Tiến Sĩ Vấn đề duy nhất của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh và tính rẽ nhánh của ánh xạ Gauss của mặt

Luận án tiến sĩ năm 2013
Đề tài: Vấn đề duy nhất của ánh xạ phân hình vào không gian xạ ảnh và tính rẽ nhánh của ánh xạ Gauss của mặt cực tiểu đầy

[TABLE="width: 596"]
[TR]
[TD="align: left"]Mục lục
Một số quy ước và kí hiệu V
Mở đầu 1
1 Định lý duy nhất với bội bị chặn của ánh xạ phân hình cho mục tiêu
cố định 7
1.1 Các kiến thức và kết quả cơ bản của lý thuyết Nevanlinna . 10
1.2 Định lý duy nhất của các ánh xạ phân hình với 2N + 2 siêu phảng và
bội bị chặn . 18
1.3 Định lý duy nhất của các ánh xạ phân hình với mục tiêu cố địrủi và
chặn bội có rẽ nhánh 29
1.4 Định lý duy nhất của các ánh xạ phân hình với mục tiêu cố địrủi và điều
kiện đạo hàm 38
2 Định lý duy nhất với bội bị chặn của các ánh xạ phân hình cho mục
tiêu di động 42
2.1 Một số khái niệm và kết quả bổ trợ . 44
2.2 Định lý duy Iihất với bội bị chặn của ánh xạ phân hình cho mục tiêu di
động 15
2.3 Định lý duy nhất của ánh xạ phân hình với điều kiện đạo hàm 53
[TABLE]
[TR]
[TD]3 Sự phân bố giá trị của ánh xạ Gauss của mặt cực tiểu tại tập dạng
vành khuyên 62
1.1 Mặt cực tiểu trong R[SUP]m[/SUP] . 63
1.2 Ánh xạ Gauss của mặt cực tiểu trong 68
1.3 Tính rỗ nhánh của hàm phân hình 71
1.4 Tính rố nhánh của ánh xạ Gauss của mặt cực tiểu . 76
Ket luận và kiến nghị 85
Danh mục các công trình liên quan đến luận án 86
Tài liệu tham khảo 87
[TABLE="width: 598"]
[TR]
[TD="align: left"]MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Lý thuyết phân bố giá trị, hay còn gọi lằ Lý thuyết Nevanlinna, đả được R. Nevanlinna xây dựng từ cuối thập kỷ 20 của thế kỷ 20. Sau gần một thế kỷ phát triển, Lý thuyết Nevanlinna đã trở thành một trong những lý thuyết đẹp đỗ nhất của Toán học với nhiều ứng dụng vào Iihửng lữih vực khác nhau của Toán học. Luận án của chúng tôi tập trung tìm hiểu và nghiên cứu một vài vấn đề cụ thể trong Lý thuyết
Luận án này gồm hai phần.
Phần đầu ti Oil của luận án tập tiling vào vấn đề duy nhất của ánh xạ phân hình với điều kiện ràng buộc về nghịch ảnh của các divisor, vấn đề này được nghiên cứu đầu tiên bởi R. Nevanlinna |G9| vào năm 192G. Ồng đã chỉ ra rằng nếu hai hàm phân hình khác hằng / và g trên mặt phảng phức c có cùng ảnh ngược của 5 giá trị phân biệt t hì / = g.
Năm 1975, H. Fujimoto |18| tổng quát kết quả của Nevanlinna cho trường hợp các ánh xạ phân hình từ C" vào P [SUP]V[/SUP](C). Ông đã chúng minh được rằng đối với hai ánh xạ phân hình / và g từ C" vào P[SUP]A[/SUP] (C), nếu một trong hai ánh xạ / hoặc q là không suy biến tuyến tính và chúng có cùng ảnh ngược tính cả bội của (3N + 2) siêu phảng ở vị trí tổng quát trong P[SUP]iV[/SUP](C), thì / = g. Hơn nửa, nếu hai ánh xạ phân hình / và g từ c[SUP]n[/SUP] vào P[SUP]A[/SUP] (C) khác hằng và có cùng ảnh ngược tính cả bội của (3N +1) siêu phảng ở vị trí tổng quát trong P[SUP]A[/SUP](C) thì tồn tại một biến đổi xạ ảnh L từ P [SUP]V[/SUP](C) vào chính nó thỏa mãn g = L(f). Kê từ đó, vấn đề duy nhất đă được Iighiẽn cứu một cách mạnh mẽ, sâu sắc bởi nhiều Iihà toán học như H. Fujimoto (|18|.|28|w. Stoll(|56|), L. Smiley (|55|), M. Ru(|53|), G. Dot 111 off - T. V. Tấn (|12|, 113|, |14| .), D. D. Thái - s. D. Quang([Gl|, |G2|) và rủiiều người khác nữa.
Đổ hình thành các kết quả, chúng ta đưa vào một số khái Iiiệm và định nghĩa sau: Giả sử / ỉà ánh xạ phân hình không suy biến tuyến tính từ c[SUP]n[/SUP] vào P[SUP]A[/SUP] (C). Với mỗi siêu phẳng H trong không gian xạ ảnh ?[SUP]A[/SUP](C), chúng ta kí hiệu ưụ //)(ã?), z € C" là bội giao của ảnh của / với H tại f(z).
[TABLE]
[TR]
[TD="align: left"]Với mỗi z € C”, ta kí hiệu
[/TD]
[/TR]
[/TABLE]

[TABLE]
[TR]
[TD="align: left"]Vự,H),<k([SUP]Z[/SUP]) =
[/TD]
[/TR]
[/TABLE]

[TABLE="width: 225"]
[TR]
[TD="align: left"]0 nếu vự,H)(z) > k,
V(m(z) nếu ưự,H){z) < ky
[/TD]
[/TR]
[/TABLE]

[TABLE]
[TR]
[TD="align: left"]vự,H),>k(z) = <
[/TD]
[/TR]
[/TABLE]

[TABLE="width: 225"]
[TR]
[TD="align: left"]^f,H)([SUP]z[/SUP]) [SUP]nếu[/SUP] *wo(*) > [SUP]k[/SUP]‘-
0 nếu vự,H)(z) < Ar.
[/TD]
[/TR]
[/TABLE]

[TABLE="width: 668"]
[TR]
[TD="align: left"]Giả sử A\ d là các số nguyên dương hoặc lằ +oo. Xét q siêu phăng H1, ã ã ã , Hq ở vị trí tổng quát trong không giari P[SUP]A[/SUP] (C) thỏa mãn:
a) dim{z : vự,Hi),<k(z) > 0 và vự,Hị),<k{z) > 0} ^ n - 2 vói mọi 1 < i < j < q.
Chúng ta kí hiệu ^({ỉỉjYj[SUB]=ì[/SUB], f. k, d) là tập tất cả các ánh xạ phân hình không suy biến
tuyến tính g từ C" vào P[SUP]iV[/SUP](C) thỏa mãn hai điều kiện:
b) min{v(a,[SUB]Hi[/SUB]),<k{z), d} = min{i/[SUB]ựíHj[/SUB]),<k(z),d}, j € {1,- ã ã ,q}
(ta nói rằng bội được ngắt bởi k, d) và
Nếu k = +oo thì ta dùng kí hiệu [SUP]c[/SUP]^° ^[SUP]ơn[/SUP] si‘[SUP]ưi[/SUP] các kí hiệu.
Vấn đề duy nhất của các ánh xạ phân hình từ c[SUP]n[/SUP] vào P[SUP]A[/SUP] (C) là bài toán chúng ta cần phải tìm điều kiện của q và k,d sao cho tập *7[SUP]r[/SUP]({//j}j_[SUB]1[/SUB],/, Ắ:, d) chỉ chứa một ánh xạ (định lý duy nhất), hoặc theo nghĩa rộng hơn là chúng ta nghiên cứu lực lượng của tập }J[SUB]=1[/SUB],/, Ả', d) và tìm ra các mối quan hệ giữa các ánh xạ trong tập hợp này.
Một số câu hỏi tự nhiên được (lạt ra như sau.
Câu hỏi 1. Số các siẽu phăng (hay các mục tiêu cố định) trong P[SUP]jV[/SUP] (C) cần thiết là bao nhiêu? Nói cách khác, số q càng bé càng tốt.
Câu hỏi 2. Tìm cách chặn bội d và k càng bé càng tốt.
Câu hỏi 3. Liệu các mục tiêu cố định (hay các siêu phảng) có thể được mở rộng thành trường hợp mục tiêu di động (hay siêu phăng di động) hoặc cho trường hợp siêu mặt?
Về các câu hỏi 1 và 2, chúng tôi liệt kê ở đây một vài kết quả tốt nhất đả được biết đổn bao gồm


Tài liêu tham khảo
Tiếng Anh
|1| L. V. Ahlfors, An extension of Schwarz’s lemma, Trans. Amer. Math. Soc., 43 (1938), 359-364.
12] Y. Aihara, Finiteness theorem for mcromorphic mappings, Osaka J. Math. 35 (1998), 593-616.
|3| c. c. Chen, On the image of the generalized Gauss map of a complete minimal surface in R'1, Pacific J. Math., 102 (1982), 9-14.
[4| w. Chen, Defect relations for degenerate meromorphic maps, Trans. Amer. Math. Soc., 319 (1990), 499-515.
15] z. Chen and Q. Yan, Uniqueness problem of meromorphic functions sharing small functions, Proc. Amer. Math. Soc., 134 (200G), 2895-2901.
IG] z. Chen and Q. Yan, Uniqueness theorem of meromorphic mappings from C” into PiV(C) sharing 2N -ị-3 hyperplanes in PAr(C) regardless of multiplicities, Iiiternat. J. Math., 20 (2009), 717-726.
[7] S. S. Chern, An elementary proof of the existence of isothermal parameters on a surface, Proc. Amer. Math. Soc., 6 (1955), 771-782.
18] S. S. Chern and R. Ossermari, Complete minimal surface in euclidean n-space, J. Analyse Math., 19 (1967), 15-34.
19] G. Dethloff and p. H. Ha, Ramification of Gauss map of complete minimal surfaces in R3 and R4 on annular ends, preprint, 2012.
|10| G. Dethloff and p. H. Ha and p. D. Thoan, Ramification of Gauss map of complete minimal surfaces in M"' on annular ends, preprint, 2012.
[111 G. Dethloff , S. D. Quang and T. V. Tan, A uniqueness theorem for meromorphic mappings with two families of hyperplanes, Proc. Amer. Math. Soc. 140(2012), 189-197.
|12| G. Dethloff and T. V. Tan, Uniqueness problem for meromorpkic mappings with truncated multiplicities and few targets, Ann. de la Fac. Sci. de Toulouse Ser., 15 (200G), 217-242.
|13| G. Dethloff and T. V. Tan, An extension of uniqueness theorems for mcromorphic mappings, Vietnam J. Math., 34 (200C), 71-94.
|14| G. Detliloff and T. V. Tan, Uniqueness problem for meromorpkic mappings with truncatcd multiplicities and moving targets, Nagoya J. Math., 181 (200G), 75-101.
|15| G. Dethloff and T. V. Tan, Uniqueness theorems for meromorpkic mappings with few hypcrplcaics, Bull. Sci. Math., 133 (2009), 501-514.
|16| Y. Fcirig, On the Gauss map of complete minimal surfaces with finite total curvaturc, Indiana Univ. Math. J., 42 (1993), 1389-1411.
|17| o. Forster, Lectures on Ricmann Surfaces, Berlin - Heidelberg - New York, Springer - Verlag, (1981).
|18| H. Fujimoto, The uniqueness problem of meromorpkic maps into the complex projcctivc space, Nagoya Math. J. 58 (1975), 1-23.
|19| H. Fujimoto, Non-intcffratcd dcfcct relation for meromorpkic maps of complete Kahler manifolds into PjV‘(C) X . X 1PA*(C), Japanese J. Math.,11 (1985), 233- 264.
|20| H. Fujimoto, On the number of exceptional values of the Gauss map of minimal surfaces, J. Math. Soc. Japan, 40 (1988), 235-247.
1211 H. Fujimoto, Modified defect relations for the Gauss map of minimal surfaces, J. Differential Geom., 29 (1989), 245-262.