Tiến Sĩ Xác định quy luật biên phi tuyến và xác định nguồn trong các quá trình truyền nhiệt

ii
LỜI CẢM ƠN
Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học tận tình, quý báu
và nghiêm khắc của GS.TSKH. Đinh Nho Hào. Thầy đã đặt bài toán và dành
nhiều công sức, từng bước dẫn dắt tôi dần làm quen với công việc nghiên cứu
khoa học, động viên khích lệ tôi vượt lên những khó khăn trong học tập và cuộc
sống. Từ tận đáy lòng, em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất
tới Thầy và sẽ cố gắng phấn đấu hơn nữa để xứng đáng với công lao của Thầy.
Trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án, tác giả luôn
nhận được sự quan tâm, giúp đỡ của GS. TSKH. Hà Huy Bảng, PGS. TS. Hà
Tiến Ngoạn, GS. TSKH Nguyễn Minh Trí, TS. Nguyễn Văn Ngọc, TS. Nguyễn
Thị Thu Thủy. Tác giả xin bày tỏ sự kính trọng và biết ơn sâu sắc đến Thầy
Cô.
Tác giả xin chân thành cảm ơn anh chị em trong nhóm nghiên cứu của Thầy
– GS. TSKH. Đinh Nho Hào đã có những trao đổi và ý kiến đóng góp hữu ích
thông qua các xê mi na nhóm; Chân thành cảm ơn TS. Nguyễn Trung Thành,
TS. Phan Xuân Thành, NCS. Nguyễn Thị Ngọc Oanh đã hướng dẫn tác giả về
kỹ thuật lập trình khi thử nghiệm việc giải số.
Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán, Khoa sau đại
học trường Đại học Sư phạm; Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin, Ban giám hiệu
trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên đã tạo điều kiện thuận lợi
cho tác giả trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận án.
Xin chân thành cảm ơn các anh chị em NCS chuyên ngành Toán Giải tích,
bạn bè đồng nghiệp đã luôn quan tâm, động viên, trao đổi và đóng góp những
ý kiến quý báu cho tác giả.
Luận án sẽ không thể hoàn thành nếu thiếu sự cảm thông, giúp đỡ của
những người thân trong gia đình. Tác giả xin kính tặng Gia đình thân yêu niềm
vinh hạnh to lớn này.
Tác giả
Bùi Việt HươngMục lục
Lời cam đoan i
Lời cảm ơn ii
Mục lục ii
Một số ký hiệu v
Mở đầu 1
1 Xác định quy luật trao đổi nhiệt phi tuyến từ quan sát trên
biên 10
1.1. Một số kiến thức bổ trợ 11
1.1.1. Nghiệm yếu trong không gian H 1,0 (Q) 11
1.1.2. Nghiệm yếu trong không gian W (0, T) 15
1.2. Bài toán xác định quy luật trao đổi nhiệt phi tuyến từ quan sát
tích phân trên biên . 17
1.2.1. Bài toán thuận . 17
1.2.2. Bài toán biến phân . 23
1.2.3. Ví dụ số . 27
1.3. Bài toán xác định quy luật trao đổi nhiệt phi tuyến từ quan sát
một phần trên biên . 39
1.4. Bài toán xác định hệ số truyền nhiệt σ(u) từ quan sát tích phân 42
2 Xác định nguồn trong bài toán truyền nhiệt từ quan sát trên
biên 46
iiiiv
2.1. Phương pháp biến phân 48
2.2. Phương pháp phần tử hữu hạn 54
2.2.1. Xấp xỉ phần tử hữu hạn của A k , A ∗
k
, k = 1, ., N . 55
2.2.2. Sự hội tụ 56
2.2.3. Ví dụ số . 61
2.3. Rời rạc hóa bài toán xác định thành phần chỉ phụ thuộc thời
gian trong vế phải 65
2.3.1. Rời rạc hóa bài toán thuận bằng phương pháp sai phân
hữu hạn phân rã 66
2.3.2. Rời rạc hóa bài toán biến phân 70
2.3.3. Phương pháp gradient liên hợp 74
2.3.4. Ví dụ số . 75
Kết luận chung 89
Danh mục các công trình đã công bố liên quan đến luận án 90
Tài liệu tham khảo 91Một số ký hiệu
R tập các số thực
R
n không gian véctơ Euclide thực n ư chiều
V
∗ không gian đối ngẫu của không gian V
C(
¯
Ω) không gian các hàm liên tục trong ¯
Ω
C([0, T], L
2
(Ω)) không gian các hàm liên tục trên [0, T] nhận giá trị trong L
2
(Ω)
C
1
(
¯
Q) không gian các hàm khả vi liên tục trong ¯
Q
C
γ,γ/2 không gian H¨older với số mũ γ/2, γ ∈ (0, 1)
L
p
(Ω) không gian các hàm khả tích bậc p trong Ω, 1 ≤ p < ∞
L
2
I (Ω) không gian các hàm thuộc L
2
(Ω) có tập xác định là I
H
1
(Ω) không gian các hàm thuộc L
2
(Ω) có đạo hàm riêng yếu thuộc
L
2
(Ω)
H
1
0 (Ω) bao đóng của không gian C
∞
0 (Ω) trong không gian H
1
(Ω)
H
1,0
(Q) không gian các hàm y ∈ L
2
(Q) có đạo hàm riêng yếu cấp một
theo biến x i thuộc L
2
(Q)
H
1,1
(Q) không gian các hàm y ∈ L
2
(Q) có đạo hàm riêng yếu cấp một
theo biến x i và đạo hàm suy rộng theo biến t thuộc L
2
(Q)
H
1,0
I
(Q) không gian các hàm thuộc H
1,0
(Q) có tập xác định là I
ess sup x∈E | y(x) | := inf
|F |=0
( sup
x∈E\F | y(x) | )
L
∞
(Ω) không gian các hàm bị chặn và đo được theo nghĩa Lebesgue
với chuẩn được xác định bởi k y(x) k L ∞ (Ω) = ess sup x∈E | y(x) |
vMở đầu
Các quá trình truyền nhiệt hay khuếch tán thường được mô hình hóa bằng
bài toán biên cho phương trình parabolic: khi miền vật lý, hệ số của phương
trình, điều kiện ban đầu và điều kiện biên được biết, người ta nghiên cứu bài
toán biên này và dựa vào nghiệm của bài toán đưa ra một dự đoán về hiện
tượng đang nghiên cứu. Đây là bài toán thuận cho quá trình mà ta đang xét.
Tuy nhiên, trong thực tế, nhiều khi miền vật lý, hoặc hệ số của phương trình,
hoặc điều kiện biên, điều kiện ban đầu không được biết cụ thể mà ta phải xác
định chúng qua các đo đạc gián tiếp, để qua đó nghiên cứu lại quá trình. Đây
chính là những bài toán ngược với bài toán thuận được nói ở trên và là chủ đề
sôi động trong mô hình hóa toán học và lý thuyết phương trình vi phân hơn
100 năm qua [1], [5], [9], [33], [46], [46], [47], [70]. Hai điều kiện quan trọng để
mô hình hóa một quá trình truyền nhiệt đó là quy luật trao đổi nhiệt trên biên
và nguồn. Cả hai điều kiện này đều do tác động ở bên ngoài và không phải lúc
nào cũng được biết trước, do đó trong những trường hợp này, ta phải xác định
chúng qua các đo đạc gián tiếp và đó là nội dung của luận án này. Luận án gồm
hai phần, phần đầu nghiên cứu bài toán xác định quy luật trao đổi nhiệt (nói
chung là phi tuyến) trên biên qua đo đạc trên biên và phần thứ hai nghiên cứu
bài toán xác định nguồn (tạo ra quá trình truyền nhiệt hay khuếch tán) qua
các quan sát khác nhau.
Có rất nhiều các hiện tượng vật lý xảy ra trong điều kiện nhiệt độ, áp suất
cao hoặc trong các môi trường khắc nghiệt như: các buồng đốt, các tua bin
khí, các quá trình làm nóng, làm nguội thép và trong quá trình dập tắt khí
trong lò, . mà ở đó cả nguồn nhiệt và khối lượng nhiệt trao đổi đều chưa biết,
hoặc quá trình trao đổi nhiệt trên biên chưa biết tuân theo quy luật nào (quy
12
luật truyền nhiệt tuyến tính của Newton hay quy luật bức xạ nhiệt bậc bốn
của Stefan-Boltzmann chẳng hạn). Khi đó, chúng ta mô hình hóa các quá trình
truyền nhiệt này như các bài toán ngược xác định quy luật truyền nhiệt không
tuyến tính ở trên biên hoặc xác định nhiệt độ phụ thuộc vào hệ số truyền nhiệt.
Trong một số lĩnh vực ứng dụng khác, các bài toán này có thể xem như các
dạng mô hình về sự khuếch tán khí trong các phản ứng hóa học chưa biết trên
bề mặt vật chất hay mật độ dân số tại vùng giáp ranh với quy luật di trú chưa
biết [88].
Năm 1989, Pilant và Rundell [69] xét bài toán xác định quy luật truyền
nhiệt g( · ) và nhiệt độ u(x, t) trong bài toán giá trị biên ban đầu một chiều


u t ư u xx = γ(x, t), 0 < x < 1, 0 < t < T,
u(x, 0) = u 0 (x), 0 < x < 1,
u x (0, t) = g(u(0, t)), 0 ≤ t ≤ T,
ư u x (1, t) = g(u(1, t)), 0 ≤ t ≤ T,
(0.1)
từ điều kiện quan sát bổ sung
u(0, t) = h(t), (0.2)
trong đó γ, u 0 và h là các hàm cho trước, tương ứng với nguồn nhiệt, nhiệt độ
tại thời điểm ban đầu và nhiệt độ trên biên. Từ phương trình (0.1) ta thu được
u x (0, t) = g(h(t)) với t ∈ [0, T]. Với một số điều kiện nhất định, các tác giả đã
chứng minh tồn tại duy nhất cặp (u, g) của phương trình (0.1) trong khoảng
0 ≤ t ≤ t ∗ , với t ∗ ∈ (0, T] nào đó. Các tác giả cũng đã đề xuất phương pháp
lặp để giải bài toán ngược này và thử nghiệm thuật toán trên máy tính. Sau
đó, vào năm 1990, Rundell và Yin [79] đã nghiên cứu bài toán tương tự nhưng
trong trường hợp nhiều chiều. Cụ thể, cho T > 0 và Q = Ω × (0, T] với Ω là
miền giới nội trong R
n , các tác giả xét bài toán tìm cặp hàm u(x, t) và g(s) xác
định tương ứng trên Q và [A, B], thỏa mãn hệ phương trình


u t ư Δu = γ(x, t) trong Q,
u(x, 0) = u 0 (x) trong Ω,
∂u
∂ν
= g(u) + ϕ trên S := ∂Ω × [0, T],
(0.3)3
với quan sát bổ sung tại một điểm trên biên
u(ξ 0 , t) = h(t), t ∈ [0, T], (0.4)
trong đó các hàm γ, u 0 , ϕ và h cho trước, ξ 0 là một điểm cố định trên biên ∂Ω
của Ω, ν là véc tơ pháp tuyến đơn vị ngoài trên biên S, A = min
Q
u(x, t) và
B = max
Q
u(x, t). Với một số giả thiết nhất định, các tác giả đã đưa ra đánh
giá ổn định cho hàm g và từ đó họ thu được tính duy nhất nghiệm của bài toán
(0.3). Ta thấy, hàm g chỉ có thể xác định trong khoảng [A, B] chứ không xác
định trên toàn trục thực R . Vì thế vào năm 1999, Choulli [14] đã đặt ra một
câu hỏi rất tự nhiên: chúng ta phải cần đến bao nhiêu đo đạc để tìm lại hàm
g(s) với s ∈ R ? Choulli đã chứng minh rằng: (i) nếu tất cả các đo đạc trên biên
đều thực hiện được và hàm g ′ bị chặn thì bài toán có nghiệm duy nhất; (ii) nếu
các đo đạc trên biên được thực hiện trong các không gian vectơ một chiều thì
ta cũng có nghiệm duy nhất, và ông đã chứng minh hàm g biểu diễn được dưới
dạng g = g 0 + g 1 , trong đó g 0 là hàm đã biết còn g 1 là hàm chưa biết và không
có điểm tụ 0. Theo hướng nghiên cứu này, các tác giả của [18] đã ra phương
pháp tuyến tính hóa tự nhiên (natural linearization) để xác định lại quy luật
truyền nhiệt không tuyến tính g(u) trong (0.3) với giả thiết là nhiệt độ trên
toàn bộ biên S đo được, thay vì các đo đạc tại từng điểm như trong (0.4).
Trong một chuỗi các bài báo ([51], [80] – [86]), Tr¨oltzsch và R¨osch cũng đã
nghiên cứu bài toán tương tự. Cụ thể, các tác giả xét bài toán xác định hệ số
truyền nhiệt σ(u) trong bài toán giá trị biên ban đầu


u t ư Δu = 0 trong Q,
u(x, 0) = u 0 (x) trên Ω,
∂u
∂ν
= σ(u(ξ, t))(u ∞ ư u(ξ, t)) trên S = ∂Ω × [0, T],
(0.5)
trong đó u ∞ là nhiệt độ môi trường xung quanh, được biết là một hằng số cho
trước, từ các điều kiện quan sát bổ sung khác nhau như: u(x, t) được cho trên
cả miền Q, hoặc u(x, t i ) được cho tại một thời điểm cố định t i , i = 1, . , L,
[80], [86], hoặc u cho trên toàn bộ biên S [83]. Các tác giả đã chuyển bài toán
ngược về bài toán điều khiển tối ưu, rồi chứng minh tính khả vi Fréchet của
phiếm hàm cần cực tiểu hóa, sau đó đã sử dụng phương pháp lặp để giải số4
bài toán. Chúng ta cũng lưu ý rằng, trong quá trình truyền nhiệt, hệ số truyền
nhiệt σ trong bài toán (0.5) có thể phụ thuộc cả vào nhiệt độ u và thời gian t
[28], nhưng việc nghiên cứu bài toán ngược khi đó rất phức tạp và không nằm
trong khuôn khổ của luận án này. Ngoài ta, chúng tôi cũng muốn bổ sung thêm
rằng, vào năm 2009, Lesnic và các đồng tác giả [58], [67], Janicki và Kindermann
[50] cũng nghiên cứu các phương pháp số để giải bài toán (0.1) và bài toán (0.5).
Trong phần đầu của luận án này, cụ thể trong Chương 1, chúng tôi nghiên
cứu bài toán ngược xác định hàm g( · , · ) trong bài toán giá trị biên ban đầu [87]


u t ư Δu = 0 trong Q,
u(x, 0) = u 0 (x) trong Ω,
∂u
∂ν
= g(u, f) trên S,
(0.6)
từ điều kiện quan sát bổ sung (0.4). Ở đây,
g : I × I → R (với I là khoảng con của R ) được giả sử là hàm
liên tục Lipschitz địa phương, đơn điệu giảm theo biến u, đơn điệu
tăng theo biến f và thỏa mãn g(u, u) = 0, u 0 và f là các hàm cho
trước có miền giá trị thuộc I, tương ứng thuộc L 2 (Ω) và L 2 (S).
Chúng tôi cũng lưu ý rằng, để chứng minh bài toán thuận có nghiệm ta cần
đến giả thiết hàm g đơn điệu giảm theo biến u, đơn điệu tăng theo biến f. Hơn
nữa, với giả thiết này ta có nguyên lý maximum, điều này là cần thiết cho việc
giải bài toán ngược, cũng như điều kiện quy luật biên đơn điệu là cần thiết để
giải bài toán ngược.
Thông thường, hệ số truyền nhiệt được xem như hàm của biến thời gian và
không gian [36], tuy nhiên trong luận án chúng tôi chỉ đề cập đến những ứng
dụng mà hệ số truyền nhiệt chỉ phụ thuộc vào nhiệt độ trên biên.
Ta biết rằng, bài toán (0.6) mô tả nhiều tình huống thực tế [4], [87]. Nó bao
gồm điều kiện biên tuyến tính dạng g(u, f) = c(f ư u) với c là một hằng số dương.
Nó cũng bao gồm điều kiện biên phi tuyến dạng g(u, f) = φ(f) ư φ(u), với φ là
hàm Lipschitz, đơn điệu tăng trên I; gồm cả điều kiện bức xạ Stefan-Boltzmann
như φ(w) = w 4 với I = [0, ∞ ), quy luật trao đổi enzim của Michaelis-Menten5
với φ(u) = cu/(u+k), trong đó c và k là các hằng số dương. Điều kiện biên dạng
này cũng bao gồm cả trường hợp g(u, f) = ψ(f ư u), với ψ là hàm Lipschitz,
đơn điệu tăng trong khoảng I ư I; và đặc biệt là ψ(w) = w 5/4 với w > 0, và
ψ(w) = 0 với w < 0, mô tả hiện tượng đối lưu tự nhiên ở trên biên.
Quan sát theo từng điểm (0.4) thường không có ý nghĩa khi nghiệm của
(0.6) được hiểu theo nghĩa nghiệm yếu. Do đó, trong luận án chúng tôi sẽ thay
thế quan sát này bởi các quan sát sau
1) Quan sát trên một phần của biên
u | Σ = h(x, t), (x, t) ∈ Σ, (0.7)
với Σ = Γ × (0, T], Γ là một phần của ∂Ω có độ đo khác 0;
2) Quan sát tích phân biên
lu := Z ∂Ω
ω(x)u(x, t)dS = h(t), t ∈ (0, T], (0.8)
trong đó ω là hàm không âm, xác định trên ∂Ω, ω ∈ L 1 (∂Ω) và R ∂Ω
ω(x)dS > 0.
Chúng tôi lưu ý rằng, nếu ta chọn hàm ω như là xấp xỉ của hàm Dirac δ thì các
quan sát (0.8) có thể coi là trung bình của quan sát (0.4). Quan sát tích phân
là lựa chọn thay thế cho quan sát đo đạc theo từng điểm (khi thiết bị đo đạc
có độ dày khác 0) và bài toán ngược sẽ được giải một cách dễ dàng hơn nhờ
phương pháp biến phân. Ngoài ra với cách đặt bài toán như ở trên, ta chỉ cần
đo đạc ở một phần của biên là có thể xác định được quy luật truyền nhiệt trên
biên, đây là một điều quan trọng trong thực tế.
Chúng tôi tiến hành nghiên cứu bài toán (0.6) với quan sát (0.8) và quan sát
(0.7), nghiên cứu bài toán (0.5) với quan sát (0.8). Trong mỗi bài toán, chúng
tôi trình bày một vài kết quả đã biết về bài toán thuận (0.6), sử dụng phương
pháp biến phân để giải bài toán ngược và chứng minh sự tồn tại nghiệm của
bài toán tối ưu hóa, cũng như đưa ra công thức tính gradient của phiếm hàm
cần cực tiểu hóa; phần cuối cùng trong mỗi mục, chúng tôi dành để trình bày
và thảo luận về phương pháp số để giải các bài toán trên.
Phần thứ hai của luận án dành cho bài toán xác định nguồn trong quá trình
truyền nhiệt. Bài toán này được nhiều nhà khoa học nghiên cứu trong vòng hơn6
50 năm qua. Mặc dù có khá nhiều kết quả về tính tồn tại, duy nhất và đánh giá
ổn định cho bài toán, nhưng do tính đặt không chỉnh và có thể phi tuyến của
bài toán, nên trong thời gian gần đây đã có rất nhiều nhà toán học và kỹ sư
đã đặt lại vấn đề nghiên cứu chúng. Để minh họa cho nhận định này, chúng tôi
xin trích dẫn các sách chuyên khảo [9], [33], [46], [47], [70] và bài báo mới đây
[75] về tổng quan của bài toán. Để cho cụ thể, giả sử Ω ⊂ R
n là miền Lipschitz,
giới nội với biên Γ. Ký hiệu Q := Ω × (0, T], với T > 0 và biên S = Γ × (0, T].
Giả sử
a ij , i, j ∈ { 1, 2, . , n } , b ∈ L
∞
(Q),
a ij = a ji , i, j ∈ { 1, 2, . , n } ,
λ k ξ k 2
Rn ≤
n X i,j=1
a ij (x, t)ξ i ξ j ≤ Λ k ξ k 2
Rn , ∀ ξ ∈ R
n
,
0 ≤ b(x, t) ≤ µ 1 , hầu khắp trong Q,
u 0 ∈ L
2
(Ω), ϕ, ψ ∈ L
2
(S),
λ và Λ là các hằng số dương và µ 1 ≥ 0.
Xét bài toán giá trị ban đầu
∂u
∂t ư
n X i,j=1
∂
∂x i  a ij (x, t)
∂u
∂x j  + b(x, t)u = F, (x, t) ∈ Q,
u | t=0 = u 0 (x), x ∈ Ω,
với điều kiện biên Robin
∂u
∂ N
+ σu | S = ϕ trên S,
hoặc điều kiện biên Dirichlet
u | S = ψ trên S.
Ở đây,
∂u
∂ N
| S :=
n X i,j=1
(a ij (x, t)u x j ) cos(ν, x i ) | S ,
ν là vectơ pháp tuyến ngoài đối với S và σ ∈ L ∞ (S), được giả thiết là không
âm hầu khắp nơi trên S.7
Bài toán thuận là bài toán xác định u khi các hệ số của phương trình (2.7)
và các dữ kiện u 0 , ϕ (hoặc ψ) cũng như F đã cho [33], [94], [97]. Bài toán ngược
là bài toán xác định vế phải F khi một số điều kiện bổ sung lên lời giải u được
cho thêm vào. Phụ thuộc vào cấu trúc của F và các quan sát bổ sung của u, ta
có các bài toán ngược khác nhau như sau:
ã Bài toán ngược IP1: F(x, t) = f(x, t)h(x, t) + g(x, t), tìm f(x, t), khi u
được cho trên Q [57], [96].
ã IP2: F(x, t) = f(x)h(x, t) + g(x, t), h và g đã biết. Tìm f(x), khi u(x, T)
được cho, [41], [43], [48], [49], [52], [78]. Các bài toán ngược tương tự cho
phương trình phi tuyến được Gol’dman nghiên cứu [25], [26], [27].
ã IP2a: F(x, t) = f(x)h(x, t) + g(x, t), h và g đã biết. Tìm f(x), nếu
R Ω
ω 1 (t)u(x, t)dx được biết. Ở đây, ω 1 thuộc L ∞ (0, T) và không âm. Ngoài
ra, R T
0
ω 1 (t)dt > 0. Các quan sát dạng này được gọi là quan sát tích phân
và chúng là mở rộng của quan sát tại thời điểm cuối T trong IP2, khi ω 1
là xấp xỉ hàm δ tại t = T. Bài toán này được nghiên cứu trong [23], [53],
[65], [66], [73], [74], [75], [92].
ã IP3: F(x, t) = f(t)h(x, t) + g(x, t), h và g đã cho. Tìm f(t), nếu u(x 0 , t)
được biết. Ở đây, x 0 là một điểm thuộc Ω [6], [7], [24], [71], [72].
ã IP3a: F(x, t) = f(t)h(x, t) + g(x, t), h và g đã cho. Tìm f(t), nếu
R Ω
ω 2 (x)u(x, t)dx được biết. Ở đây, ω 2 ∈ L ∞ (Ω) với R Ω
ω 2 (x)dx > 0, [54],
[64], [66].
ã IP4: F(x, t) = f(x)h(x, t) + g(x, t), h và g đã cho. Tìm f(x) nếu một
điều kiện bổ sung ở trên biên của u được biết. Ví dụ, như khi điều kiện
Dirichlet đã cho, ta có thể lấy dữ kiện bổ sung là điều kiện Neumann
được cho trên một phần của S [8], [10], [11], [12], [15], [16], [22], [95], [98],
[99]. Bài toán tương tự khi xác định f(t) với F(x, t) = f(t)h(x, t)+g(x, t)
được đề cập trong [42].
ã IP5: Tìm nguồn điểm với quan sát trên biên [2], [3], [19], [20], [21], [31],
[32], [33], [39], [40], [59, 60]. Một bài toán liên quan được xét trong [44].8
Ta để ý rằng, trong các bài toán ngược IP1, IP2, IP2a để xác định f(x, t) và
f(x) ta phải đòi hỏi lời giải u được biết trên toàn miền vật lý Ω - điều này khó
có thể thực hiện được trong thực tế. Để khắc phục khiếm khuyết này, chúng
tôi tiếp cận đến bài toán ngược này từ một quan điểm khác: đo đạc u tại một
số điểm trong (hoặc điểm biên) x 1 , x 2 , . , x N ∈ Ω (hoặc trên ∂Ω) và từ các dữ
kiện này xác định vế phải F. Vì các đo đạc bao giờ cũng phải lấy trung bình,
nên với cách tiếp cận này ta có các dữ kiện sau:
l i u = Z Ω
ω i (x)u(x, t)dx = h i (t), h i ∈ L
2
(0, T), i = 1, 2, . , N,
với ω i ∈ L ∞ (Ω) và R Ω
ω i (x)dx > 0, i = 1, 2, . , N, là các hàm trọng, còn N là
số các đo đạc. Để ý rằng, nếu ta đặt
ω i (x) = 

1
| Ω i |
, nếu x ∈ Ω i ,
0, nếu x 6∈ Ω i
với | Ω i | là thể tích của Ω i - một lân cận của x i . Khi đó l i u cho ta kết quả đo
đạc tại x i và có thể hiểu là giá trị trung bình của u(x i , t) nếu như nó tồn tại.
Nếu ta cho | Ω i | tiến tới không, thì l i u sẽ hội tụ đến u(x i , t) nếu giá trị này tồn
tại. Tuy nhiên, do lời giải được hiểu theo nghĩa yếu, nên không phải lúc nào
u(x i , t) cũng có nghĩa. Do vậy, giả thiết l i u có thể đo được là có ý nghĩa thực
tiễn. Ngoài ra, rõ ràng rằng, nếu ta chỉ có các dữ kiện l i u, thì ta sẽ không có
tính duy nhất nghiệm của bài toán, trừ trường hợp khi ta xác định f(t) trong
IP3, IP3a [6], [7], [71]. Bởi vậy, để có tính duy nhất, ta giả thiết rằng, ta có một
dự đoán f ∗ của f - giả thiết thường đặt ra khi giải các bài toán thực tế. Tóm
lại bài toán ngược trong các tiếp cận mới của chúng tôi như sau:
Giả sử ta đo được các dữ kiện l i u = h i (t), i = 1, 2, . , N, với một
sai số nào đó và một ước lượng f ∗ của f đã được biết. Xác định f.
Ta sẽ giải bài toán ngược này bằng phương pháp bình phương tối thiểu: cực
tiểu hóa phiếm hàm
J γ (f) =
1
2
N X i=1
k l i u ư h i k 2
L 2 (0,T )
+
γ
2 k f ư f
∗ k 2
∗ ,9
với γ là tham số hiệu chỉnh, k · k ∗ là chuẩn thích hợp. Chúng tôi muốn nhấn
mạnh rằng, phương pháp biến phân dạng này đã được sử dụng để giải các bài
toán truyền nhiệt ngược [29], [30], [33] và chứng tỏ nó rất hữu hiệu.
Chúng tôi chứng minh rằng, phiếm hàm này khả vi Fréchet và đưa ra công
thức cho gradient của phiếm hàm thông qua một bài toán liên hợp. Sau đó chúng
tôi sẽ rời rạc hóa bài toán bằng phương pháp phần tử hữu hạn và phương pháp
sai phân rồi giải bài toán tối ưu rời rạc bằng phương pháp gradient liên hợp.
Trường hợp xác định f(t) sẽ được giải bằng phương pháp sai phân phân rã
(finite difference splitting method). Các kết quả số cho thấy cách tiếp cận của
chúng tôi là đúng đắn và phương pháp giải số là hữu hiệu.
Các kết quả chính của luận án đã được báo cáo và thảo luận tại các hội
nghị, hội thảo khoa học, xê mi na sau:
- Đại hội Toán học toàn quốc lần thứ tám, Nha Trang, tháng 8, 2013.
- Hội thảo Quốc gia lần thứ mười hai về Tối ưu và Tính toán khoa học, Ba Vì,
Hà Nội, tháng 4, 2014.
- Xê mi na tại Phòng Phương trình vi phân, Viện Toán học, Viện Hàn lâm
Khoa học và Công nghệ Việt Nam.
- Xê mi na tại khoa Toán, trường Đại học Sư phạm, Đại học Thái Nguyên.
- Xê mi na tại khoa Toán – Tin, trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên.