Thạc Sĩ Về các đại số nguyên tốt và nửa nguyên tố thỏa mãn đồng nhất thức đa thức

Đề tài: Về các đại số nguyên tốt và nửa nguyên tố thỏa mãn đồng nhất thức đa thức
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU
HỆ THỐNG KÍ HIỆU
Chương 1:
CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ MỘT SỐ ĐẠI SỐ ĐẶC BIỆT
1.1. Tóm tắt những kiến thức cơ sở . 1
1.2. Một số đại số đặc biệt .8
1.2.1. Đại số nửa nguyên thủy 8
1.2.2. Đại số nguyên thủy 8
1.2.3. Đại số nguyên tố . 12
1.2.4. Đại số nửa nguyên tố 14
1.2.5. Đại số thỏa mãn đồng nhất thức . 18
Chương 2:
CÁC PI – ĐẠI SỐ NỬA NGUYÊN TỐ THỎA MÃN ĐỒNG NHẤT
THỨC ĐA THỨC
2.1. Đại số nguyên tố thỏa mãn đồng nhất thức thực sự 26
2.2. Các kết quả của Posner . 39
2.3. Ví dụ 41
KẾT LUẬN . 43
TÀI LIỆU THAM KHẢO .44 4
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài:
Posner – Rowen đã chứng minh rằng, một PI – đại số nguyên tố trên một
trường có thể nhúng vào một đại số đơn hữu hạn chiều trên tâm của nó như là thứ
tự phải và trái trong đại số. Amitsur đã khái quát điều này cho những đại số trên
vành, ông đã sử dụng định lí Goldie để làm cơ sở cho những kết quả của mình.
Rowen là người có công không nhỏ trong việc làm sáng tỏ vấn đề trên. Ông đã
chỉ ra một hình ảnh rõ nét về vành thương, trong đó tâm của vành thương là
trường các thương của tâm của vành nguyên tố. Vấn đề trên đã thu hút rất nhiều
sự quan tâm của các nhà toán học trên thế giới, trong đó có Small, Martindale
Và tất cả đều sử dụng đa thức của Formanek.
Mặc dù còn hạn chế nhiều về chuyên môn nên khà năng bao quát kiến thức
chưa đủ lớn nhưng khi nghiên cứu vấn đề trên bản thân tôi cũng chịu một sức hấp
dẫn nhất định. Chọn đề này giúp chúng tôi tập làm quen với các phương pháp
nghiên cứu Toán học đương đại. Trên hết là nhằm phát triển tư duy của bản thân.
2. Mục đích nghiên cứu:
Chúng ta biết rằng, một đại số là nửa nguyên tố khi và chỉ khi nó là tích trực
tiếp con của các đại số nguyên tố, một đại số là nửa nguyên thủy khi và chỉ khi nó
là tích trực tiếp con của các đại số nguyên thủy (theo Kaplansky, nếu đại số
nguyên thủy là PI sẽ trở thành đại số đơn). Câu hỏi tự nhiên được đặt ra là, liệu
kết quả của Posner – Rowen về các PI – đại số có thể mở rộng ra cho lớp các PI –
đại số nửa nguyên tố hay không? Nói một cách chính xác hơn, liệu một PI – đại số
nửa nguyên tố trên một trường có thể nhúng như thứ tự trái (phải) vào một PI – đại 5
số nửa nguyên thủy hay không? Trong quyển PI – Algebras An Introduction của
Nathan Jacobson (tài liệu tham khảo số 3 – tiếng Anh), tác giả nói rằng, có những
thí dụ chứng minh rằng kết quả của Posner – Rowen không thể mở rộng ra cho lớp
các PI – đại số nửa nguyên tố, tuy nhiên ông không chỉ ra thí dụ cụ thể nào. Mục
đích chính của luận văn của chúng tôi là đi xây dựng một thí dụ như vậy.
3. Phương pháp nghiên cứu:
Trong luận văn này chúng tôi không trình bày cách xây dựng đa thức của
Formanek mà chỉ trình bày các kết quả của Posner và Rowen đối với các PI – đại
số nguyên tố thỏa mãn đồng nhất thức thực sự . Với lưu ý rằng, để đi đến những
kết quả của mình Posner và Rowen cũng sử dụng đa thức của Formanek. Hơn nữa,
để hoàn thiện thí dụ mà chúng tôi đưa ra, chúng tôi đã bổ sung và chứng minh
mệnh đề 1.2.4 về tính đầy hữu tỉ của một đại số.
4. Cấu trúc luận văn:
Luận văn bao gồm hai chương. Chương 1 chúng tôi trình bày các kiến thức cơ
bản về lí thuyết các vành không giao hoán và lí thuyết các PI – vành. Chương 2
chúng tôi đi sâu vào nghiên cứu về đại số nguyên tố và nửa nguyên tố thỏa mãn
đồng nhất thức thực sự, trong đó chúng tôi trình bày rất rõ các kết quả của Posner
về các PI – đại số nguyên tố. Cuối cùng, chúng tôi xây dựng một thí dụ chứng tỏ
rằng kết quả của Posner – Rowen không thể mở rộng cho lớp các PI – đại số nửa
nguyên tố. 6
HỆ THỐNG KÍ HIỆU
` : Tập các số tự nhiên
_: Trường số hữu tỉ
annAM: Tập những phần tử trong A linh hóa M
A(M): { a A Ma = 0 ∈ , M là A – modun bất khả qui}
E( ) M : Tập những tự đồng cấu trên M
C(M): Giao hoán tử của A trên M
rad(A) hoặc J(A): Radical Jacobson của vành A
sgnπ : Dấu của phép thế π
lnA: nil radical dưới của A
Un(A): upper nil radical của A
L(A): Levitzki nil radical của A
K{X}: Đại số các đa thức ấn x trên K
Degf: Bậc của đa thức f
deg : Bậc của đa thức f theo một biến xi
i
x
f
ht(f): Chiều cao của đa thức f
i
j
Δ f : Toán tử sai phân của f
C F .: Tâm tập của F trong Δ
Δ
MS : Địa phương hóa của M tại S
[ : ] A C : Số chiều của không gian A trên trường C
Δm
Tập tất cả các ma trận vuông cấp m trên Δ