Tài liệu Về một phương pháp số giải phương trình vi phân cấp một và cấp hai

ĐỀ TÀI: Về một phương pháp số giải phương trình vi phân cấp một và cấp hai

LỜI NÓI ĐẦU
Phương trình vi phân là mô hình mô tả khá tốt các quá trình chuyển động trong tự nhiên và kĩ thuật. Để nghiên cứu phương trình vi phân, người ta thường tiếp cận theo hai hướng: nghiên cứu định tính và giải số.
Mặc dù đã có lịch sử phát triển hàng trăm năm, do còn nhiều bài toán cần giải quyết, giải số phương trình vi phân thường vẫn thu hút sự quan tâm mạnh mẽ của các nhà toán học và các nhà nghiên cứu ứng dụng.
Trong giải số phương trình vi phân, người ta thường cố gắng tìm ra những phương pháp hữu hiệu bảo đảm sự hội tụ, tính ổn định và tính chính xác cao. Để làm được điều này, người ta thường tổ hợp các phương pháp đa bước để nhận được các phương pháp mới có bậc hội tụ, tính ổn định và cấp chính xác cao hơn. Phương pháp không cổ điển giải số phương trình vi phân thường bậc nhất và bậc hai do M. V. Bulatov (và Berghe) đề xuất trong vòng năm năm trở lại đây nằm trong hướng này.
Luận văn Về một phương pháp không cổ điển giải số phương trình vi phân bậc nhất và bậc hai có mục đích trình bày các phương pháp của Bulatov và Berghe theo các tài liệu (2009) và - (2003-2008).
Luận văn gồm ba Chương.
Chương 1 trình bày một số khái niệm và phương pháp cơ bản giải số phương trình vi phân. Trong mục 1.2 của Chương, chúng tôi trình bày các phương pháp số cổ điển theo một quan điểm nhất quán là xuất phát từ Quy tắc cầu phương cơ bản.
Chương 2 trình bày phương pháp không cổ điển (do Bulatov đề xuất vào những năm 2003-2008) giải số hệ phương trình vi phân bậc nhất, phi tuyến và tuyến tính, theo các tài liệu -.
Chương 3 trình bày phương pháp không cổ điển giải số hệ phương trình vi phân bậc hai, tuyến tính và phi tuyến, theo bài báo của M. V. Bulatov và G. V. Berghe (, 2009).
Thông qua việc tính toán đạo hàm, phân tích các hàm nhiều biến vào chuỗi Taylor và các phép biến đổi chi tiết, chúng tôi cố gắng trình bày các kết quả của M. V. Bulatov và G. V. Berghe một cách rõ ràng và chi tiết nhất.
Để minh họa và kiểm chứng lý thuyết, chúng tôi đã lập trình trên MATLAB và tính toán trên máy các ví dụ của M. V. Bulatov và G. V. Berghe.
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS-TS Tạ Duy Phượng (Viện Toán học). Xin được tỏ lòng cám ơn chân thành nhất tới Thầy.
Tác giả xin tỏ lòng cám ơn Ban Chủ nhiệm , các Thày Cô và các cán bộ khoa Toán- Cơ – Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học Cao học.
Tác giả xin chân thành cám ơn Ban Lãnh đạo và các cán bộ, giáo viên Học viện Quân y đã tạo mọi điều kiện để tác giả hoàn thành tốt khóa học Cao học.
Và cuối cùng, xin được cám ơn Gia đình, bạn bè đã thông cảm, sẻ chia, hy sinh và tạo mọi điều kiện cho tác giả trong suốt thời gian học Cao học và viết luận văn.
MỤC LỤC
Lời nói đầu 1
1. Kiến thức chuẩn bị 3
1.1. Bài toán Cauchy giải hệ phương trình vi phân 3
1.2. Giải số bài toán Cauchy 4
1.2.1. Quy tắc cầu phương cơ bản và giải số phương trình vi phân 4
1.2.2. Phương pháp Runge-Kutta 9
1.2.3. Phương pháp cổ điển đa bước 12
1.3. Mô hình thử và ổn định của phương pháp số 13
1.3.1. Mô hình thử 13
1.3.2. Ổn định của phương pháp Euler 14
1.3.3. Ổn định của phương pháp Runge-Kutta 16
1.3.4. Ổn định của phương pháp đa bước 18
1.3.5. Ổn định của phương pháp sai phân hữu hạn 18
2.Về một phương pháp không cổ điển giải số hệ phương trình vi phân cấp một 20
2.1. Phương pháp không cổ điển giải số hệ phương trình vi phân phi tuyến cấp một 20
2.1.1. Phương pháp tổng quát 20
2.1.2. Phương trình thử 24
2.1.3. Trường hợp đặc biệt 25
2.1.4. Thử nghiệm số 26
2.2. Phương pháp không cổ điển giải số hệ phương trình vi phân tuyến tính cấp một 27
2.2.1. Phương pháp một bước 27
2.2.2. Phương pháp đa bước 34
3. Về một phương pháp không cổ điển giải số hệ phương trình vi phân cấp hai 50
3.1. Phương pháp không cổ điển giải số cấp hai 50
3.1.1. Phương pháp cổ điển 50
3.1.2. Lược đồ sai phân mới 51
3.1.3. Tính chất ổn định 63
3.1.4. Thử nghiệm số 66
3.2. Phương pháp không cổ điển giải số hệ phương trình phi tuyến cấp hai 68
Kết luận 70
Tài liệu tham khảo 71
Phụ lục 72