Thạc Sĩ Vánh cấu xạ và vành tự cấu xạ

Đề tài: Vánh cấu xạ và vành tự cấu xạ
Tóm tắt
Đối với một vành R bất kỳ theo định lý đồng cấu chúng ta luôn có
R/l(a) ∼= Ra, ∀a ∈ R trong đó l(a) là linh hoá tử trái của phần tử a, tuy
nhiên sự đối ngẫu R/Ra ∼= l(a) không phải bao giờ cũng đúng. Lớp
vành cấu xạ được đưa ra khi nghiên cứu tính đúng đắn của đẳng thức
R/Ra ∼= l(a). Các nhà toán học Nicholson và Campos (2004) (xem [7])
đã tìm thấy sự liên hệ của lớp vành này với tính chất của các phần tử .
Nicholson và các cộng sự đã đạt được nhiều kết quả sâu sắc khi nghiên
cứu lớp vành cấu xạ (xem [2], [7]). Trong thời gian gần đây họ còn mở
rộng lớp vành này để đạt được lớp vành tựa cấu xạ (xem [1]). Khoá
luận này tiếp tục nghiên cứu các tính chất và xây dựng một số ví dụ về
lớp vành cấu xạ và lớp vành tựa cấu xạ.
Để giải quyết vấn đề đặt ra chúng tôi sử dụng các kiến thức, phương
pháp và kỹ thuật chứng minh của lý thuyết vành, đặc biệt là kỹ thuật về
các phần tử.
Bố cục khoá luận gồm hai chương:
Chương 1. Các khái niệm cơ bản
Chương này giới thiệu những khái niệm và tính chất cơ bản có liên
quan và được sử dụng cho chương sau. Đó là các kiến thức cơ sở để
nghiên cứu lớp vành cấu xạ và tựa cấu xạ.
Chương 2. Vành cấu xạ và vành tựa cấu xạ
Chương này giới thiệu về phần tử cấu xạ, phần tử tựa cấu xạ, vành
cấu xạ và vành tựa cấu xạ. Chương này cũng đưa ra những ví dụ và mối
liên hệ của hai lớp vành này với những lớp vành cổ điển.
Đ1 Vành cấu xạ
Mục này giới thiệu về phần tử cấu xạ và vành cấu xạ, một số tính chất
nội tại và các đặc trưng của vành cấu xạ để đưa ra mối liên hệ giữa vành
cấu xạ với vành chính quy khả nghịch, vành Bun, thể, vành nửa đơn,
2Đ2 Vành tựa cấu xạ
Mục này giới thiệu về phần tử tựa cấu xạ và vành tựa cấu xạ, mối liên
hệ giữa vành tựa cấu xạ với vành cấu xạ và một số lớp vành khác như
vành chính quy, vành hữu hạn trực tiếp . Mục này còn đưa ra một số
tính chất của vành tựa cấu xạ.
3Lời nói đầu
Lý thuyết vành là một trong những lý thuyết phát triển mạnh mẽ trong
giai đoạn hiện nay. Trong lý thuyết vành, vấn đề đặc trưng các lớp vành
là bài toán được nhiều nhà toán học quan tâm và đã đạt được nhiều kết
quả sâu sắc. Có hai hướng chính để đặc trưng cho các lớp vành. Hướng
thứ nhất là đặc trưng vành thông qua tính chất nội tại của nó như tính
chất của các phần tử hoặc các iđêan. Hướng thứ hai là đặc trưng vành
thông qua tính chất của các lớp môđun trên vành đó. Hướng thứ nhất ra
đời sớm hơn và hiện tại vẫn được một số nhà toán học quan tâm nghiên
cứu. Khoá luận của chúng tôi nghiên cứu theo hướng thứ nhất, dựa
trên các bài báo của Nicholson, Campos (2004) (xem [7]) và Camillo,
Nicholson (2007) (xem [1]). Chúng ta đã biết rằng đối với vành R bất
kỳ theo định lý đồng cấu R/l(a) ∼= Ra, ∀a ∈ R trong đó l(a) là linh
hoá tử trái của phần tử a. Tuy nhiên tính chất R/Ra ∼= l(a) không phải
bao giờ cũng đúng chẳng hạn Z/2Z ∼W= l(2) = 0. Năm 1976, G.Erlich
đã đưa ra lớp vành cấu xạ là lớp vành thoả mãn điều kiện R/Ra ∼= l(a)
(xem [3]), tuy nhiên việc nghiên cứu vành cấu xạ qua điều kiện này tỏ
ra không thật sự hiệu quả. Năm 2004, Nicholson và Campos đã đưa ra
điều kiện tương đương của vành cấu xạ với tính chất về linh hoá tử của
các phần tử (xem [7, Lemma 1]). Nhờ sử dụng điều kiện mới này việc
nghiên cứu lớp vành cấu xạ tỏ ra có hiệu quả hơn và đạt được nhiều kết
quả thú vị. Đặc biệt năm 2007, V. Camillo và Nicholson đã mở rộng
điều kiện trên và đưa ra lớp vành tựa cấu xạ và đã đạt được một số kết
quả (xem [1]).
Khoá luận này cũng nghiên cứu các tính chất của vành cấu xạ và vành
tựa cấu xạ, đưa ra những ví dụ, mối liên hệ của hai lớp vành này với
những lớp vành cổ điển. Khoá luận còn nghiên cứu các tính chất về các
phần tử trong hai lớp vành này.
Khoá luận được trình bày trong hai chương. Trong chương I, chúng tôi
hệ thống các khái niệm cơ bản được sử dụng trong khoá luận. Chương
4II là nội dung chính của khoá luận trình bày về phần tử và vành cấu xạ,
tựa cấu xạ, các tính chất của chúng, thông qua đó đưa ra các ví dụ và
mối liên hệ của hai lớp vành này với các lớp vành cổ điển.
Kết quả chính của khoá luận đã được viết thành bài báo: ”Vành cấu
xạ và QF vành” đang gửi đăng ở Tạp chí khoa học trường Đại học Vinh
(xem [9]).
Khi nghiên cứu về các lớp vành cấu xạ và vành tựa cấu xạ chúng tôi
nhận thấy hệ thống kết quả của nó chưa thực sự hoàn thiện. Từ đó đặt
ra các bài toán mới có thể hấp dẫn chúng tôi tiếp tục nghiên cứu trong
thời gian tới như đặc trưng QF vành bởi các vành cấu xạ và vành tựa
cấu xạ .
Khoá luận được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS. TS.
Ngô Sỹ Tùng, NCS. ThS. Lê Văn An và nhóm Seminar Lý thuyết vành
và môđun. Nhân dịp này chúng tôi bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy
giáo hướng dẫn và nhóm Seminar về những sự giúp đỡ nhiệt tình, chu
đáo và những góp ý thiết thực cho chúng tôi trong quá trình hoàn thành
khoá luận. Chúng tôi cũng xin gửi lời cảm ơn các thầy cô giáo trong tổ
Đại số và Lý thuyết số và các bạn sinh viên đã giúp đỡ chúng tôi trong
quá trình hoàn thành khoá luận này.
Vì trình độ và thời gian có hạn nên khoá luận chắc chắn không tránh
khỏi những thiếu sót, chúng tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến
của các thầy cô giáo và các bạn đọc để khoá luận này được hoàn thiện
hơn.
Tác giả
5