Thạc Sĩ Về tính chất tiệm cận của một số Môđun phân bậc

L˝I CƒM ÌN
Tæi xin b y tä lÆng bi‚t ìn ‚n thƒy tæi- GS. TSKH. Nguy„n Tü Cưíng.
Thƒy ¢ t“n t nh d⁄y dØ tæi tł khi tæi b›t ƒu l m quen vîi ⁄i sŁ giao
ho¡n, Thƒy ¢ d u d›t tæi tł nhœng þ tưðng to¡n håc ƒu ti¶n v  ¢
ki¶n tr hưîng d¤n ” tæi ho n th nh lu“n ¡n. Trong khoa håc Thƒy
luæn nghi¶m kh›c vîi håc trÆ, trong cuºc sŁng Thƒy luæn d nh cho håc
trÆ cıa m nh nhœng t nh c£m §m ¡p v  sü y¶u thưìng. B¶n c⁄nh nhœng
ki‚n thøc to¡n håc, tæi cÆn nh“n ưæc tł Thƒy nhœng b i håc trong cuºc
sŁng, b i håc l m ngưíi nh¥n h“u.
Tæi xin b y tä lÆng bi‚t ìn ‚n thƒy tæi- GS. TS. L¶ V«n Thuy‚t.
Thƒy ¢ t“n t nh d⁄y dØ tæi tł khi tæi cÆn l  håc vi¶n cao håc v  t“n
t nh hưîng d¤n tæi l m lu“n v«n Th⁄c s¾. Trong thíi gian l m nghi¶n
cøu sinh tæi luæn nh“n ưæc sü ºng vi¶n cıa Thƒy. Thƒy luæn quan
t¥m ‚n tæi, nh›c nhð tæi ” tæi ho n th nh lu“n ¡n v  luæn t⁄o måi
iãu ki»n thu“n læi ” tæi ho n th nh chưìng tr nh håc t“p, nghi¶n cøu
cıa m nh.
Lu“n ¡n n y ưæc ho n th nh dưîi sü hưîng d¤n nghi¶m kh›c v 
ƒy tr¡ch nhi»m cıa hai ngưíi thƒy GS. TSKH. Nguy„n Tü Cưíng v 
GS. TS. L¶ V«n Thuy‚t. Mºt lƒn nœa tæi xin b y tä lÆng bi‚t ìn s¥u s›c
‚n hai ngưíi thƒy cıa tæi.
Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn GS. TSKH. Ngæ Vi»t Trung v  GS. TSKH.
L¶ Tu§n Hoa ¢ t⁄o iãu ki»n ” tæi ưæc tham gia sinh ho⁄t khoa håc
t⁄i Vi»n To¡n håc.Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn Khoa To¡n, PhÆng  o t⁄o sau ⁄i håc-
Trưíng ⁄i håc Sư ph⁄m- ⁄i håc Hu‚, Ban  o t⁄o sau ⁄i håc- ⁄i
håc Hu‚ ¢ t⁄o iãu ki»n thu“n læi cho tæi håc t“p, nghi¶n cøu v  ho n
th nh chưìng tr nh nghi¶n cøu sinh cıa m nh.
Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn Trưíng ⁄i håc T¥y Nguy¶n, Khoa Khoa
håc Tü nhi¶n v  Cæng ngh», c¡c phÆng chøc n«ng ¢ cho tæi cì hºi håc
t“p v  nghi¶n cøu. Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn c¡c thƒy cæ trong Bº mæn
To¡n ¢ ºng vi¶n, kh‰ch l» ” tæi ho n th nh lu“n ¡n.
Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn TS. o n Trung Cưíng, TS. Nguy„n V«n
Ho ng, c¡c nghi¶n cøu sinh Trƒn Nguy¶n An, Ph⁄m Hòng Quþ, Ho ng
L¶ Trưíng v  Nguy„n Tu§n Long ¢ d nh cho tæi nhœng t nh c£m th¥n
thi‚t v  nhœng trao Œi chuy¶n mæn bŒ ‰ch. Trong qu¡ tr nh håc t“p xa
nh  tæi luæn nh“n ưæc sü ºng vi¶n, kh‰ch l» v  nhœng chia s· buçn vui
cıa c¡c anh, em nghi¶n cøu sinh ð C5, tæi xin gßi líi c£m ìn ‚n hå.
Nh¥n dàp n y, tæi xin b y tä lÆng bi‚t ìn s¥u s›c tîi BŁ, Mµ v  c¡c
anh chà em trong gia  nh cıa m nh ¢ luæn y¶u thưìng, ch«m lo chu
¡o ” tæi ưæc håc t“p, nghi¶n cøu trong kho£ng thíi gian d i trưîc
¥y công như cŒ vô, ºng vi¶n ” tæi ho n th nh b£n lu“n ¡n n y.
CuŁi còng, tæi xin ch¥n th nh c£m ìn Væ, Con trai v  Con g¡i y¶u
quþ cıa m nh- nhœng ngưíi ¢ g¡nh v¡c måi cæng vi»c, ch§p nh“n måi
khâ kh«n v  chàu nhiãu thi»t thÆi trong suŁt thíi gian tæi håc t“p xa
nh . Ch‰nh hå l  nhœng ngưíi luæn mong mäi v  æi chí th nh cæng cıa
tæi. Tæi xin d nh b£n lu“n ¡n n y t°ng Mµ, Væ v  hai con th¥n y¶u cıa
m nh.1
MÖC LÖC
Mð ƒu 3
Chưìng 1. Ki‚n thøc chu'n bà 13
1.1 I¶an nguy¶n tŁ li¶n k‚t v  g›n k‚t 13
1.2 D¢y ch‰nh quy v  º s¥u 16
1.3 Łi çng iãu àa phưìng . 19
1.4 Mæun ph¥n b“c v  låc . 22
Chưìng 2. ˚n ành ti»m c“n cıa º s¥u chiãu > k 25
2.1 Mư d¢y chiãu > k 26
2.2 ˚n ành ti»m c“n cıa º s¥u chiãu > k 33
2.3 Mºt sŁ b§t flng thøc cıa º s¥u chiãu > k . 38
2.4 K‚t lu“n Chưìng 2 . 43
Chưìng 3. ˚n ành ti»m c“n cıa mºt sŁ t“p i¶an
nguy¶n tŁ li¶n k‚t ho°c g›n k‚t 44
3.1 T“p i¶an nguy¶n tŁ li¶n k‚t cıa mæun Łi çng iãu
àa phưìng t⁄i º s¥u v  º s¥u låc 45
3.2 T“p i¶an nguy¶n tŁ li¶n k‚t cıa mæun Łi çng iãu
àa phưìng t⁄i º s¥u suy rºng v  t⁄i d ư 1 54
3.3 V‰ dö vã t‰nh khæng Œn ành cıa t“p i¶an nguy¶n tŁ li¶n
k‚t v  g›n k‚t 62
3.4 K‚t lu“n Chưìng 3 . 692
K‚t lu“n cıa lu“n ¡n 71
C¡c cæng tr nh li¶n quan ‚n lu“n ¡n 72
T i li»u tham kh£o 733
M— †U
Vi»c nghi¶n cøu t‰nh Œn ành ti»m c“n cıa t“p i¶an nguy¶n tŁ li¶n k‚t
cıa mæun Łi çng iãu àa phưìng b›t nguçn tł hai v§n ã sau ¥y.
Trưîc h‚t, n«m 1990 C. Huneke [22, B i to¡n 4] ưa ra gi£ thuy‚t:
T“p i¶an nguy¶n tŁ li¶n k‚t cıa mæun Łi çng iãu àa phưìng
H i
I
(M) l  hœu h⁄n vîi måi Rư mæun hœu h⁄n sinh M , vîi måi i¶an I
v  måi sŁ nguy¶n i .
C¥u tr£ líi khflng ành ưæc ưa ra bði G. Lyubeznik [30] v  C.
Huneke v  R. Y. Sharp [23] cho trưíng hæp v nh àa phưìng ch‰nh quy
flng °c sŁ. M°c dò A. Singh [46] v  M. Katzman [24] ưa ra v‰ dö vã
mæun hœu h⁄n sinh m  câ mºt sŁ mæun Łi çng iãu àa phưìng vîi
væ h⁄n i¶an nguy¶n tŁ li¶n k‚t, b i to¡n v¤n óng trong nhiãu trưíng
hæp (xem [7], [25], [26], [33], [40], .). Tł ¥y mºt b i to¡n quan trång
trong ⁄i sŁ giao ho¡n l : Khi n o th t“p i¶an nguy¶n tŁ li¶n k‚t cıa
mæun Łi çng iãu àa phưìng H i
I
(M) l  hœu h⁄n? B i to¡n n y ¢
v  ang ưæc nhiãu ngưíi quan t¥m nghi¶n cøu (xem [4], [11], [12], [13],
[14], [15], [16], [21], [40], .).
Ti‚p theo, b i to¡n nghi¶n cøu d¡ng i»u ti»m c“n cıa t“p i¶an
nguy¶n tŁ li¶n k‚t Ass R (R/I n ) ưæc °t ra bði L. J. Ratliff [41] tł n«m
1976. M. Brodmann [5] n«m 1979 ¢ gi£i quy‚t b i to¡n n y, khæng
ch¿ cho c¡c v nh m  th“m ch‰ cÆn tŒng qu¡t cho c£ mæun, æng ta ch¿
ra r‹ng c¡c t“p Ass R (M/I n M) v  Ass R (I n M/I n+1 M) khæng phö thuºc4
v o n khi n ı lîn. N«m 1986, Sharp [43] ¢ chøng minh c¡c t“p i¶an
nguy¶n tŁ g›n k‚t Att R (0 : A I n ) v  Att R ((0 : A I n+1 )/(0 : A I n ) ) Œn ành
khi n ı lîn, trong â A l  mºt Rư mæun Artin. N«m 1990, Melkersson
[37] ¢ dòng phưìng ph¡p x†t b i to¡n vã t‰nh Œn ành cıa t“p i¶an
nguy¶n tŁ li¶n k‚t v  g›n k‚t cho trưíng hæp ph¥n b“c, tł â nh“n l⁄i
c¡c k‚t qu£ tr¶n. N«m 1993, L. Melkersson v  P. Schenzel [38] ph¡t tri”n
c¡c k‚t qu£ cıa Brodmann v  Sharp cho mºt sŁ t“p i¶an nguy¶n tŁ
li¶n k‚t v  g›n k‚t cıa mæun Ext v  Tor . Hi»n nay, v§n ã nghi¶n cøu
d¡ng i»u ti»m c“n cıa mºt sŁ t“p i¶an nguy¶n tŁ li¶n k‚t v  g›n k‚t
v¤n ang ưæc nhiãu ngưíi quan t¥m (xem [13], [14], [20], [27], [28], [36],
[42], [44], [47], [49], .).
Düa v o k‚t qu£ Œn ành cıa c¡c t“p i¶an nguy¶n tŁ li¶n k‚t
Ass R (J n M/J n+1 M) v  Ass R (M/J n M) , Brodmann [6] chøng minh c¡c sŁ
nguy¶n depth(I, J n M/J n+1 M) v  depth(I, M/J n M) nh“n gi¡ trà khæng
Œi khi n ı lîn. Gƒn ¥y, Brodmann v  L. T. Nh n [8] giîi thi»u kh¡i
ni»m Mư d¢y chiãu > k l  mºt mð rºng cıa kh¡i ni»m d¢y ch‰nh quy.
Hå công chøng minh r‹ng n‚u dim M/IM > k th måi Mư d¢y chiãu
> k chøa trong I ãu câ th” bŒ sung th nh mºt d¢y cüc ⁄i v  t§t c£
Mư d¢y chiãu > k cüc ⁄i trong I ãu câ còng º d i. º d i chung n y
ưæc chóng tæi gåi l  º s¥u chiãu > k cıa M trong I v  ưæc kþ hi»u
l  depth
k
(I, M) .
Tł c¡c v§n ã tr¶n, möc ‰ch cıa chóng tæi trong lu“n ¡n n y
l  nghi¶n cøu mºt sŁ t‰nh ch§t ti»m c“n cıa mæun ph¥n b“c x¡c
ành bði mºt mæun hœu h⁄n sinh. Chóng tæi x†t mæun ph¥n b“c
M = ⊕ n≥0 J n M/J n+1 M v  °t r k (n) = depth
k
(I, J n M/J n+1 M) l  º
s¥u chiãu > k cıa mæun J n M/J n+1 M trong I . Như chóng ta ¢ bi‚t,
gi£ thuy‚t cıa Huneke khæng óng cho trưíng hæp tŒng qu¡t. Tuy nhi¶n,5
trong trưíng hæp i ≤ r 1 (n) th t“p i¶an nguy¶n tŁ li¶n k‚t cıa mæun
Łi çng iãu àa phưìng H i
I
(J n M/J n+1 M) l  t“p hœu h⁄n v  do â
chóng tæi nghi¶n cøu t‰nh Œn ành cıa c¡c t“p hæp n y. Trưîc h‚t,
chóng tæi chøng minh t‰nh Œn ành cıa º s¥u chiãu > k cıa mæun
J n M/J n+1 M trong I . Sau â, chóng tæi ưa ra mºt sŁ b§t flng thøc
cıa º s¥u chiãu > k øng vîi mºt låc Œn ành. Ti‚p theo, chóng tæi
nghi¶n cøu t‰nh Œn ành cıa t“p i¶an nguy¶n tŁ li¶n k‚t cıa mæun
Łi çng iãu àa phưìng t⁄i gi¡ trà Œn ành cıa r k (n) , øng vîi k = ư1 ,
k = 0 v  k = 1 . Ngo i ra, chóng tæi cÆn ưa ra v‰ dö vã t‰nh khæng Œn
ành cıa t“p i¶an nguy¶n tŁ li¶n k‚t v  g›n k‚t cıa mºt sŁ mæun Łi
çng iãu àa phưìng. Song song vîi vi»c nghi¶n cøu c¡c t‰nh ch§t ti»m
c“n cıa mæun J n M/J n+1 M , b i to¡n tưìng tü cho mæun M/J n M
công ưæc chóng tæi nghi¶n cøu trong lu“n ¡n n y.
Lu“n ¡n ưæc chia th nh 3 chưìng. Chưìng 1 nh›c l⁄i mºt sŁ ki‚n
thøc cì sð như i¶an nguy¶n tŁ li¶n k‚t, i¶an nguy¶n tŁ g›n k‚t, d¢y
ch‰nh quy, Łi çng iãu àa phưìng, mæun ph¥n b“c v  låc nh‹m gióp
cho vi»c tr nh b y rª r ng, câ h» thŁng c¡c k‚t qu£ trong c¡c chưìng
sau.
Trong to n bº Chưìng 2 v  Chưìng 3 chóng tæi luæn gi£ thi‚t (R, m)
l  v nh giao ho¡n Noether àa phưìng, I, J l  hai i¶an cıa R , M l 
Rư mæun hœu h⁄n sinh v  A l  Rư mæun Artin. Ngo i ra, chóng tæi
luæn gi£ thi‚t R = ⊕ n≥0 R n l  ⁄i sŁ ph¥n b“c chu'n hœu h⁄n sinh tr¶n
R 0 = R v  M = ⊕ n≥0 M n l  Rư mæun ph¥n b“c hœu h⁄n sinh.
Nºi dung cıa Chưìng 2 düa tr¶n c¡c b i b¡o [14] v  [16]. Trong chưìng
n y chóng tæi nghi¶n cøu mºt sŁ cæng thøc t‰nh º s¥u chiãu > k , chøng
minh t‰nh Œn ành cıa º s¥u chiãu > k v  mºt sŁ b§t flng thøc cıa º
s¥u chiãu > k øng vîi mºt Jư låc Œn ành.6
” ìn gi£n, chóng tæi kþ hi»u N n thay cho M n ho°c M/J n M . K‚t
qu£ thø nh§t cıa chóng tæi trong chưìng n y l  ành lþ sau.
ành lþ 2.2.3. Cho k ≥ ư1 l  mºt sŁ nguy¶n. Khi â depth
k
(I, N n )
nh“n gi¡ trà h‹ng khi n ı lîn.
K‚t qu£ thø hai cıa chóng tæi trong chưìng n y l  chøng minh t‰nh
Œn ành cıa d¢y chiãu > k ho¡n và ưæc v  d¢y Iư låc ch‰nh quy ho¡n
và ưæc cıa N n , ¥y ch‰nh l  nºi dung cıa ành lþ 2.2.5.
N«m 2005, J. Herzog v  T. Hibi [19] kþ hi»u c¡c gi¡ trà Œn ành
cıa depth(m, J n ) , depth(m, J n /J n+1 ) v  depth(m, R/J n ) lƒn lưæt bði
lim
n→∞
depth J n , lim
n→∞
depth J n /J n+1 v  lim
n→∞
depth R/J n v  hå chøng minh
c¡c b§t flng thøc
lim
n→∞
depth R/J
n ≤ lim
n→∞
depth J
n
/J
n+1
= lim
n→∞
depth J
n ư 1.
K‚t qu£ thø ba cıa chóng tæi trong chưìng n y l  mð rºng ành lþ cıa
Herzog v  Hibi cho trưíng hæp º s¥u chiãu > k trong I øng vîi mºt
Jư låc Œn ành (M n ) . Cö th” chóng ta câ ành lþ sau.
ành lþ 2.3.3. Cho (R, m) l  v nh àa phưìng, I, J l  hai i¶an cıa R ,
M l  Rư mæun hœu h⁄n sinh v  (M n ) l  Jư låc Œn ành cıa M . Khi â
vîi mØi k ≥ ư1 ta câ c¡c m»nh ã sau óng.
(i) Tçn t⁄i c¡c giîi h⁄n lim
n→∞
depth
k
(I, M n ) , lim
n→∞
depth
k
(I, M n /M n+1 )
v  lim
n→∞
depth
k
(I, M/M n ) .
(ii) Chóng ta luæn câ c¡c b§t flng thøc
lim
n→∞
depth
k
(I, M/M n ) ≤ lim
n→∞
depth
k
(I, M n /M n+1 )
v 
lim
n→∞
depth
k
(I, M n ) ư 1 ≤ lim
n→∞
depth
k
(I, M n /M n+1 ).
(iii) N‚u J ⊆ I th lim
n→∞
depth
k
(I, M n /M n+1 ) = lim
n→∞
depth
k
(I, M n ) ư 1.7
Chưìng 3 ưæc vi‚t düa tr¶n c¡c b i b¡o [1], [14], [15] v  [16]. Trong
chưìng n y chóng tæi nghi¶n cøu t‰nh hœu h⁄n v  t‰nh Œn ành cıa mºt
sŁ t“p i¶an nguy¶n tŁ li¶n k‚t v  g›n k‚t cıa mæun Łi çng iãu
àa phưìng. N«m 1999, K. Khashyarmanesh v  Sh. Salarian [26] chøng
minh r‹ng n‚u H
j
I
(M) câ gi¡ hœu h⁄n vîi måi j < i th Ass R (H i
I
(M)) l 
t“p hœu h⁄n. Sau â, L. T. Nh n [40] ¢ chøng minh depth
1
(I, M) l  sŁ
nguy¶n i nhä nh§t sao cho H i
I
(M) câ gi¡ væ h⁄n v  do â Ass R (H i
I
(M)) l 
t“p hœu h⁄n vîi måi i ≤ depth
1
(I, M) . Tł ¥y chóng ta th§y r‹ng vîi måi
i ≤ r 1 (n) = depth
1
(I, J n M/J n+1 M) v  j ≤ s 1 (n) = depth
1
(I, M/J n M)
c¡c t“p Ass R (H i
I
(J n M/J n+1 M)) v  Ass R (H
j
I
(M/J n M)) l  hœu h⁄n. V
v“y mºt c¥u häi tü nhi¶n ưæc °t ra l :
C¥u häi 1. C¡c t“p Ass R (H i
I
(J n M/J n+1 M)) v  Ass R (H
j
I
(M/J n M)) ,
vîi i ≤ r 1 (n) v  j ≤ s 1 (n) , câ Œn ành khi n ı lîn?
K‚t qu£ ch‰nh cıa chóng tæi trong lu“n ¡n n y nâi r‹ng trł i mºt
t“p hœu h⁄n c¡c i¶an nguy¶n tŁ th c¥u häi tr¶n l  tr£ líi ưæc. K‚t
qu£ n y ưæc chóng tæi ph¡t bi”u v  chøng minh trong 6 ành lþ cıa
Chưìng 3 theo thø tü l  ành lþ 3.1.3, 3.1.4, 3.1.8, 3.1.10, 3.2.3 v  3.2.4.
— ¥y chóng tæi ph¡t bi”u gºp l⁄i như sau:
ành lþ. Gi£ sß r k v  s k lƒn lưæt l  c¡c gi¡ trà Œn ành cıa
depth
k
(I, J n M/J n+1 M) v  depth
k
(I, M/J n M) . Khi â c¡c m»nh ã sau
óng.
(i) C¡c t“p Ass R (H
rư1
I
(J n M/J n+1 M)) v  Ass R (H
sư1
I
(M/J n M)) Œn ành
khi n ı lîn.
(ii) C¡c t“p S
i≤r 0
Ass R (H i
I
(J n M/J n+1 M)) v  S
i≤s 0
Ass R (H i
I
(M/J n M)) Œn
ành khi n ı lîn.8
(iii) C¡c t“p
[
t≤i
Ass R (H
t
I
(J
n
M/J
n+1
M)) ∪ {m} v  [
t≤j
Ass R (H
t
I
(M/J
n
M)) ∪ {m}
Œn ành khi n ı lîn, vîi måi i ≤ r 1 v  j ≤ s 1 .
Chó þ r‹ng rư1 ≤ r 0 ≤ r 1 , sư1 ≤ s 0 ≤ s 1 v  theo [29, ành lþ 3.10] c¡c
mæun H i
I
(J n M/J n+1 M) v  H
j
I
(M/J n M) l  Artin khi i < r 0 v  j < s 0 .
V v“y c¥u häi l  tƒm thưíng cho c¡c trưíng hæp i < r 0 v  j < s 0 . Trong
trưíng hæp rư1 = r 0 v  sư1 = s 0 th m»nh ã (i) cıa k‚t qu£ ch‰nh l 
c¥u tr£ líi khæng tƒm thưíng cho c¥u häi tr¶n khi i = rư1 v  j = sư1 .
Hìn nœa, m»nh ã (ii) cıa k‚t qu£ ch‰nh nâi r‹ng ngo⁄i trł i¶an cüc
⁄i, c¡c t“p Ass R (H i
I
(J n M/J n+1 M)) v  Ass R (H
j
I
(M/J n M)) Œn ành khi
i ≤ r 0 v  j ≤ s 0 . Ngo i ra m»nh ã (iii) cıa k‚t qu£ ch‰nh nâi r‹ng c¡c
t“p Ass R (H i
I
(J n M/J n+1 M)) v  Ass R (H
j
I
(M/J n M)) Œn ành khi i ≤ r 1
v  j ≤ s 1 ngo⁄i trł mºt t“p hœu h⁄n c¡c i¶an nguy¶n tŁ.
Trong chưìng n y, thay v dòng c¡c kþ hi»u depth
ư1
(I, M) , depth
0
(I, M)
v  depth
1
(I, M) chóng tæi dòng c¡c kþ hi»u quen thuºc lƒn lưæt l 
depth(I, M) , f-depth(I, M) v  gdepth(I, M) . K‚t lu“n thø nh§t cıa c¡c
m»nh ã (i), (ii) v  (iii) trong k‚t qu£ ch‰nh ưæc chóng tæi chøng minh
dưîi d⁄ng tŒng qu¡t hìn, ð ¥y chóng tæi x†t b i to¡n cho trưíng hæp
ph¥n b“c. Cö th” hìn, chóng tæi x†t R = ⊕ n≥0 R n l  ⁄i sŁ ph¥n b“c
chu'n hœu h⁄n sinh tr¶n R 0 = R v  M = ⊕ n≥0 M n l  Rư mæun ph¥n
b“c hœu h⁄n sinh. Khi â ành lþ 3.1.3 ch¿ ra r‹ng n‚u r l  gi¡ trà Œn
ành cıa depth(I, M n ) th t“p Ass R (H r
I
(M n )) Œn ành khi n ı lîn. Mºt
h» qu£ ngay tøc kh›c cıa ành lþ 3.1.3 l  k‚t lu“n thø nh§t cıa m»nh
ã (i) trong k‚t qu£ ch‰nh. Ti‚p theo, chóng tæi sß döng k‚t qu£ n y vîi
chó þ r‹ng H i
I
(M) = 0 vîi måi i < depth(I, M) ” chøng minh k‚t lu“n
thø hai cıa m»nh ã (i) trong k‚t qu£ ch‰nh, â l  nºi dung cıa ành lþ
3.1.4.9
K‚t lu“n thø nh§t cıa m»nh ã (ii) trong k‚t qu£ ch‰nh l  h» qu£ trüc
ti‚p cıa ành lþ sau.
ành lþ 3.1.8. Cho R = ⊕ n≥0 R n l  ⁄i sŁ ph¥n b“c chu'n hœu h⁄n sinh
tr¶n R 0 = R , M = ⊕ n≥0 M n l  Rư mæun ph¥n b“c hœu h⁄n sinh v  I
l  i¶an cıa R . Gi£ sß r 0 l  gi¡ trà Œn ành cıa f-depth(I, M n ) . Khi â
t“p S
j≤r 0
Ass R (H
j
I
(M n )) Œn ành khi n ı lîn.
” chøng minh ành lþ 3.1.8, bưîc ƒu ti¶n v  công l  bưîc quan
trång, chóng tæi chøng minh S = S
n≥a
Ass R (H
r 0
I
(M n )) l  t“p hœu h⁄n vîi
sŁ a n o â. Sau â, vîi mØi p ∈ S, dim R/p > 0 , b‹ng àa phưìng hâa
t⁄i p ta ưa mºt d¢y låc ch‰nh quy vã d¢y ch‰nh quy, tł ¥y ta câ th”
¡p döng ành lþ 3.1.3. B¥y gií chóng tæi sß döng k‚t qu£ n y ” chøng
minh k‚t lu“n thø hai cıa m»nh ã (ii) trong k‚t qu£ ch‰nh, â l  nºi
dung ành lþ 3.1.10.
K‚t lu“n thø nh§t cıa m»nh ã (iii) trong k‚t qu£ ch‰nh l  mºt h»
qu£ trüc ti‚p cıa ành lþ sau.
ành lþ 3.2.3. Cho R = ⊕ n≥0 R n l  ⁄i sŁ ph¥n b“c chu'n hœu h⁄n
sinh tr¶n R 0 = R , M = ⊕ n≥0 M n l  Rư mæun ph¥n b“c hœu h⁄n sinh
v  I l  i¶an cıa R . Gi£ sß r 1 l  gi¡ trà Œn ành cıa gdepth(I, M n ) . Khi
â vîi mØi l ≤ r 1 t“p S
j≤l
Ass R (H
j
I
(M n )) ∪ {m} Œn ành khi n ı lîn.
Công như trong chøng minh cıa ành lþ 3.1.8, trưîc h‚t chóng tæi
chøng minh S = S
n≥b
S
j≤l
Ass R (H
j
I
(M n )) l  t“p hœu h⁄n vîi sŁ b n o â.
Vîi mØi p ∈ S, dim R/p > 0 , b‹ng àa phưìng hâa t⁄i p ta ưa mºt d¢y
ch‰nh quy suy rºng vã d¢y låc ch‰nh quy, tł â ta câ th” ¡p döng ành
lþ 3.1.8 ” chøng minh ành lþ 3.2.3.10
CuŁi còng chóng tæi sß döng ành lþ 3.2.3 vîi chó þ r‹ng Supp
R
(H
j
I
(M))
l  t“p hœu h⁄n vîi måi j < gdepth(I, M) ” chøng minh k‚t lu“n thø
hai cıa m»nh ã (iii) trong k‚t qu£ ch‰nh, â l  nºi dung cıa ành lþ
3.2.4.
N«m 2001, T. Marley [33] chøng minh r‹ng mæun Łi çng iãu àa
phưìng H
dim Rư1
I
(M) câ gi¡ hœu h⁄n. Tł ¥y æng ta ưa ra c¥u tr£ líi
khflng ành cho gi£ thuy‚t cıa Huneke [22, B i to¡n 4] trong trưíng
hæp v nh R câ chiãu nhä hìn ho°c b‹ng 3. B‹ng c¡ch thay v nh R bði
v nh R/ ann R (M) , chóng ta câ th” ch¿ ra r‹ng Supp
R
(H
dim Mư1
I
(M))
l  t“p hœu h⁄n, v v“y Ass R (H
dim Mư1
I
(M)) l  t“p hœu h⁄n. Do â
Ass R (H
dư1
I
(J n M/J n+1 M)) v  Ass R (H
d
0 ư1
I
(M/J n M)) l  c¡c t“p hæp hœu
h⁄n, trong â d = dim(J n M/J n+1 M) v  d
0
= dim(M/J n M) . Mºt c¡ch
tü nhi¶n chóng tæi quan t¥m ‚n t‰nh Œn ành cıa c¡c t“p hæp n y. ”
ìn gi£n, chóng tæi dòng N n ” kþ hi»u Rư mæun J n M/J n+1 M ho°c
M/J n M v  gåi d l  gi¡ trà Œn ành cıa dim N n . Khi â k‚t qu£ ti‚p theo
cıa chóng tæi trong chưìng n y nâi r‹ng, ngo⁄i trł i¶an cüc ⁄i, t“p
Ass R (H
dư1
I
(N n )) Œn ành khi n ı lîn, â l  nºi dung cıa ành lþ 3.2.7.
Chóng ta bi‚t r‹ng mæun Łi çng iãu àa phưìng H i
I
(M) nâi chung
khæng hœu h⁄n sinh. SŁ nguy¶n i nhä nh§t sao cho H i
I
(M) khæng hœu
h⁄n sinh ưæc gåi l  chiãu hœu h⁄n sinh cıa mæun M Łi vîi i¶an I
v  ưæc kþ hi»u bði f I (M) . Chó þ r‹ng, v H 0
I
(M) l  mæun hœu h⁄n
sinh n¶n f I (M) ≥ 1 . Theo Brodmann v  Faghani [7], t“p Ass R (H i
I
(M))
l  hœu h⁄n vîi måi i ≤ f I (M) . Do â c¡c t“p Ass R (H i
I
(J n M/J n+1 M))
v  Ass R (H
j
I
(M/J n M)) hœu h⁄n vîi måi i ≤ r(n) = f I (J n M/J n+1 M) v 
j ≤ s(n) = f I (M/J n M) . V v“y mºt c¥u häi tü nhi¶n ưæc °t ra l :
C¥u häi 2. C¡c t“p Ass R (H i
I
(J n M/J n+1 M)) v  Ass R (H
j
I
(M/J n M)) ,
vîi i ≤ r(n) v  j ≤ s(n) , câ Œn ành khi n ı lîn?11
K‚t qu£ ti‚p theo cıa chóng tæi trong chưìng n y l  ưa ra ph£n v‰
dö cho c¥u häi tr¶n Łi vîi mæun M/J n M . Cö th” chóng ta câ ành lþ
sau.
ành lþ 3.3.1. Tçn t⁄i Rư mæun hœu h⁄n sinh M v  c¡c i¶an I, J
cıa R sao cho Ass R (H 1
I
(M/J n M)) khæng Œn ành khi n ı lîn.
Düa v o ành lþ 3.1.3, chóng tæi d„ d ng chøng minh ưæc t“p
Ass R (H 1
I
(J n M/J n+1 M)) Œn ành khi n ı lîn. K‚t qu£ n y tr¡i vîi
nhœng suy lu“n thæng thưíng. Bði v nhiãu t‰nh ch§t ti»m c“n m  óng
cho mæun J n M/J n+1 M th công óng cho mæun M/J n M .
Như chóng ta ¢ bi‚t mæun Łi çng iãu àa phưìng H i
m
(M) l 
mæun Artin vîi måi Rư mæun hœu h⁄n sinh M . Do â t“p i¶an
nguy¶n tŁ g›n k‚t Att R (H i
m
(M)) luæn hœu h⁄n. N‚u chóng ta kþ hi»u
N n l  J n M/J n+1 M ho°c M/J n M th rª r ng Att R (H 0
m
(N n )) Œn ành khi
n ı lîn. Hìn nœa, theo k‚t qu£ cıa I. G. Macdonald v  R. Y. Sharp
[32, ành lþ 2.2], t“p Att R (H d
m
(N n )) Œn ành khi n ı lîn, trong â d l 
gi¡ trà Œn ành cıa dim N n . V v“y mºt c¥u häi tü nhi¶n ưæc °t ra l :
C¥u häi 3. T“p Att R (H i
m
(N n )) , vîi i b§t ký, câ Œn ành khi n ı lîn?
K‚t qu£ cuŁi còng cıa chóng tæi trong lu“n ¡n n y l  ưa ra v‰ dö ”
ch¿ ra r‹ng nâi chung c¡c t“p tr¶n khæng Œn ành khi n ı lîn. Cö th”
chóng ta câ ành lþ sau.
ành lþ 3.3.8. C¡c khflng ành sau l  óng.
(i) Tçn t⁄i v nh àa phưìng (T, m) v  i¶an I cıa T sao cho c¡c t“p
Att T (H 3
m
(T/I n )) v  Att T (H 4
m
(I n )) khæng Œn ành khi n ı lîn.
(ii) Tçn t⁄i mæun hœu h⁄n sinh M tr¶n v nh àa phưìng (R, m) v 
i¶an J cıa R sao cho t“p Att R (H i
I
(J n M/J n+1 M)) khæng Œn ành
khi n ı lîn, vîi i n o â.12
Melkersson v  Schenzel [38] khi nghi¶n cøu vã t‰nh Œn ành cıa t“p
i¶an tŁ li¶n k‚t v  g›n k‚t cıa mæun Ext v  Tor ¢ ưa ra c¥u häi:
Vîi mØi i ≥ 0 , t“p Ass R (Ext
i
R
(R/I n , M)) câ Œn ành khi n ı lîn?
Tł chøng minh cıa ành lþ 3.3.8, chóng tæi thu ưæc mºt h» qu£ tr£ líi
cho c¥u häi tr¶n. Cö th” chóng tæi ch¿ ra r‹ng tçn t⁄i v nh àa phưìng
(T, m) v  i¶an I cıa T sao cho S
n≥0
Ass T (Ext
2
T
(T/I n , T)) l  t“p væ h⁄n
v  do â t“p Ass T (Ext
2
T
(T/I n , T)) khæng Œn ành khi n ı lîn, ¥y ch‰nh
l  nºi dung cıa H» qu£ 3.3.10.13
Chưìng 1
KI˜N THÙC CHU‰N BÀ
Trong chưìng n y, chóng tæi nh›c l⁄i mºt sŁ ki‚n thøc cì sð như i¶an
nguy¶n tŁ li¶n k‚t, i¶an nguy¶n tŁ g›n k‚t, d¢y ch‰nh quy, º s¥u, Łi
çng iãu àa phưìng, phøc Koszul, mæun ph¥n b“c v  låc ” gióp cho
vi»c tr nh b y rª r ng, h» thŁng c¡c k‚t qu£ trong c¡c chưìng sau. Ta
luæn kþ hi»u R l  v nh giao ho¡n Noether v  I l  i¶an cıa R .
1.1 I¶an nguy¶n tŁ li¶n k‚t v  g›n k‚t
Trưîc h‚t chóng tæi nh›c l⁄i kh¡i ni»m i¶an nguy¶n tŁ li¶n k‚t v  mºt
sŁ t‰nh ch§t theo c¡c cuŁn s¡ch [34] v  [35].
ành ngh¾a 1.1.1. Cho M l  Rư mæun. I¶an nguy¶n tŁ p ưæc gåi
l  nguy¶n tŁ li¶n k‚t cıa M n‚u tçn t⁄i x ∈ M sao cho p = ann R (x).
T“p c¡c i¶an nguy¶n tŁ li¶n k‚t cıa M ưæc kþ hi»u bði Ass R (M).
T“p {p ∈ Spec(R)|M p 6= 0} ưæc gåi l  gi¡ cıa M v  ưæc kþ hi»u
bði Supp
R
(M) .
Trưîc h‚t chóng tæi nh›c l⁄i k‚t qu£ ìn gi£n sau m  thưíng ưæc
dòng trong lu“n ¡n.
ành lþ 1.1.2. [35, ành lþ 6.1, ành lþ 6.3]
(i) Rư mæun M l  kh¡c khæng khi v  ch¿ khi Ass R (M) 6= ∅ .14
(ii) N‚u 0 → M → N → K → 0 l  d¢y khîp c¡c Rư mæun th
Ass R (M) ⊆ Ass R (N) ⊆ Ass R (M) ∪ Ass R (K) v 
Supp
R
(M) ⊆ Supp
R
(N) = Supp
R
(M) ∪ Supp
R
(K).
ành lþ sau ch¿ ra r‹ng t“p i¶an nguy¶n tŁ li¶n k‚t cıa mæun hœu
h⁄n sinh luæn l  t“p hœu h⁄n çng thíi ưa ra mŁi quan h» bao h m
giœa t“p i¶an nguy¶n tŁ li¶n k‚t v  gi¡ cıa mºt mæun.
ành lþ 1.1.3. [35, ành lþ 6.5] Cho M l  Rư mæun hœu h⁄n sinh. Khi
â c¡c m»nh ã sau óng.
(i) Ass R (M) l  t“p hœu h⁄n.
(ii) Ass R (M) ⊆ Supp
R
(M) .
(iii) p l  phƒn tß cüc ti”u cıa Ass R (M) n‚u v  ch¿ n‚u p l  phƒn tß cüc
ti”u cıa Supp
R
(M) .
” t m t“p i¶an nguy¶n tŁ li¶n k‚t cıa mæun M p chóng ta sß döng
ành lþ sau.
ành lþ 1.1.4. [35, ành lþ 6.2] Cho M l  Rư mæun, p ∈ Spec(R) .
Khi â
Ass R p
(M p ) = {qR p |q ∈ Ass R (M), q ⊆ p}.
Nh›c l⁄i r‹ng, chiãu cıa v nh R , kþ hi»u dim R , ưæc x¡c ành bði
dim R = sup{n|∃p 0
p 1
. p n , p i ∈ Spec(R)}.
Hìn nœa, chiãu cıa mæun M ưæc x¡c ành bði dim M = dim R/ ann R (M) .
N‚u M l  Rư mæun hœu h⁄n sinh th Supp
R
M = V(ann R (M)) v 
do â
dim M = sup{dim R/p|p ∈ Supp
R
(M)}
= sup{dim R/p|p ∈ Ass R (M)}.15
Mæun con N cıa Rư mæun M ưæc gåi l  mæun con nguy¶n sì
n‚u Ass R (M/N) ch¿ chøa mºt phƒn tß. Gi£ sß r‹ng Ass R (M/N) = {p}
th ta nâi N l  mæun con pư nguy¶n sì cıa M .
Mºt ph¥n t‰ch nguy¶n sì cıa N l  mºt bi”u thøc câ d⁄ng N =
N 1 ∩ . ∩ N r trong â N i l  mæun con p i ư nguy¶n sì cıa M vîi måi
i = 1, . , r. Ph¥n t‰ch nguy¶n sì N = N 1 ∩ . ∩ N r ưæc gåi l  thu
gån n‚u khæng câ N i n o thła v  p i 6= p j vîi måi i 6= j. V giao cıa hai
mæun con pư nguy¶n sì l  mºt mæun pư nguy¶n sì n¶n måi ph¥n t‰ch
nguy¶n sì cıa N ãu câ th” ưa ưæc vã d⁄ng thu gån.
Chóng ta câ ành lþ quan trång sau.
ành lþ 1.1.5. [35, ành lþ 6.8] Cho M l  Rư mæun hœu h⁄n sinh.
Khi â måi mæun con thüc sü N cıa M ãu câ ph¥n t‰ch nguy¶n sì
thu gån. Hìn nœa, n‚u N = N 1 ∩ . ∩ N r l  mºt ph¥n t‰ch nguy¶n sì
thu gån cıa N sao cho Ass R (M/N i ) = {p i } vîi måi i = 1, . , r th
Ass R (M/N) = {p 1 , . , p r } .
Ti‚p theo, chóng tæi nh›c l⁄i lþ thuy‚t bi”u di„n thø c§p ưæc
Macdonald [31] giîi thi»u n«m 1973, theo mºt ngh¾a n o â nâ Łi ng¤u
vîi lþ thuy‚t ph¥n t‰ch nguy¶n sì.
Mºt Rư mæun S ưæc gåi l  thø c§p n‚u S 6= 0 v  vîi måi r ∈ R ,
ph†p nh¥n bði r tr¶n S l  to n c§u ho°c lôy linh. N‚u S l  thø c§p th
p
ann R (S) = p l  mºt i¶an nguy¶n tŁ. Khi â ta nâi S l  mæun pư thø
c§p.
Mºt bi”u di„n thø c§p cıa Rư mæun M l  mºt ph¥n t‰ch M =
M 1 + . + M r th nh tŒng hœu h⁄n c¡c mæun con p i ư thø c§p M i .
Mæun M ưæc gåi l  bi”u di„n ưæc n‚u M = 0 ho°c M câ mºt bi”u
di„n thø c§p. Bi”u di„n thø c§p M = M 1 + . + M r ưæc gåi l  tŁi ti”u