .ĐẶT VẤN ĐỀ
2.2.CÔNG THỨC H̀NH THANG VÀ SAI SỐ
2.3.CÔNG THỨC H̀NH THANG TỔNG QUÁT VA SAI SỐ
2.4.CÔNG THỨC SIMPSON VÀ SAI SỐ
2.5.CÔNG THỨC SIMPSON TỔNG QUÁT VÀ SAI SỐ
2.6.NHẬN XÉT VÀ THÍ DỤ
2.7. ỨNG DỤNG VÀO NGÔN NGỮ LẬP TR̀NH



PHẦN MỘT : TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM

1.1 Đặt vấn đề
Trong giáo tŕnh toán học cao cấp, ta đă học cách t́nh đạo hàm của hàm số y=f(x)
nếu biểu thức giải tích của hàm số f(x) đă biết.Nhưng trong thực tế, thường phải t́nh đạo hàm của hàm số y=f(x) cho bằng bảng nghĩa là biểu thức giái tích của hàm số f(x) không biểt, mà chỉ cho biết một cận sô cận giá trị tương ứng của x vày. Cũng có trường hợp biểu thức giải tích của hàm số f(x) đă biết nhưng quá phức tạp,do đó tính trực tiếp đạo hàm bằng những quy tắc toán học cao cấp sẽ khó khăn.Trong trường hợp ấy, người ta t́nh gần đúng đạo hàm bằng cách thay hàm sốf(x) trên đoạn [a,b] bằng đa thức nội suy (x)

f’(x)≈ (x) với x⋲[a,b]
V́ data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAAEAAAABAQMAAAAl21bKAAAAA1BMVEXh5PJm+yKVAAAAAXRSTlMAQObYZgAAAApJREFUCNdjYAAAAAIAAeIhvDMAAAAASUVORK5CYII=" class="mceSmilieSprite mceSmilie3" alt="" title="Frown ">x)=f(x)-(x), nên sai số của đạo hàm sẽ là :
(x)=(x)=f’(x)-(x)
Đối với đạo hàm cấp cao của hàm số f(x),làm tương tự.
[B] 1.2 Công thức tính gần đúng đạo hàm cấp một[/B]
[B]a[/B]. Trường hợp hai nút nội suy : và
Giả sử biết =f(),=f() với =+h (h là hằng số >0) . để tính gần đúng đạo hàm f’(x) tại các nút nội suy và , ta thay hàm số f(x) bằng đa thức nội suy Niutơn tiến bậc một (trường hợp các nút nội suy cách đều ) xuất phát từ nút :

f(x)=(x) +(x) với x=+ht
f(x)=+tΔ+f ‘’(c)t(t-1)
Đạo hàm hai vế theo x, ta có :
f’(x)+tΔ+f’’(c)t(t-1))
=(+tΔ+f’’(c)t(t-1))
= (Δ+ f’’(c)(t(t-1))+ t(t-1)(f’’(c)))
Chú ư c phụ thuộc x và do đó c cũng phụ thuộc t
với giả thiết (f’’(c))) bị chặn x= ,y=0. Ta có :
f’()= - f’’() (1.1)
Nghĩa là :f’()≈ với sai số - f’’() , ⋲ [,].
nếu x= và t=1 , ta có :
f’()= + f’’() (1.2)
Nghĩa là :f’() ≈ với sai số f’’() , ⋲ [,]

[B]b.[/B] Trường hợp ba nút nội suy :, và
Giả sử biết =f() ,i=0,1,2 với = + h , = + 2h (h là hằng số >0) . Để tính gần đúng đạo hàm f’(x) tại các nút nội suy , và ,ta thay hàm số y=f(x) bằng đa thức nội suy newton tiến bậc hai (trường hợp các nút nội suy cách đều ) xuất phát từ nút và làm hoàn toàn tương tự trường hợp a , ta nhận được công thức tính gần đúng đạo hàm sau :

f’()=(-3+4-) + f’’() (1.3)
f’()=(-+) - f’’() (1.4)
f’()=(-4+3) + f’’() (1.5)
trong đó ,,⋲[,].
[I]Thí dụ[/I] :Tính gần đúng y’(50) của hàm số y=lgx dựa vào bảng giá trị đă cho sau :
X 50 55 60
Y=lgx 1,6990 1,7404 1,7782
giải: Ở đây h=5 . Áp dụng công thức (1.3) ,ta có :
y’(50) ≈ (-3.1,6990 +4.1,7404 -1,7782)=0.00864
Để đánh giá sai số của giá trị gần đúng nhận được , ta tính :
y’(x)=(lgx)’ = - ;
y’’(x)= - ; y’’’(x) =
=
Vậy: |y’(50) – 0,00864| ≤ . = 0.0000579 ≈ 0,00006
PHẦN HAI : TÍNH GẦN ĐÚNG TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH


[B]2.1 . Đặt vấn đề[/B]
Như ta đă biết trong giáo tŕnh toán học cao cấp , nếu hàm số f(x) liên tục trên [a,b] và F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên [a,b] th́ ta có công thức newton – lépnit sau :
= F(x)| =F(b) –F(a)
Trong đó : F’(x) = f(x).
Nhưng trong thực tế , thường phải đi t́m tích phân xác định của hàm số y=f(x) co bằng bảng , khi đó khái niệm nguyên hàm không có ư nghĩa .Cũng có trường hợp biểu thức giải tich của hàm số f(x) đă biết nhưng nguyên hàm của hàm số f(x) không không thể biểu diễn bằng hàm số sơ cấp. Trong những trường hợp ấy , không thể dùng công thức newton – lépnit được , do đó nguời ta phải t́m cách tinh gần đúng tích phân xác định Người ta cũng dùng phương pháp tính gần đúng tích phân xác định khi nguyên hàm của hàm số f(x) có thể biểu diễn bằng hàm số sơ cấp , nhưng việc tính nó bằng công thức newton – lépnit quá phức tạp .
Giống trường hợp tính gần đúng đạo hàm , để tính gần đúng tích phân xác định trên [a,b] , ta thay hàm số dưới dấu tích phân f(x) bằng đa thức nội suy (x) , và xem

≈


[B]2.2 . Công thức h́nh thang và sai số[/B]
Để t́nh gần đúng dx ta thay hàm số dưới dấu tích phân f(x) bằng đa thức nội suy newton tiến bậc một (đi qua hai điểm A(a,f(a)) và B(b,f(b)) xuất phát từ nút trùng với cận dưới a, và có :
≈
Để tính tích phân xác định ở vế phải , ta đổi biến số :
X = a + (b-a)t
Khi đó : dx = (b-a)dt , t biến thiên từ 0 đến 1 , và :
≈ = (b-a)()|
Trong đó : =f(a); == f(b)-f(a).
vậy : ≈ (f(a)+f(b)) (1.6)
Về mặt h́nh học , (1.6) có nghĩa là diện tích h́nh thang cong a ( là cung đường cong y=f(x) đi qua điểm A và B ) được thay xấp xỉ bằng diện tích h́nh thang phẳng a (là dây cung y=(x) nối hai điểm A và B ). Nói khác đi đường cong y=f(x) nối hai điểm A và B được thay xấp xỉ bằng đường thẳng y = (x) đi qua hai điểm A và B

Y
y=f(x) B
A
y=(x)

0 a b x
Công thức (1.6) gọi công thức h́nh thang . Để xác định sai số :
R= - (f(a)+f(b))
ta giả thiết rằng hàm số y=(x) có đạo hàm cấp hai liên tục trên [a,b] .Xem R la hàm số của h=b-a
R = R(h) = - [f(a)+f(a+h)]
Đạo hàm hai lần theo h đẳng thức trên , ta có :
R ’(h) = f(a+h) - [f(a) + f(a+h)] - f ’(a+h) =
= [f(a+h) – f(a)] - f ’(a+h)
và :
R ‘‘(h) = f ‘(a+h) - f ‘ (a+h) - f ’’(a+h) = - f ’’(a+h)
Ngoài ra : R(0) = 0; R’(0) = 0.
Từ đó áp dụng định lí trung b́nh thứ hai của tích phân xác định , ta nhận được :
R’(h) = R’(0) + = - =
= - f’’() = -f’’() ; ⋲(a,a+h)
và: R(h) = R(0) + = - dt =
= - f’’(c) = -f’’(c) ; c ⋲ (a,a+h)
Tóm lại , với giả thiết hàm số y=f(x) có đạo hàm cấp hai liên tục trên [ a,b] , ta có công thức h́nh thang sau :
= [f(a) + f(b)] - f’’(c) (1.7)
với h=b – a và c⋲(a,b).
[B]2.3 .Công thức h́nh thang tổng quát và sai số[/B]
Để tinh gần đúng , ta chia [a,b] thành n đoạn bằng nhau (n là số nguyên , dương , chẵn hoặc lẻ đều dược ):
[] , [,] , . , []
có độ dài là : h = bởi các điểm chia :
= a; = a+ih (i=); = b
Kư hiệu : = f() (i = ), khi đó :
= + . + (1.8)
Đối với mỗi tích phân xác định ở vế phải của (1.8) , ta tính gần đúng bằng công thức h́nh thang (1.6) nhận được :
≈ () + () + . +()
Hay ;
≈ h ( + ) (1.9)
Công thức (1.9) được gọi là công thức h́nh thang tổng quát.
Nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm cấp hai liên tục trên [a,b] th́ do (1.7) , sai số của công thức h́nh thang tổng quát là :
R= - =
= = - (1.10)
với ().
Xét trung b́nh cộng : à = .Rất rơ à gồm giữa giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của đạo hàm cấp hai f’’(x) trên [a,b] , nghĩa là :
≤ à≤
V́ theo giả thiết , f’’(x) liên tục trên [a,b] nên nó nhận mọi giá trị trung gian giữa và .Do đó , t́m được điểm c ⋲ [a,b] sao cho à = f’’(c) hay :
= n à = nf’’(c)
Thay vào (1.10) , nhận được :
R = - f’’(c) = - f’’(c) , c ⋲ [a,b] (1.11)
Tóm lại , với giả thiết hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai liên tục trên [a,b] và chia đoạn lấy tích phân [a,b] thành n đoạn bằng nhau , có độ dài h = , ta có h́nh thang tổng quát sau :
= h( + ) - f’’(c) , c⋲ [a,b] (1.12)
[B]2.4 . Công thức simsơn và sai số[/B]
Để tính gần đúng , ta chia [a,b] thành hai đoạn bằng nhau bởi các điểm chia = a ;= a + = a+h, = b = a+2h, và hàm số dưới dấu tích phân f(x) bằng đa thức nội suy Newton tiến bậc hai (đi qua ba điểm A( = a, =f()), C(=a+h,), và B(=b,) có hoành độ cách đều nhau) xuất phát từ nút trùng với cận dưới a= và có :

= ≈
Để tính tích phân ở vế phải , ta đổi biến số x= + ht .khi đó :dx = hdt, t biến thiên từ 0 đến 2và :

≈ hdt