Thạc Sĩ Xấp xỉ nghiệm của phương trình toán tử và phương pháp Newton (Bản 2)

Đề tài: Xấp xỉ nghiệm của phương trình toán tử và phương pháp Newton (Bản 2)
LỜI CẢM ƠN
Tôi xin chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Cam người đã tận tình hướng
dẫn và giúp đỡ trong suốt quá trình làm luận văn. Tôi xin chân thành cảm
ơn Ban gián hiệu, Phòng tổ chức cán bộ và tổ Toán của trường Cao Đẳng Sư
Phạm Long An đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi theo học lớp cao học. Tôi
xin chân thành cảm ơn các bạn học viên trong lớp cao học khóa 15 đã hỗ
trợ cho tôi trong suốt khóa học.
Tác giả luận văn
Phan Thành Đông MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Trong thực tế đa phần các bài toán được đưa về bài toán tìm nghiệm của một phương
trình hoặc hệ phương trình. Việc tìm nghiệm chính xác của phương trình là một nhiệm vụ vô
cùng khó khăn và có khi không thể thực hiện được, nhưng ta có thể tìm lời giải xấp xỉ của các
phương trình này đến độ chính xác cần thiết để đáp ứng được nhu cầu thực tế. Từ những nhu
cầu thực tế đó, luận văn “ Xấp xỉ nghiệm của phương trình toán tử và phương pháp Newton”
nghiên cứu việc xây dựng lời giải xấp xỉ của một số phương trình và hệ phương trình.
2. MỤC ĐÍCH
Bằng các kiến thức cơ bản của giải tích hàm và đại số tuyến tính, luận văn đưa ra lời giải
xấp xỉ của một số bài toán với những điều kiện cụ thể.
3. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
Nội dung của luận văn là giới thiệu và áp dụng phương pháp Newton để xây dựng lời
giải xấp xỉ nghiệm của phương trình f x   0, trong đó f là ánh xạ đi từ E vào E , với
E  n
hoặc E là các không gian tuyến tính định chuẩn vô hạn chiều. Với những điều kiện
thích hợp thì dãy lặp:  
k k k 1 1
k
x x f x 
 
   ;    
/
k k k k 1 1
x x f x f x
    ;  
k k k 1
k
x x x  

 
   
k k k k 1 1
k
x x H x f x 
 
   , với
o
x tùy ý trong E, các dãy lặp này hội tụ về nghiệm của
phương trình. Luận văn gồm ba chương:
Chương 1 dành cho việc giới thiệu phương pháp Newton và một số kiến thức cần thiết để
trình bày cho các chương sau.
Chương 2 với nội dung áp dụng phương pháp Newton để trình bày cách xây dựng lời giải
xấp xỉ của nghiệm của một phương trình hoặc một hệ phương trình trong không gian hữu hạn
chiều.
Chương 3 dành cho việc trình bày mở rộng các kết quả trong chương 2
trên không gian định chuẩn tổng quát với các định lý của Kantorovich.
4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Trên cơ sở nghiên cứu các kết quả trong giáo trình Constructive Real
Analysis của giáo sư Allen A.Goldstein và các giáo trình giải tích hàm khác luận văn đã xây
dựng được lời giái xấp xỉ của một số phương trình và hệ phương trình. Chương 1:
GIỚI THIỆU PHƯƠNG PHÁP NEWTON
1.1. ĐẶT VẤN ĐỀ
Chúng ta xét việc tìm căn bậc hai của số dương a bằng phép tính toán lặp đơn giản, được
cho bởi công thức như sau:
1
1
2
n n
n
a
x x
x

 
   
 
. Công thức này là kết quả của phương pháp
Newton mà ta sẽ giới thiệu ở phần sau.
Nếu
n
x xấp xỉ a thì sai số tương đối của xấp xỉ này được cho bởi công thức
n
x a
a

Định lý
i) Giả sử a và xo là các số dương
ii) Ta xác định dãy x
nbởi
1
1
2
n n
n
a
x x
x

 
   
 
iii) Đặt
n
n
x a
a


 . Thì
a)
2
1
1
0,1,2,
2 1




 
   
  
n
n
n
n
b) 0 0,1,2,
n    n
c)   1
    0: ,         
n
n n n
x
x x n N
a
Chứng minh
a) Do (iii)  1 n n
x a    , dùng (ii) ta được:
 
   
2
1
2 2 1 1
n
n n
n n
a
x a a
a


 

   
        
 
   
Cũng do (iii):  
1 1
1 1
1 1 
 
 
    
        
   
n n
n n
x a x
a a a x
a a
Nên ta có:
2
1
1
2 1
n
n
n



 

Vậy a) được chứng minh b) Từ iii)   1
o
o o o
x a
x a
a
 

    
1 0    
o
(vì x a
o   0, 0 )
2
1
1
0
2 1
o
o



 
    
  
Suy ra    0,
n
n bằng phương pháp quy nạp (vì
2
1
1
2 1
n
n
n



 

)
c) Từ ii) ta có:
 
2
1 1
2
1
1
2 2 2 2 2
1
2
n n
n n n n
n n n
n n
n n
a a x x a
x x x x
x x x
x x a
x x
a a
 


      

  
Do giả thiết trong c) ta có:   1
n
n n
x
x x
a
   
2
2
2 2
n
x a
a
  

   
Do đó      
2 2 2 2
1 2 <a 1+ < a 1+
n n n
x a x x          nên
  

  
n
n n
x a
a
với n = 1, 2, 3, ;(do b) nên  
n n  )
1.2. PHÁP LẶP VÀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG (iteration and fixed points)
Định nghĩa 1.2.1
Cho I a b   ;  và f là hàm số liên tục trên I lấy giá trị trong I. Ta gọi x I  là điểm bất động của
f nếu f x x   
Bổ đề 1.2.1
Mọi hàm liên tục f đi từ I vào chính nó luôn có một điểm bất động
Chứng minh
Nếu a I  không là điểm bất động thì f a a    (vì f a a    )
Nếu b I  không là điểm bất động thì f b b    (vì f b b    )
Đặt h x f x x       , ta có: h a f a a h b f b b           0, 0    
mà h liên tục nên có z I  thỏa h z   0 hay f z z   
Định nghĩa 1.2.2 Một ánh xạ đi từ I vào chính nó gọi là ánh xạ co nếu tồn tại 0 1   q sao cho với mọi cặp điểm
x y I ,  thì f x f y q x y       
Định lý 1.2.1
Cho f là ánh xạ co trên I . Đặt    
n n 1
x f x với x I
o  thì f có điểm bất động duy nhất z thỏa:
dãy
n
x z  và
1
1
n
n o
x z q x z

   
Chứng minh
Do tính chất của ánh xạ co nên f là hàm liên tục từ I vào chính nó
Theo bổ đề 1.2.1 thì f có điểm bất động, ta gọi là z
Ta có:
       
2 1
1 1 1
.
n
n n n n n o
x z f x f z q x z q f x f z q x z q x z

               Ta thiết lập được
công thức:
1
1
n
n o
x z q x z

    , với n  0
hơn nữa do 0 < q < 1 nên lim n
n
x z


Chứng minh sự duy nhất
Giả sử hàm số đã cho có hai điểm bất động khác nhau là
1 2
z z vaø
Ta có: 0         z z f z f z q z z z z
1 2 1 2 1 2 1 2     (mâu thuẩn)
Do đó
1 2
z z  .
Bổ đề 1.2.2
Cho hàm số f có đạo hàm liên tục trên I và f là ánh xạ đi từ I vào chính nó.
Nếu f x   1 trên I thì f là ánh xạ co.
Chứng minh
Áp dụng định lý giá trị trung bình cho cặp x, y tùy ý thuộc I ta có:
f x f y f x y          với  là số nằm giữa x và y
Do max 1  
x I
f x

  nên f là ánh xạ co.
Giả sử h là hàm đơn điệu trên I, h có đạo hàm dương liên tục, giả sử h có nghiệm z thuộc
phần trong (interior) của I thì h a h b     0   . Ta định nghĩa hàm:F x x h x        nếu F là
ánh xạ đi từ I vào chính nó ta phải có a F x b x I       , . Nếu   0 thì F a a    và F b b    , do đó với   0,đủ nhỏ thì a F x b       , x I, hơn nữa bởi vì
F x h x      1    và 0 h x    nên với   0, đủ nhỏ thì F x   1
Định lý 1.2.2
Giả sử      
1
h C a b h a h b   , , . 0 và tồn tại hai số  , sao cho  
1
0< h x ,  x I

    
Đặt dãy:   n n n 1
x x h x 
   với
o
x tùy ý thuộc I thì
n
x z  (với z là nghiệm của h) và
 
1
1
1
n
n o
x z x z 

    
Chứng minh
Đặt F x x h x       , chú ý rằng z là điểm bất động của F khi và chỉ khi h z   0
do 0 1 0 1 1 1              h x h x       , với mọi x I 
nên 0 1 1, x ;       F x a b     ; F là hàm đơn điệu tăng trên [a;b]
Do h a h b      0 và h đơn điệu tăng trên [a;b] nên h a   0 và 0 h b  
từ đây ta có: F a a    và F b   b ( vì   0)
do F đơn điệu tăng nên a F x b x a b       , ;  . Hơn nữa F x ' 1 1       áp dụng định lý
1.2.1 và bổ đề 1.2.2 ta được:
n
x z  và  
1
1
1
n
n o
x z x z 

    
Chú ý rằng nghiệm z trong định lý là duy nhất bởi vì F có duy nhất điểm bất động. Nếu h là ánh
xạ đơn điệu giảm thì –h là ánh xạ đơn điệu tăng và có nghiệm giống như nghiệm của h.
Xét ví dụ
Cho hàm :  
2
h x x a    , 0, giả sử  
2 2
  a ; b thì h a 0, h b 0,       và
0 2 2 , ;      a h x b x a b    
Theo định lý 1.2.2 ở trên,
dãy  
2
1
1
2
n n n
x x x
b
 
 
    
 
tiến về  với
o
x tùy ý thuộc a b, 
và ta có:
1
1
1
n
n o
a
x x
b
 


 
     
 
.
1.3. PHƯƠNG PHÁP NEWTON Giả sử h thỏa giả thiết của định lý 1.2.2, đặt  
 
1
'
x
h x
  , F x x x h x         , hơn nữa giả
sử  
2
h C a b  ; ta có  
   
 
2
''
'
'
h x h x
F x
h x

 
 
.
Phép lặp  
 
 
1
'
n
n n n
n
h x
x F x x
h x
    được gọi là phương pháp Newton.
Theo định lý 1.2.1 và bổ đề 1.2.2, ta có sự hội tụ của dãy x
n với điều kiện
F x q x a b ' 1, ;        và F là ánh xạ đi từ a b;  vào chính nó.
Gọi z là điểm bất động của F và viết
              1 1
'
n n n n
x z F x F z F x z tức là
   
 
2 1
''
'
n n
n n
n
h h
x z x z
h
 

   
 
 
ở đây
n  là số nằm giữa
n 1
x

và z
Cho   ,
n
x z  khai triển h quanh nghiệm của nó ta nhận được:
          1
' '
n n n n n n
h h z h h z h x z            
    1
'
n n n    h h x z   
ở đây n
nằm giữa
n  và z. Đặt:
   
 
2
'' '
'
n n
n
n
h h
B
h
 


 
 
và đặt sup
n
n
B B 
thì
2
1
.
n n
x z B x z    
Quan sát ta thấy khi n   thì
 
 
''
'
n
h z
B
h z

Xét ví dụ sau đây
Nếu áp dụng phương pháp Newton vào hàm số:        
2
h x x x , h' x 2
thì ta được công thức:
 
 
2
1
1
' 2 2
n n
n n n n
n n n
h x x
x x x x
h x x x
 

  
       
 
Với  cho trước ta chọn đoạn a b;  sao cho hàm F của phương pháp Newton là ánh xạ co.
Cách chọn a, b như sau:
Với
2
2 2
0 ,
2
a
a b b
a



    và
2
3a  , chẳng hạn chọn , 3
2

a b a  thì ta có: Với    
 
 
   
        
2 2
;
' 2 2
h x x x
x a b a F x x x b
h x x x
để có được điều này
ta cần chứng minh giá trị max và min của F trên [a;b] thuộc vào [a;b].
Ta có    
   
     
 
2 3
1
' 1 vaø F'' x 0
2
F x
x x
,
nên F' 0     và F a b        ; .
do đó : maxF phải xảy ra tại điểm x = a hoặc x = b
bởi vì F ' chỉ triệt tiêu tại duy nhất điểm thuộc a b; 
nhưng  
 
2
2
a
F a b
a

  và  
 
2
2
b
F b b
b

  ( vì
2
  b ) nên maxF b  .
ta còn có min ; F x F a b           .
Vậy a F x F x b    min max    
Từ giả thiết
2
3 a  ta suy ra được
2
3
a

  
nên:
2 2 2
2 2 2 2 a x b
        
             
     
,
do đó F x ' 1    trên [a, b]
Vậy F là ánh xạ co trên a b; 
Chú ý rằng nếu chúng ta chọn
o
x bởi
     1 ,
o
x thì với
2
a

 và b a   max 3 , 1    thì x a b
o  ; 
1.4. ÁNH XẠ TỰA CO (subcontractor)
Định nghĩa
Một ánh xạ tựa co là một ánh xạ đi từ khoảng hữu hạn I vào chính nó thỏa:
i) Với , x y I f x f y x y         
ii) Nếu x f x    thì f f x f x f x x          
Định lý 1.4.1
Giả sử f là một ánh xạ tựa co. Chọn
o
x tùy ý trong I, đặt x f x x
n n n 1    thì  có giới hạn là
điểm bất động của f Định lý này sẽ được chứng minh trong phần định lý điểm bất động của ánh xạ tựa co của không
gian mê tríc tổng quát trong 1.5
Bổ đề 1.4.1
Giả sử f    
1
   C a b f x ; ; 0 ' 1 và f x ' 1    tại một số x thuộc a b; thì
 
1
0 ' 1
b
a
f t dt
b a
 


Chứng minh
Do f ' liên tục trên a b, nên    
 
    
;
; : ' min '
a b
z a b f z f x
Từ giả thiết     x a b f x  , :0 ' 1    ta có: 0 ' 1    f z q   Do
f a b 'lieân tuïc treân ; neân toàn   tại khoảng mở
 
1 
: '
2
q
N I x N f x

    
Đặt   N laø ñoä ño cuûa Nthì:
           
\
1
' ' '
2
b
a
N I N
q
f t dt f t dt f t dt N b a N  

      
  
   
1
1
2
q
 N b a b a
  
     
 
 
( vì
1
1 0
2
 q
  )
Vậy:  
1
0 ' 1
b
a
f t dt
b a
 


.
Hệ quả
Giả sử        
1 1
h C a b h a h b h x ; ; 0, 0 ' 

     và với mỗi khoảng con I ' của a b, , tồn
tại x thuộc I ' sao cho h x ' 0   
đặt   n n n 1
x x h x 
   với
o
x tùy ý trong a b,  thì dãy x
n  hội tụ về nghiệm của h.
Chứng minh
Với F x x h x        thì  x a b  ; ta có 0 ' 1 ' 1     F x h x      và ta cũng có
a F x b     do đó: F x F y x y x y a b          , , ;  
(vì F x F y F x y x y          '  )
Chọn
o
x I  ,
nếu
o
x là nghiệm của h ( hay là điểm bất động của F) thì dãy x
n hội tụ về
o
x (đã chứng minh
trong định lý 1.2.2)