Thạc Sĩ Về iđêan nguyên tố liên kết và tính Cofinite của môđun đối đồng điều địa phương

Đề tài: Về iđêan nguyên tố liên kết và tính Cofinite của môđun đối đồng điều địa phương
BỘ GIÁO DỤC VÀ ðÀO TẠO
TRƯỜNG ðẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH
Phạm ðăng Minh
VỀ IðÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT VÀ
TÍNH COFINITE CỦA MÔðUN ðỐI
ðỒNG ðIỀU ðỊA PHƯƠNG
Chuyên ngành : ðại số và lý thuyết số
Mã số : 60 46 05
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. TRẦN TUẤN NAM
Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 Lời Cảm Ơn
Luận văn được hoàn thành nhờ sự hướng dẫn tận tình và nghiêm
khắc của thầy giáo TS. Trần Tuấn Nam. Nhân dịp này tôi xin chân
thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy và gia đình.
Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Sư
phạm Thành phố Hồ Chí Minh, lãnh đạo Khoa Toán Tin, lãnh đạo
và chuyên viên Phòng KHCN - SĐH của Trường đã tạo mọi điều
kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành tốt nhiệm vụ học tập của mình.
Tôi xin chân thành cảm ơn sự tận tâm và nhiệt tình của PGS.TS
Mỵ Vinh Quang, PGS.TS Bùi Tường Trí, TS. Trần Huyên, PGS.TS
Bùi Xuân Hải và các quý thầy cô tham gia giảng dạy cho lớp cao
học chuyên ngành Đại số và lý thuyết số khóa 19 của Trường ĐHSP
Tp Hồ Chí Minh.
Tôi cũng rất biết ơn lãnh đạo và đồng nghiệp ở Trường THPT
Hòa Hội, Tỉnh Bà Rịa - Vũng Tàu nơi tôi công tác và tất cả các bạn
cùng khóa đã ủng hộ, giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong quá
trình học tập và làm luận văn.
Cuối cùng, tôi xin cảm ơn những người thân yêu trong gia đình
đã luôn cho tôi niềm tin và động lực để học tập và công tác tốt.
Phạm Đăng Minh
iMở Đầu
Cho R là vành Noether, I là iđêan của R, M là Rưmôđun.
Một vấn đề quan trọng trong đại số giao hoán là xác định khi nào
thì tập hợp các iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điều
địa phương thứ i, Hi
I
(M) của M là hữu hạn. Nếu R là vành địa
phương chính quy chứa trong một trường thì Hi
I
(R) là hữu hạn với
i ≥ 0. Điều này đã được chứng minh bởi các nhà toán học Huneke
và Sharp (với i > 0) sau đó Lyubeznik chứng minh với i = 0. Cho
đến ngày nay vấn đề này vẫn còn nhiều điều chưa được biết, chẳn
hạng như tập các iđêan nguyên tố liên kết của Hi
I
(R) có là hữu hạn
sinh với bất kỳ vành Noether tùy ý và với bất kỳ iđêan của nó hay
không. Trong trường hợp R là vành Noether không địa phương thì
Singh đã chỉ ra một ví dụ với một iđêan I nào đó thì H3
I
(R) không
là hữu hạn sinh. Khi đi nghiên cứu các vấn đề trên Hartshorne,
Huneke và Koh đã đưa ra định nghĩa tính cofinite của môđun đối
đồng điều địa phương. Một Rưmôđun N được gọi là I ư cofinite
nếu Supp(M) ⊆ V (I) và Ext
i
R
(R/I,M) là hữu hạn sinh với bất
kì i ≥ 0, ở đây V (I) được hiểu là tập các iđêan nguyên tố chứa
I. Từ đây cũng thu được một kết quả quan trọng: Nếu R là vành
chính quy địa phương đầy đủ M là Rưmôđun hữu hạn sinh thì
iiiii
Hi
I
(M) là I ư cofinite nếu như dim R/I ≤ 1, gần đây T. Marley,
K-I. Kawasiki, K-I. Yoshida, S. Yassemi, Trần Tuấn Nam, . tiếp tục
nghiên cứu và cho ra những kết quả đẹp.
Nội dung của luận văn gồm hai chương cụ thể như sau:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Chương này nhắc lại các khái
niệm và một số kết quả về vành và môđun, iđêan nguyên tố liên
kết và giá, số chiều - độ sâu - chiều cao, môđun đối đồng điều địa
phương, đồng điều Koszul.
Chương 2: Về Iđêan Nguyên Tố Liên Kết và Tính Cofinite
Của Môđun Đối Đồng Điều Địa Phương.
Đầu tiên chúng tôi trình bày khái niệm môđun Cofinite, tìm
hiểu các tính chất của môđun Cofinite và các điều kiện để một
môđun là môđun Cofinite. Môđun Cofinite được Harshorne định
nghĩa trong [31] như sau:
Định nghĩa 2.1.1 Cho R là vành, I là iđêan của R và M là
Rưmôđun, M được gọi là Iưcofinite nếu Supp(M) ⊂ V (I) và
Ext
i
R
(R/I,M) là hữu hạn sinh với mọi i.
D. Delfino đã thiết lập sự thay đổi vành chính cho tính cofinite
([5],Proposition 2)
Mệnh đề 2.1.7 Cho đồng cấu ϕ : A → B, I là iđêan của R. Một
Bưmôđun M là IBưcofinite (tương ứng với iđêan IB) khi và chỉ
khi M là Aưmôđun Iưcofinite (tương ứng với iđêan I).
Sử dụng định lý trên, D. Delfino tổng quát hóa kết quả trước đó
của Harshorne ([5], Theorem 1). Cụ thể:
Vành R là Neother địa phương, I là iđêan nguyên tố của R sao choiv
dim R/I = 1 thì Hi
I
(M) là I-cofinite với mọi i và với mọi R-môđun
hữu hạn sinh M.
Trong mục này chúng tôi đưa ra các tiêu chuẩn để một môđun là
môđun cofinite, cũng như các điều kiện tương đương:
Mệnh đề 2.1.9 Cho I là iđêan của vành R, x ∈ I và Supp(M) ⊂
V (I). Nếu 0 :M x và M/xM là Iưcofinite thì M là Iưcofinite.
Mệnh đề 2.1.15 Cho (R, m) là vành địa phương với iđêan tối đại
m và I là một iđêan của R với số chiều một hoặc là iđêan chính.
Cho A là một Rưmôđun Artin và M là một Rưmôđun hữu hạn
sinh. Thì Ext
i
R
(A, H
j
I
(M)) là hữu hạn sinh với mọi i ≥ 0 và j ≥ 0.
Mệnh đề 2.1.16 Nếu M là môđun Iưcofinite thì M có chiều Goldie
hữu hạn.
Mệnh đề 2.1.12 cho chúng ta các điều kiện tương đương của môđun
cofinite.
Tiếp theo chúng tôi trình bày khái niệm AF-môđun và FAmôđun.
Định nghĩa 2.2.1 R-môđun M được gọi là FA môđun nếu tồn tại
R-môđun con hữu hạn sinh N của M sao cho M/N là Artin.
R-môđun M được gọi là AF môđun nếu tồn tại R-môđun con Artin
A của M sao cho M/A là hữu hạn sinh.
Từ định nghĩa trên cùng với bổ đề 2.2.2 chúng tôi chứng minh được
định lý 2.2.3, qua đó chúng ta đã đưa ra được tính hữu hạn của tập
Ext
i
R
(K, H
j
I
(M)) bởi định lý 2.2.5
Định lí 2.2.5v
(i). Nếu M và K là FA môđun và SuppR(K) ⊆ V (I) thì Ext
i
R
(K, H
j
I
(M))
là môđun hữu hạn sinh với mọi i ≥ 0 và j > 0.
(ii). Nếu M và K là AF môđun và SuppR(K) ⊆ V (I) thì Ext
i
R
(K, H
j
I
(M))
là môđun hữu hạn sinh với mọi i ≥ 0 và j > 0.
Trong phần tiếp theo chúng tôi tìm hiểu về Tính cofinite
của môđun đối đồng điều địa phương.
Các mệnh đề 2.3.4, 2.3.7 cho chúng ta điều kiện để Hs
I
(M) là Icofinite. Về mối liên hệ giữa môđun FA và tính cofinite chúng tôi
phát biểu và chứng minh mệnh đề 2.3.10 như sau
Mệnh đề 2.3.10 Cho M là R-môđun hữu hạn sinh và I là iđêan
của R, s là số nguyên dương sao cho Hi
I
(M) là FA với mọi i < s.
Khi đó Hi
I
(M) là I-cofinite với mọi i < s và HomR(R/I,Hs
I
(M))
là hữu hạn sinh.
Tiếp đó ta có mối liện hệ giữa môđun cofinite và tính hữu hạn của
tập HomR(R/I,Hs
I
(M)) được phát biểu trong định lý 2.3.11.
Định lí 2.3.11 Cho I là một iđêan của vành Noether R. Cho s là
số nguyên không âm. M là R-môđun sao cho Ext
i
R
(R/I,M) là Rmôđun hữu hạn với mọi i ≤ s, chẳn hạng M phải là R-môđun hữu
hạn. Nếu Hi
I
(M) là I-cofinite với mọi i < s thì HomR(R/I,Hs
I
(M))
là hữu hạn.
Tiếp đó chúng ta có mệnh đề 2.3.12 như sau:
Giả sử M là R-môđun sao cho Ext
1
R
(R/I,M) và Ext
2
R
(R/I, ΓI (M))
là các môđun hữu hạn. Khi đó HomR(R/I,H1
I
(M)) là hữu hạn.
Từ đây chúng ta có hệ quả 2.3.14 nêu lên tính hữu hạn của AssR(Hs
I
(M))
Hệ quả 2.3.14 Giả sử M là R-môđun hữu hạn. Gọi s là số nguyênvi
không âm sao cho Hi
I
(M) là hữu hạn với mọi i < s. Khi đó AssR(Hs
I
(M))
là tập hữu hạn.
Khi xem xét (R, m) là vành Noether địa phương từ định nghĩa 2.3.15,
định lý 2.3.16, các hệ quả 2.3.17, 2.3.18 chúng ta có định lý 2.3.19
như sau
Định lí 2.3.19 Cho M là R-môđun hữu hạn. Khi đó phát biểu dưới
đây đúng
q(I, M) = sup{q(I, R/p)|p ∈ SuppM}
Cuối cùng và cũng là nội dung chính của luận văn chúng tôi
tiếp tục tìm hiểu các điều kiện để AssR(Hs
I
(M)) là tập hữu hạn.
Trong phần này chúng tôi xuất phát từ bổ đề 2.4.1 chỉ ra được rằng
tập {x ∈ R|Mx là Rx ư môđun hữu hạn sinh} là một iđêan của R,
tiếp đó chúng ta có bổ đề 2.4.6 được phát biểu như sau
Bổ đề 2.4.6 Cho R là vành địa phương và là ảnh đồng cấu của một
vành Cohen ư Macaulay, I là iđêan của R và M là R-môđun hữu
hạn sinh. Đặt n = dimM và r = dimM/IM. Giả sử rằng
(i). M là đẳng chiều và
(ii). M thỏa điều kiện Serre
′
s Sl với l ≤ n ư r ư 1.
Thì Hi
I
(M) là hữu hạn sinh với i < l + 1.
Từ các mệnh đề 2.4.9, 2.4.10, 2.4.11 và nhận xét 2.4.3 chúng ta có
định lý sau 2.4.12 được phát biểu như sau
Định lí 2.4.12 Cho R là vành địa phương, I là iđêan của R và M
là R-môđun hữu hạn sinh có số chiều là n. Đặt D := D(I, M) vàvii
giả sử rằng một trong các điều kiện dưới đây đúng:
(i). dimM ≤ 3;
(ii). dim R = 4 và R là miền nguyên chính;
(iii). R là vành thương của vành CohenưMacaulay, dimM/IM ≤ 2
và hoặc là dimM ≤ 4 hoặc thỏa mãn điều kiện Serre
′
s Snư3;
(iv). R là vành địa phương không rẽ nhánh, dim R/I ≤ 3 và M thỏa
Sdư3 ở đây d = dim R = dimM.
thì dim R/D ≤ 1.
Từ định lý trên khi đi xem xét (R, m) là vành địa phương chúng ta
có định lý 2.4.15 được phát biểu như sau
Định lí 2.4.15 Cho R là vành địa phương, I là iđêan của R và M
là Rưmôđun hữu hạn sinh n chiều. Giả sử rằng một trong các điều
kiện dưới đây được thỏa mãn:
(i). dimM ≤ 3;
(ii). dim R = 4 và m ư adic đầy đủ của R là một UFD;
(iii). R là vành thương của vành Cohen ư Macaulay, dim R/I ≤ 2
và hoặc dimM ≤ 4 hoặc M thỏa mãn điều kiện Snư3;
(iv). R là vành chính quy địa phương không rẽ nhánh, dim R/I ≤ 3
và M thỏa điều kiện Sdư3 trong đó d = dim R = dimM.
Lúc đó với mọi Rưmôđun hữu hạn sinh N sao cho SuppRN ⊆
V (I). Tập AssRExt
i
R
(N, H
j
I
(M)) là hữu hạn với mọi i, j. Đặc biệt
AssRHi
I
(M) là tập hữu hạn với mọi i.viii
Các kết quả tiếp theo chỉ cho chúng ta thấy tính không hữu hạn
sinh của tập HomR(R/I,Hdư1
I
(R)).
Xin chân thành cảm ơn các thầy, cô ở trường Đại Học Sư
Phạm thành phố Hồ Chí Minh đã tận tình giúp đỡ chúng tôi trong
quá trình học tập. Đặc biệt, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đối với Tiến
sĩ Trần Tuấn Nam, người đã trực tiếp ra đề tài và hướng dẫn tôi
hoàn thành luận văn này.
Do thời gian và khả năng còn hạn chế, bản thân vừa giảng
dạy vừa nghiên cứu nên khó tránh khỏi những thiếu sót, tôi xin ghi
nhận và chân thành cảm ơn những ý kiến đóng góp của thầy cô,
bạn bè đồng nghiệp để luận văn này hoàn chỉnh hơn.
Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 7 năm 2011.
Phạm Đăng Minh