Tiến Sĩ Về đối đồng điều địa phương với giá cực đại và tính Catenary của vành Noether địa phương

VIỆN TOÁN HỌC
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số
NĂM -2011
Mục lục
Mở đầu 2
Chương 1. Kiến thức chuẩn bị 10
1.1 Môđun đối đồng điều địa phương 10
1.2 Tính catenary của vành 13
1.3 Biểu diễn thứ cấp và chiều của môđun Artin 16
1.4 Tính chất () cho môđun Artin . 20

Chương 2. Môđun đối đồng điều địa phương thỏa mãn tính chất () 24
2.1 Giả giá và giả chiều . 25
2.2 Tính catenary phổ dụng của vành cơ sở 31

Chương 3. Môđun đối đồng điều địa phương tựa không trộn lẫn 37
3.1 Môđun Artin tựa không trộn lẫn . 38
3.2 Môđun đối đồng điều địa phương với giá cực đại 46

Chương 4. ứng dụng của tính chất () 53
4.1 Bội của môđun đối đồng điều địa phương 54
4.2 Tính chất dịch chuyển địa phương 59
4.3 Tập iđêan nguyên tố gắn kết, tập giá và tập giả giá 68
Kết luận của luận án 74
Các công trình liên quan đến luận án 75
Tài liệu tham khảo 76

Mở đầu
Lý thuyết môđun đối đồng điều địa phương được A. Grothendieck đưa ra lần đầu tiên trong [18] và nhanh chóng trở thành công cụ hữu hiệu của Đại số giao hoán, Hình học đại số. Do đó lý thuyết này đã thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học (xem các công trình [5], [6], [18], [20], [29], [30], [32], [36], [48], [55], [56]). Môđun đối đồng điều địa phương cho ta nhiều thông tin về môđun ban đầu cũng như về vành cơ sở. Giả sử (R;m) là vành giao hoán địa phương Noether và M là R-môđun hữu hạn sinh, có chiều Krull dimM = d. Cho I là một iđêan của R. Khi đó, Định lý triệt tiêu và không triệt tiêu của A. Grothendieck (xem [6, Định lý 6.1.2, Định lý 6.1.4]) nói rằng chiều của M là số i lớn nhất mà môđun đối đồng điều địa phương Hi m(M) không triệt tiêu, còn độ sâu của M trong iđêan I là số i bé nhất sao cho Hi
I(M) không triệt tiêu. Tính hữu hạn sinh và tính Artin của các môđun đối đồng điều địa phương cũng liên hệ chặt chẽ với các bất biến của M và R. Cụ thể G. Faltings đã đưa ra công thức tính chỉ số đầu tiên mà môđun đối đồng điều địa phương Hi I(M) không hữu hạn sinh thông qua độ sâu của môđun Mp và độ cao của iđêan I + p=p, với p là iđêan nguyên tố trong Supp(M) ([55], [56]); năm 2001, R. Lu và Z. Tang đã chỉ ra rằng độ sâu lọc của M trong iđêan I (tức là cận trên của các độ dài của các dãy lọc chính quy của M trong I) là chỉ số i bé nhất mà môđun đối đồng điều địa phương Hi I(M) không Artin ([28]).
Đặc biệt, gần đây các tác giả N. T. C