Thạc Sĩ Vành, trường bậc hai và ứng dụng

Môc lôc
Môc lôc 1
Lêi nãi ®Çu 3
1 KiÕn thøc c¬ b¶n vÒ më réng vµnh vµ tr­êng 5
1.1 KiÕn thøc c¬ b¶n . 5
1.2 Më réng vµnh vµ tr­êng . 8
2 Vµnh vµ tr­êng bËc hai 13
2.1 Tr­êng bËc hai 13
2.2 Vµnh bËc hai vµ vµnh c¸c sè nguyªn ®¹i sè . 21
3 Mét sè øng dông gi¶i to¸n s¬ cÊp 31
3.1 Sö dông tr­êng bËc hai 31
3.2 Sö dông chuÈn trong vµnh bËc hai 32
3.3 Sö dông ph©n tÝch duy nhÊt trong vµnh bËc hai . 36
KÕt luËn 41
Tµi liÖu tham kh¶o 42
12
Lêi c¶m ¬n
Trong qu¸ tr×nh häc tËp vµ nghiªn cøu t¹i Tr­êng §¹i häc Khoa häc -
§¹i häc Th¸i Nguyªn, t«i ®­îc nhËn ®Ò tµi nghiªn cøu \Vµnh, tr­êng bËc
hai vµ øng dông" d­íi sù h­íng dÉn cña PGS.TS Lª ThÞ Thanh Nhµn. §Õn
nay, luËn v¨n ®· ®­îc hoµn thµnh. Cã ®­îc kÕt qu¶ nµy lµ do sù d¹y b¶o
vµ h­íng dÉn tËn t×nh vµ nghiªm kh¾c cña C«. T«i xin bµy tá lßng biÕt ¬n
ch©n thµnh vµ s©u s¾c tíi C« vµ gia ®×nh!
T«i còng xin göi lêi c¶m ¬n ch©n thµnh ®Õn Ban gi¸m hiÖu, Phßng §µo
t¹o vµ Khoa To¸n - Tin cña Tr­êng §¹i häc Khoa häc - §¹i häc Th¸i
Nguyªn ®· t¹o mäi ®iÒu kiÖn thuËn lîi gióp ®ì t«i trong qu¸ tr×nh häc tËp
t¹i Tr­êng vµ trong thêi gian nghiªn cøu hoµn thµnh luËn v¨n nµy. Sù gióp
®ì nhiÖt t×nh vµ th¸i ®é th©n thiÖn cña c¸c thµy c« gi¸o, c¸c c¸n bé thuéc
Phßng §µo t¹o, Khoa To¸n - Tin ®· ®Ó l¹i trong lßng mçi chóng t«i nhưng
Ên t­îng tèt ®Ñp.
T«i xin c¶m ¬n Së Gi¸o dôc vµ §µo t¹o Qu¶ng Ninh, ®Æc biÖt lµ Trung
t©m HN&GDTX tØnh - n¬i t«i ®ang c«ng t¸c ®· t¹o mäi ®iÒu kiÖn thuËn lîi
®Ó t«i hoµn thµnh khãa häc nµy.
T«i xin c¶m ¬n gia ®×nh, b¹n bÌ, ®ång nghiÖp vµ c¸c thµnh viªn trong
líp cao häc To¸n K7Q (Khãa 2013-2015) ®· quan t©m, t¹o ®iÒu kiÖn, cæ
vò vµ ®éng viªn ®Ó t«i cã thÓ hoµn thµnh nhiÖm vô cña m×nh.3
Lêi nãi ®Çu
Trong lý thuyÕt sè ®¹i sè, mét tr­êng bËc hai ®­îc hiÓu lµ mét tr­êng
con cña tr­êng sè phøc C ®ång thêi lµ mét më réng bËc hai cña tr­êng sè
hưu tû Q (tøc lµ mét Q-kh«ng gian vÐc t¬ chiÒu 2). Nh­ vËy, nÕu K lµ
tr­êng bËc hai th× tån t¹i mét hÖ {α 1 , β} ⊆ K (gäi lµ mét c¬ së cña K)
sao cho mçi phÇn tö cña K ®Òu biÓu diÔn ®­îc mét c¸ch duy nhÊt d¹ng
aα + bβ víi a, b ∈ Q. Víi suy nghÜ t­¬ng tù, ng­êi ta giíi thiÖu kh¸i niÖm
vµnh bËc hai, ®ã lµ mét vµnh con cña C ®ång thêi lµ mét më réng bËc
hai cña vµnh sè nguyªn Z. Cô thÓ, nÕu D lµ vµnh bËc hai th× tån t¹i mét
hÖ {α, β} ⊆ D (gäi lµ mét c¬ së cña D) sao cho mçi phÇn tö cña D ®Òu
biÓu diÔn ®­îc mét c¸ch duy nhÊt d¹ng aα + bβ víi a, b ∈ Z. C¸c vµnh vµ
tr­êng bËc hai ®· ®­îc quan t©m vµ nghiªn cøu mét c¸ch s©u s¾c víi nhiÒu
øng dông quan träng trong to¸n s¬ cÊp. Ch¼ng h¹n, chóng ta cã thÓ dïng
vµnh vµ tr­êng bËc hai ®Ó chøng minh r»ng kh«ng thÓ dùng b»ng th­íc kÎ
vµ compa sè thùc
3
√
2, kh«ng thÓ \cÇu ph­¬ng mét h×nh trßn" (dùng mét
h×nh vu«ng cã diÖn tÝch b»ng diÖn tÝch mét h×nh trßn cho tr­íc).
Môc tiªu ®Çu tiªn cña luËn v¨n lµ nghiªn cøu c¸c tr­êng bËc hai vµ c¸c
vµnh bËc hai. Môc tiªu tiÕp theo lµ lµm râ cÊu tróc cña vµnh c¸c sè nguyªn
®¹i sè trong mét tr­êng bËc hai, chóng t«i chØ ra r»ng ®©y lµ mét lo¹i vµnh
bËc hai rÊt ®Æc biÖt. Ch¼ng h¹n, c¸c i®ªan cña nã ®Òu cã mét hÖ sinh gåm
mét hoÆc hai phÇn tö, mçi phÇn tö cña nã ®Òu cã sù ph©n tÝch thµnh nh©n
tö bÊt kh¶ quy. Chóng t«i còng chØ ra mét sè líp vµnh bËc hai cã sù ph©n
tÝch duy nhÊt. Môc tiªu thø ba cña luËn v¨n lµ ¸p dông nhưng kÕt qu¶ vÒ
vµnh vµ tr­êng bËc hai ®Ó gi¶i quyÕt mét sè d¹ng bµi to¸n s¬ cÊp.
LuËn v¨n ®­îc viÕt chñ yÕu dùa theo 4 tµi liÖu sau ®©y.
1. Daniel A. Marcus, Number Fields, Springer New York, 1977.4
2. J. Rotman, Galois theory, Second edition, Springer, 1998.
3. David Anthony Santos, Number Theory for mathematical contests,
GNU Free Documentation License, October, 2007.
4. Victor V. Prasolov, Polynomials, Springer, 2004 (second edition).
PhÇn më réng vµnh vµ tr­êng ®­îc tham kh¶o tõ c¸c tµi liÖu 1 vµ 2.
Kh¸i niÖm vµ mét sè kÕt qu¶ vÒ vµnh vµ tr­êng bËc hai ®­îc tham kh¶o tõ
tµi liÖu 1. PhÇn øng dông gi¶i to¸n s¬ cÊp trong Ch­¬ng 3 ®­îc tham kh¶o
tõ tµi liÖu 3, 4 vµ mét tµi liÖu vÒ to¸n s¬ cÊp cña PGS.TS. §µm V¨n NhØ.
LuËn v¨n chia lµm 3 ch­¬ng. Ch­¬ng 1 tr×nh bµy nhưng kiÕn thøc c¬
b¶n vÒ vµnh, tr­êng, ®ång cÊu, më réng tr­êng, c¬ së vµ bËc cña më réng
vµnh vµ tr­êng, sè ®¹i sè, sè nguyªn ®¹i sè. Trong Ch­¬ng 2, chóng t«i
chØ ra cÊu tróc cña tr­êng bËc hai, vµnh bËc hai, vµnh c¸c sè nguyªn ®¹i sè
trong tr­êng bËc hai, i®ªan trong vµnh bËc hai, sù ph©n tÝch duy nhÊt trong
vµnh bËc hai. Ch­¬ng 3 tr×nh bµy nhưng øng dông cña vµnh vµ tr­êng bËc
hai trong viÖc gi¶i to¸n s¬ cÊp. Ch­¬ng chia lµm 3 tiÕt nhá. TiÕt 3.1 lµ c¸c
bµi to¸n gi¶i ®­îc b»ng c¸ch sö dông tr­êng bËc hai. TiÕt 3.2 lµ c¸c bµi
to¸n sö dông chuÈn trong vµnh bËc hai. TiÕt 3.3 dµnh ®Ó tr×nh bµy c¸c bµi
to¸n sö dông sù ph©n tÝch duy nhÊt trong vµnh bËc hai.