Thạc Sĩ Về các radical trong PI. Đại số

Đề tài: Về các radical trong PI. Đại số
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Trong thời gian theo học ở trường Đại Học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh,
chúng tôi được nghe giảng một số chuyên đề về lý thuyết vành của Thầy
PGS.TS BÙI TƯỜNG TRÍ. Chủ đề được trình bày dựa trên nền tảng của
cuốn sách: Introducton to Commutative Algebra của M.F. ATIYAH và
I.G.MACDONALD, cuốn sách NONCOMMUTATIVE RINGS của
I.N.HERSTEIN, cuốn sách STRUCTURE OF RINGS của NATHAN
JACOBSON, và cuốn sách LECTURE NOTES IN MATHEMATICS.441-
PI ALGEBERAS AN INTRODUCTION của NATHAN JACOBSON.
Qua tìm hiểu, tôi nhận ra được sự quan trọng của PI. Đại số trong
nhiều lĩnh vực của đại số nói chung và trong việc xây dựng câu trúc vành
nói riêng. Từ đây, tôi đã đi sâu tìm hiểu về một chủ đề nhỏ của lý thuyết
vành là: Về các Radical trong PI. Đại số. Luận văn tập trong nghiên cứu
cấu trúc của các Radical trên các trên các vành và mối liên hệ giữa chúng
trên các cấu trúc đại số khác nhau.
2. Mục đích
Hệ thống lại toàn bộ các khái niệm về Radical và từ những khái
niệm đó chúng tôi đi nghiên cứu về mối quan hệ giữa chúng trên các đại
số giao hoán và không giao hoán.
3. Đối tượng và nội dung nghiên cứu
Cấu trúc của các đại số giao hoán và không giao hoán. Mối quan hệ
giữa các Radical trên các cấu trúc đại số khác nhau.
4. Ý nghĩa khoa học thực tiễn
Hình thành hệ thống lôgíc các cấu trúc về Radical và vận dụng
chúng trong việc xây dựng các cấu trúc đại số .
5. Nội dung của luận văn
Chương 1. Các kiến thức cơ bản
Trong chương này, tác giả luận văn đã đưa ra hệ thống những
kiến thức về: Vành, ideal trên vành, mô đun trên vành, đại số trên vành và
đồng nhất thức trên đại số. Tất cả những kiến thức trên được đưa ra vừa đủ
để làm kiến thức nền cho chương 2, 3.
Chương 2. Xây dựng các loại Radical
Trong chương này, tác giả luận văn đã tiến hành xây dựng
các loại radical theo các chủ đề chính sau:
- Xây dựng Radical trên vành giao hoán có đơn vị.
- Xây dựng Radical Jacobson trên vành không giao hoán.
- Nghiên cứu Radical Jacobson trên các vành đặc biệt khác.
- Nghiên cứu về Radical trên đại số A, Có 4 loại radical: Levitzki nil
radical, Upper nil radical, lower nil radical, Jacobson radical.
Chương 3. Các Radical Trong các PI- đại số
Trong chương này, tác giả luận văn đã tiến hành xây dựng
mối quan hệ bao hàm giữa các loại radical trên các cấu trúc như sau: Trên
đại số A, trên PI-đại số, PI- đại số phổ dụng. Từ đây, tác giả đã đưa ra một
số kết quả khá tổng quát về mối quan hệ bao hàm giữa các radical.
Luận văn được hoàn thành trong sự cố gắng của tác giả luận văn
cùng với sự giúp đỡ hết sức tận tình của thầy giáo hướng dẫn PGS.TS
BÙI TƯỜNG TRÍ. Vì thời gian nghiên cứu luận văn không được nhiều nên
luận văn còn có nhiều vấn đề chưa khai thác được một cách triệt để và
cũng không thể tránh khỏi những sai sót. Vì vậy, tôi rất chân thành ghi
nhận những ý kiến đóng góp của quý thầy trong khoa toán của trường Đại
Học Sư Phạm TP. Hồ Chí Minh, các đồng nghiệp và tất cả mọi người.