Thạc Sĩ Về một áp dụng của định lý điểm bất động vào bài toán Dirichlet đối với hệ phương trình elliptic nửa

LỜI MỞ ÐẦU

Phương tình vi phân đạo hàm riêng là bộ môn khoa học giúp nghiên cứu rất nhiều bài toán ứng dụng khác nhau như: động lực học, điện học, quang học, lý thuyết đàn hồi Phương trình vi phân đạo hàm riêng còn có mối quan hệ quan trọng với lý thuyết xác suất . Hiện nay phương trình vi phân ngẫu nhiên là công cụ toán học chủ yếu nghiên cứu một vấn đề quan trọng trong lĩnh vực kinh tế tài chính là định giá cổ phiếu. Một số lĩnh vực toán học hiện đại khác như: Lý thuyết biểu diễn nhóm, Lý thuyết trường lượng tử, Lý thuyết các không gian thuần nhất và Vật lý toán trong đó phương trình vi phân đạo hàm riêng đóng vai trò quan trọng. Một lĩnh vực quan trọng nhất trên phương diện ứng dụng, đó là tính toán khoa học mà một trong những nội dung chủ yếu của nó là giải các phương trình vi phân đạo hàm riêng.

Tuy nhiên nhiều bài toán phương trình vi phân đạo hàm riêng mà việc tìm nghiệm của nó là rất phức tạp mặc dù nó khá đơn giản về mặt cấu trúc. Nói chung không có phương pháp chung để giải các phương trình vi phân đạo hàm riêng. Ðiều người ta quan tâm khi nghiên cứu các phương trình vi phân đạo hàm riêng là tính tồn tại và tồn tại duy nhất nghiệm của nó.

Với đề tài "Về một áp dụng của định lý điểm bất động vào bài toán Dirichlet đối với hệ phương trình elliptic nửa tuyến tính" chúng tôi nghiên cứu ứng dụng của định lý điểm bất động của ánh xạ co tìm điều kiên tồn tại nghiệm của bài toán Dirichlet đối với hệ phương trình elliptic nửa tuyến tính trên miền không bị chặn.

Nội dung của luận văn được trình bày dựa trên bài báo "On a System of Semilinear Elliptic Equations on an Unbounded Domain" của PGS. TS. Hoàng Quốc Toàn. Bài báo được đăng bởi Tạp chí toán học Việt Nam (Viet Nam journal of Mathematics).

Bố cục của luận văn gồm có ba chương.

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị
Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức chuẩn bị gồm một số định nghĩa chung về phương trình vi phân đạo hàm riêng, khái niệm hội tụ yếu, không gian Sobolev, toán tử của bài toán Dirichlet, định lý Lax-Milgram.

Chương 2. Một số định lý điểm bất động.
Trong chương này chúng tôi trình bày một số kết quả quan trọng và các chứng minh chi tiết cũng như một số ví dụ minh họa ứng dụng của một số định lý trong lý thuyết về điểm bất động. Có lẽ kết quả nổi tiếng nhất trong lý thuyết về điểm bất động là nguyên lý ánh xạ co Banach. Ðó là lý do chúng tôi bắt đầu chương này bằng việc trình bày về ánh xạ co và một chứng minh của nguyên lý này. Ðó cũng là cơ sở chủ yếu để tìm điều kiện tồn tại nghiệm của bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic nửa tuyến tính. Trong chương hai chúng tôi còn trình bày thêm một số kết quả khác của lý thuyết điểm bất động và một số ví dụ ứng dụng đã được nghiên cứu. Nội dung chương hai được tham khảo chủ yếu từ tài liệu [6].

Chương 3. Bài toán Dirichlet đối với hệ phương trình elliptic nửa tuyến tính trên miền xác định không bị chặn.Trong chương này chúng tôi trình bày các kết quả nghiên cứu về sự tồn tại của nghiệm yếu của bài toán Dirichlet cho hệ phương trình elliptic nửa tuyến tính trên một miền không bị chặn trong n y . Các chứng minh chủ yếu dựa trên định lý điểm bất động trong không gian Banach. Nội dung chương 3 được trình bày dựa trên tài liệu [5]