Thạc Sĩ Về các định lý điểm bất động cho ánh xạ co trong không gian 2- mê tric

Đề tài: Về các định lý điểm bất động cho ánh xạ co trong không gian 2- mê tric

MỞ ĐẦU
Không gian mêtric và sự tồn tại các định lý điểm bất động đối với
ánh xạ co trên không gian mêtric đầy đủ là các đối tượng nghiên cứu
cơ bản của toán Giải tích. Có rất nhiều hướng nghiên cứu tìm cách mở
rộng khái niệm không gian mêtric và các ứng dụng của nó. Các hướng
nghiên cứu này đã thu được nhiều lớp không gian tổng quát hơn không
gian mêtric hoặc là các lớp không gian có cấu trúc tương tự. Các định
lý điểm bất động đối với ánh xạ co trong không gian mêtric được nghiên
cứu phong phú cho nhiều kiểu ánh xạ, trên nhiều loại không gian mêtric
khác nhau. Các định lý điểm bất động có nhiều ứng dụng rộng rãi trong
nhiều lĩnh vực của toán học như Giải tích, Phương trình vi tích phân .
Năm 1963, S. G¨ahler (xem [4]) đã đưa ra một lớp không gian tương
tự không gian mêtric là không gian 2-mêtric. Sau đó, các vấn đề hội tụ,
liên tục của ánh xạ, sự tồn tại điểm bất động cho ánh xạ co, . trên lớp
không gian này đã được nghiên cứu bởi một số nhà toán học khác (xem
[5], [6], .).
Nhằm tìm hiểu một cách chi tiết và có hệ thống về không gian 2-
mêtric và sự tồn tại điểm bất động cho một số lớp ánh xạ co suy rộng
trên không gian này, tôi chọn đề tài cho khoá luận là:
Về các định lý điểm bất động cho ánh xạ co trong không gian
2- mêtric.
Chúng tôi sẽ trình bày khái niệm, tính chất cơ bản về không gian
2-mêtric và đưa ra một số dạng định lý điểm bất động đối với ánh xạ co
suy rộng cho đối với không gian 2-mêtric. Với nội dung trên, khoá luận3
được viết thành 2 chương:
Chương 1. Không gian mêtric và không gian 2-mêtric.
Chương 2. Định lý điểm bất động cho ánh xạ co trong không gian 2-
mêtric.
Các kết quả chính của khoá luận được trình bày từ bài báo [3].
Khoá luận được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướng
dẫn chu đáo, tận tình của Thầy giáo Th.S . Kiều Phương Chi. Tác giả
xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất đến thầy. Đồng thời tác giả xin gửi
lời cảm ơn tới Ban chủ nhiệm khoa Toán, các thầy cô giáo trong khoa
Toán đã nhiệt tình giảng dạy trong suốt quá trình học tập. Cuối cùng
xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, người thân, các bạn sinh viên lớp 47AToán và tất cả bạn bè đã động viên giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho
tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành khoá luận. Mặc dù đã
có rất nhiều cố gắng nhưng vì năng lực còn hạn chế nên khoá luận không
thể tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được những lời
chỉ bảo quý báu của các thầy cô và những góp ý của bạn đọc để khoá
luận được hoàn thiện hơn.
Vinh, tháng 05 năm 2010
Hoàng Thị Thuỷ4
CHƯƠNG 1
KHÔNG GIAN MÊTRIC VÀ KHÔNG GIAN 2-MÊTRIC
Chương này trình bày một số vấn đề cơ bản của không gian mêtric và
không gian 2-mêtric.
1.1. Không gian mêtric và ánh xạ co
Trong mục này, chúng tôi trình bày lại một số kết quả cơ bản về không
gian mêtric và các định lý điểm bất động cho ánh xạ co trong không gian
mêtric.
1.1.1 Định nghĩa. Cho X là một tập khác rỗng. Hàm d : X × X → R
được gọi là một mêtric trên X nếu thoả mãn các điều kiện sau:
1) d(x, y) > 0, với mọi x, y ∈ X; d(x, y) = 0 khi và chỉ khi x = y.
2) d(x, y) = d(y, x), với mọi x, y ∈ X.
3) d(x, y) 6 d(x, z) + d(z, y) ,với mọi x, y, z ∈ X.
Khi đó, (X, d) được gọi là một không gian mêtric.
1.1.2 Định nghĩa. Cho (X, d) là một không gian mêtric. Dãy {xn} ⊂ X
được gọi là hội tụ tới x ∈ X và ký hiệu là xn → x,(x được gọi là giới hạn
của dãy {xn}), nếu lim
n→∞
d(xn, x) = 0.
Trong không gian mêtric giới hạn của một dãy nếu có là duy nhất.
1.1.3 Định nghĩa. Không gian mêtric X được gọi là compact nếu mọi
dãy thuộc X đều có dãy con hội tụ trong X.
1.1.4 Định nghĩa. Cho (X, d) là một không gian mêtric.5
Dãy {xn} ⊂ X được gọi là dãy Cauchy nếu lim
m,n→∞
d(xm, xn) = 0.
Không gian (X, d) được gọi là đầy đủ nếu mọi dãy Cauchy của X đều
hội tụ trong X.
1.1.5 Định nghĩa. Cho (X, d), (Y, ρ) là các không gian mêtric và ánh
xạ f : X → X.
1) ánh xạ f được gọi là liên tục nếu với mọi dãy {xn} ⊂ X và xn → x
thì f(xn) → f(x).
2) ánh xạ f được gọi là liên tục đều nếu với mọi ε > 0 tồn tại δ = δ(ε)
sao cho:
ρ(fx, fy) < ε, ∀x, y ∈ X, d(x, y) < δ.
Ta chứng minh được mọi ánh xạ liên tục đều là liên tục. Mệnh đề
ngược lại là không đúng.
1.1.6 Định nghĩa. Cho (X, d) là một không gian mêtric. ánh xạ f :
X → X được gọi là một ánh xạ co nếu tồn tại q ∈ [0, 1) sao cho:
d

fx, fy
6 qd(x, y), ∀x, y ∈ X.
Dễ dàng kiểm tra được mọi ánh xạ co là liên tục đều.
1.1.7 Định nghĩa. Cho (X, d) là một không gian mêtric và ánh xạ
f : X → X. Điểm a ∈ X được gọi là điểm bất động của f nếu f a = a.
1.1.8 Định lý. (Banach, [1]) Mọi ánh xạ co trên không gian mêtric đầy
đủ đều có duy nhất một điểm bất động.
Chứng minh. Cố định x0 ∈ X và xác định dãy {xn} bằng quy nạp như
sau
xn+1 = fxn, n = 0, 1, 2, .
Ta có
d(x1, x2) = d(fx0, fx1) 6 qd(x0, x1)
d(x2, x3) = d(fx1, fx2) 6 qd(x1, x2) 6 q
2
d(x0, x1).