Thạc Sĩ Về phức Koszul

MỞ ĐẦU

Phức Koszul là một đối tượng quan trọng của đại số đồng điều. Phức này được đặt theo tên của nhà toán học người Pháp Jean-Louis Koszul, nó có mối liên hệ mật thiết với các dãy chính quy và độ sâu của một iđêan. Nội dung chính của luận văn là trình bày lại một số kiến thức cơ bản về dãy chính quy, độ sâu, phức Koszul và nêu ra một vài ứng dụng cơ bản của phức Koszul.

Bố cục của luận văn được trình bày như sau.

Chương 1: Trình bày lại một số kiến thức cơ bản của đại số đại cương và đại số đồng điều như: các phức, đồng điều của phức, tích tenxơ của hai phức, đại số tenxơ, đại số đối xứng, đại số ngoài, các dãy giải và các môđun mở rộng.
Chương 2: Trình bày lại một số kiến thức cơ bản về dãy chính quy, dãy chính quy cực đại, từ đó đi đến khái niệm độ sâu của một iđêan.
Chương 3: Trình bày các cách xây dựng phức Koszul và một số tính chất cơ bản của nó.
Chương 4: Nêu ra một vài ứng dụng cơ bản của phức Koszul như: phức Koszul của một dãy chính quy cho ta một dãy giải tự do của iđêan sinh bởi dãy đó, kiểm tra khi nào một dãy các phần tử trong iđêan cực đại của một vành địa phương là dãy chính quy, tính độ sâu của một iđêan, xây dựng một phức với đồng điều của nó ở vị trí 0 chính là đại số đối xứng của một iđêan

Mục lục
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU 4
LỜI MỞ ĐẦU 5
1 Kiến thức chuẩn bị 6
1.1 Các phức và đồng điều của phức . 6
1.1.1 Các phức 6
1.1.2 Đồng điều của phức 8
1.1.3 Các cách xây dựng một phức khác từ các phức đã cho 13
1.2 Các dãy giải và các môđun mở rộng . 15
1.2.1 Các dãy giải 15
1.2.2 Các môđun mở rộng 16
1.3 Đại số tenxơ, đại số đối xứng, đại số ngoài 17
1.3.1 Đại số tenxơ 17
1.3.2 Đại số đối xứng 21
1.3.3 Đại số ngoài 25
2 Độ sâu 28
3 Phức Koszul 35
3.1 Cách xây dựng Phức Koszul theo tích ngoài . 35
3.2 Cách xây dựng Phức Koszul bằng cách lấy tenxơ các phức . 37
3.3 Một số tính chất cơ bản của phức Koszul 39
4 Ứng dụng của phức Koszul 41
2
4.1 Phức Koszul và dãy chính quy 41
4.2 Phức Koszul và độ sâu 43
4.3 Phức Koszul và dãy giải tự do của đại số đối xứng . 44
Kết luận 49
Tài liệu tham khảo 50