Báo Cáo Về một giả thuyết của herstein

VỀ MỘT GIẢ THUYẾT CỦA HERSTEIN






TÓM TẮT: Cho D là vành chia tâm F. Ta nói N là nhóm con của D với qui ước rằng N thực ra là nhóm con của nhóm nhân D* của vành chia D. Bài này xoay quanh giả thuyết sau đây được N. I. Herstein đưa ra năm 1978 [2, Conjecture 3]: Nếu N là nhóm con á chuẩn tắc (subnormal) căn trên F của D thì N nằm trong F. Trong bài báo nêu trên chính Herstein đã chứng minh giả thuyết này đúng nếu N là nhóm con á chuẩn tắc hữu hạn của D. Tuy nhiên trong trường hợp tổng quát giả thuyết này vẫn chưa được giải quyết. Trong bài này, chúng tôi trình bày một số tính chất của nhóm con á chuẩn tắc trong vành chia nhằm cung cấp những thông tin cần thiết có thể đưa tới việc giải quyết giả thuyết nói trên. Nói riêng, giả thuyết được chúng tôi chứng minh là đúng cho những vành chia hữu hạn chiều địa phương trên tâm.
Từ khóa: vành chia, căn, tâm, á chuẩn tắc.



1.MỞ ĐẦU
Cho D là vành chia tâm F. Ký hiệu D*  D 0 là nhóm nhân của D, D ' : D, D





là nhóm



con hoán tử của

D*.

Với S  D



là tập con khác rỗng của D, ký hiệu

F S 



(tương ứng

F S  ) là vành con (tương ứng vành chia con) nhỏ nhất của D chứa F và S. Phần tử

a  D*

được gọi là căn trên S nếu tồn tại số nguyên dương k sao cho ak  S. Tập con A  D được gọi
là căn trên S nếu mọi phần tử của A đều căn trên S. Vành chia D được gọi là hữu hạn chiều địa phương trên tâm nếu F S  là hữu hạn chiều trên F đối với mọi tập con hữu hạn S. Ta ký hiệu CD (S )  x  D : xs  sx,s  S và gọi nó là tâm hóa tử của tập S trong D.

Cho F và K là hai trường, nếu F  K

thì ta nói K là mở rộng của F và ký hiệu là

K / F.

Chuẩn của K trên F được ký hiệu là

NK / F . Cho G là một nhóm, ký hiệu Z G  là tâm của G.

Nhóm con N của G được gọi là á chuẩn tắc nếu tồn tại dãy chuẩn tắc N < G1 < K < Gt  G .
Định lý 1. Cho D là vành chia hữu hạn chiều địa phương trên tâm F và G là nhóm con á chuẩn tắc của D*. Khi đó, nếu G căn trên F thì nằm trong F.
Chứng minh. Nếu D là trường thì không có gì cần chứng minh. Vậy, có thể giả sử D không giao hoán và G là nhóm con á chuẩn tắc căn trên F. Xét hai phần tử bất kỳ a, b của G và đặt K=F(a, b). Theo giả thiết K là không gian véc tơ hữu hạn chiều trên F, kéo theo K là

vành chia hữu hạn tâm. Vì G á chuẩn tắc trong D* nên G I

K * á chuẩn tắc trong K*. Hơn

nữa, do

G I K *

căn trên F nên

G I K *

căn trên tâm Z(K) của K. Theo [1 , Th. 1],

G I K *  Z (K ) , suy ra a và b giao hoán với nhau. Vậy G là nhóm aben. Áp dụng [4 , 14.4.4,
p. 440], suy ra G  F .
Định lý 2. Cho D là vành chia tâm F và giả sử N là nhóm con á chuẩn tắc của D* căn trên F. Khi đó a  N , Gal F (a) / F   1 .
Chứng minh. Xét phần tử a  N. Nếu a  F thì không có gì để chứng minh.




Giả sử a  F ,

Gal F (a) / F   1 , và 1   Gal(F (a) / F ) . Theo [3, Th.2, p.162], tồn



tại

x  D*

sao cho  (a)  x1ax . Do a căn trên F nên

Gal  F (a) / F   .



Suy ra, tồn tại



t  ¥ , t  1



sao cho



 t  1, dẫn đến



a   t (a)



 xt axt .



Do đó a giao hoán với



xt . Đặt



D1  CD

x ; Z1  CD x . Khi đó a và x đều nằm trong

D1 . Hơn nữa, từ F x   Z1 ta có



x và a đều căn trên



Z1 . Mặt khác, do

x1ax

  (a)  F a, nên tồn tại

m


i 0

m
i i . Do đó, vành chia
i 



D2  Z1 (a, x) là



hữu hạn chiều trên tâm

0
Z  D2  . Do N á chuẩn tắc trong



D* , nên tồn tại dãy chuẩn tắc

Nn  N < Nn1 < K < N1  D

. Đặt

Gi  Ni I

D2 (i  1, n) . Khi đó

G  Gn << D2 . Rõ ràng G

căn trên

Z  D2  , nên theo Định lý 1,

G  Z  D2  . Nhưng

a  N I

D2  G , nên

a  Z  D2  ,

suy ra a giao hoán với x , dẫn tới   1. Điều vô lý này kết thúc chứng minh.
Hệ quả 1. Cho D là vành chia tâm F và giả sử N là nhóm con á chuẩn tắc của D* căn

trên F. Nếu a  N , an(a)  1 (n(a)  ¥ )

thì a  F.

Chứng minh. Giả sử

a  N F

và tồn tại số nguyên dương nhỏ nhất k > 1 sao cho

ak  1. Khi đó

F (a) / F là mở rộng chuẩn tắc hữu hạn, do đó nhóm Gal F (a) / F   1 . Điều

này mâu thuẫn với Định lý 2 , dẫn tới a  F.
Một chứng minh khác của Hệ quả 1 được trình bày trong [2].
Từ Hệ quả 1 ta suy ra ngay hệ quả sau:
Hệ quả 2. Cho D là vành chia tâm F, N là nhóm con á chuẩn tắc của D*. Nếu N là nhóm xoắn thì N nằm trong F.
Hệ quả 3. Cho D là vành chia tâm F, N là nhóm con á chuẩn tắc của D*. Nếu N là nhóm xoắn và F hữu hạn thì N là nhóm con cyclic nằm trong F.

Chứng minh.Xét phần tử

a  N.

Khi đó tồn tại số nguyên dương k sao cho

ak    F .

Mặt khác do F hữu hạn nên có số nguyên dương m mà  m  1 , suy ra akm  1. Từ Hệ quả 1 ta

có a  F ,

dẫn tới

N  F. Do F hữu hạn nên N cũng hữu hạn. Hơn nữa, charF  p  0

, kéo

theo N là nhóm cyclic.
Một kết quả cổ điển của Jacobson là: ``Cho D là vành chia và F là một trường con hữu hạn của D. Nếu D đại số trên F thì D giao hoán ”. Hệ quả sau là tổng quát hóa của kết quả này.
Hệ quả 4. Cho D là vành chia, F là một trường con hữu hạn của D và N là nhóm con á