Thạc Sĩ Về nhóm SYMPLECTIC Sp(4,q)

Lời nói đầu

Trong luận văn này, chúng tôi khảo sát về các lớp liên hợp của Sp(4, q), trên cơ sở đó tìm hiểu về tính chất, sự liên hệ của các phần tử trong nhóm, đồng thời cũng tìm hiểu về một số nhóm con đơn giản của Sp(4, q).

Nội dung luận văn bao gồm 3 chương:

Chương 1: Trong chương 1 chúng tôi nhắc lại một số tính chất cơ bản của nhóm hữu hạn, bao gồm cả Định lý Sylow. Nhắc lại các kết quả cơ bản của nhóm tuyến tính tổng quát GL(n,K), và nhóm tuyến tính đặc biệt SL(n,K) trên trường hữu hạn K, đồng thời bổ sung nhiều định nghĩa cần thiết để phục vụ luận văn như các định nghĩa về tác động, phần tử semisimple, các torus, maximal torus, unipotent, ánh xạ Frobenius. Systems of root, nhómWeyl, và (B,N)-pair được định nghĩa riêng, phần này được xây dựng và kiểm tra như là tính chất của các nhóm mà chúng tôi khảo sát. Ngoài ra chương này còn chuẩn bị một số kết quả quan trọng như Bổ đề 1.7.4, Bổ đề 2.1.2, mà người đọc nên xem trước khi đọc chương 2, và chương 3 của luận văn.

Chương 2: Trong chương 2 chúng tôi khảo sát các lớp liên hợp của hai nhóm SL(2, q) và SL(3, q), tìm hiểu một số nhóm con đơn giản, mô tả được nhóm Weyl và root system của chúng. Trên cơ sở đó làm nền tảng để khảo sát các lớp liên hợp, và các tính chất khác của nhóm Sp(4, q).

Chương 3: Trong chương 3 chúng tôi khảo sát các lớp liên hợp của nhóm symplectic Sp(4, q). Trong nhóm này có một phần làm trở ngại tính toán đó là các phần tử phải thỏa dạng song tuyến tính, việc vận dụng các tính toán trong hai nhóm SL(2, q) và SL(3, q) sẽ giúp ích rất nhiều. Trên sự quan sát dạng song tuyến tính, chúng tôi cũng đưa ra vài bổ đề có ích (các bổ đề ở đầu chương 3).

Cuối cùng chúng tôi có một vài tính toán ở phần phụ lục, đưa ra toàn bộ các lớp liên hợp của Sp(4, q) (xem phụ lục).
Hướng tiếp theo chúng tôi sẽ khảo sát các kết quả về root system trong Sp(4, q) và các nhóm con tối đại dựa trên các kết quả mà chúng ta đã có trích theo bài báo của Oliver H.King.

Mục lục

Lời nói đầu 6
Bảng kí hiệu 8
1 Kiến thức chuẩn bị 9
1.1 Nhóm 9
1.2 Trường và không gian vectơ 12
1.3 Tác động hoán vị 14
1.4 Các nhóm tuyến tính cơ bản . 16
1.5 Nhóm symplectic 18
1.6 Torus và phần tử semisimple . 21
1.7 Khảo sát Fq n 24
1.7.1 Ánh xạ Frobenius . 24
1.7.2 Khảo sát F q n 25
1.8 Systems of Roots 29
2 Cấu trúc của SL(2, q) và SL(3, q) 31
2.1 Cấu trúc của nhóm SL(2, q) 32
2.1.1 Các lớp liên hợp 32
2.1.2 Các nhóm con đặc biệt 40
2.2 Cấu trúc của nhóm SL(3, q) . 43
2.2.1 Các lớp liên hợp 43
2.2.2 Phần tử unipotent . 48
2.2.3 Phần tử semisimple và các phần tử khác . 49
2.2.4 Các nhóm con đặc biệt 53
2.2.5 Systems of Roots 54
3 Cấu trúc của nhóm symplectic Sp(4, q) 56
3.1 Các bổ đề 57
3.2 Các lớp liên hợp 60
3.2.1 Phần tử regular semisimple 64
3.2.2 Phần tử non-regular semisimple . 65
3.2.3 Phần tử unipotent . 66
3.2.4 Các phần tử khác . 67
3.3 Nhóm Weyl . 69
Kết luận 71
Phụ lục 72
Chỉ mục 84