Thạc Sĩ Vấn đề biểu diễn số tự nhiên dưới dạng tổng các bình phương

Mục lục
Mở đầu ii
1 Bài toán biểu diễn số nguyên thành tổng các bình phương 1
1.1 Vấn đề biểu diễn một số nguyên thành tổng các lũy thừa 1
1.2 Một số kết quả của bài toán . 3
2 Biểu diễn số tự nhiên thành tổng của một số chẵn các bình
phương 12
2.1 Tổng các bình phương của 2 số nguyên . 12
2.2 Tổng các bình phương của 4 số nguyên . 19
2.3 Tổng các bình phương của 6 số nguyên . 25
2.4 Tổng các bình phương của 8 số nguyên . 32
2.5 Tổng các bình phương của 10 số nguyên . 39
Kết luận 51
Tài liệu tham khảo 52
iMở đầu
Bài toán biểu diễn một số nguyên n dưới dạng tổng của k số nguyên
bình phương là một trong những vấn đề rất lý thú trong lý thuyết số.
Các nhà số học như Fermat, Lagrange, . đều quan tâm tới việc giải
quyết của bài toán này và đều gặp khó khăn, rồi lại âm thầm với các
khó khăn đó của mình.
Năm 1632, Albert Girard là người đầu tiên đưa ra nhận xét rằng: Mỗi
số nguyên tố lẻ bất kì mà đồng dư với 1 theo modul 4 đều được biểu
diễn dưới dạng tổng của hai số chính phương. Fermat là người đưa
ra chứng minh đầu tiên. Bài toán này Fermat đã thông báo điều này
trong một lá thư gửi cho Marin Mersenne vào ngày 25 tháng 4 năm
1640.
Lagrange đã giải quyết được bài toán mỗi số nguyên không âm bất kỳ
luôn biểu diễn thành tổng các bình phương của 4 số nguyên. Nghĩa
là ∀n ≥ 0, tồn tại các số nguyên x 1 , x 2 , x 3 , x 4 sao cho:
n = x
2
1
+ x
2
2
+ x
2
3
+ x
2
4
Tổng quát hơn, bài toán sau đây do Waring đề xuất đã được coi là
một trong những bài toán nổi tiếng nhất của lý thuyết số. Bài toán có
nội dung như sau: Với mỗi số nguyên k ≥ 2, tồn tại số nguyên dương
h thỏa mãn mỗi số nguyên không âm bất kỳ đều có thể biểu diễn
thành tổng của đúng h hạng tử là lũy thừa bậc k của các số nguyên.
Số nguyên k nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện trên được kí hiệu là g(k).
Năm 1909, nhà Toán học Đức đã chứng minh bài toán Waring đối
với mọi lũy thừa bậc k. Đặc biệt năm 1943, nhà Toán học Nga là
Yu.V.Linnick đã để lại chúc thư, trong đó có đưa ra cách chứng minh
bài toán Waring mà chỉ cần sử dụng đến kiến thức cơ bản của lý
thuyết số.
iiTrong khuôn khổ của luận văn này chỉ xét trường hợp khi k = 2.
Nghĩa là chỉ xét bài toán biểu diễn số tự nhiên n cho trước dưới dạng
tổng các bình phương của các số nguyên không âm.
Mục tiêu của luận văn là trình bày những kết quả nghiên cứu của
việc biểu diễn một số tự nhiên n thành tổng của một số chẵn bình
phương của các số nguyên và một số ví dụ ứng dụng trong toán sơ
cấp.
Luận văn gồm 2 chương:
Chương 1: Bài toán biểu diễn số nguyên thành tổng các bình phương.
Chương 2: Biểu diễn số tự nhiên thành tổng của một số chẵn các bình
phương.
Để hoàn thành luận văn, tác giả xin bầy tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới
PGS.TS. Nông Quốc Chinh, người Thầy hướng dẫn đã động viên và
giúp đỡ tôi trong quá tình viết và hoàn thành luận văn. Tôi cũng xin
bầy tỏ lòng biết ơn của mình tới các Thầy Cô trong trường Đại học
Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã tận tình giúp đỡ tôi trong quá
trình học để tôi hoàn thành khóa học.
Thái Nguyên , ngày 01 tháng 6 năm 2015
Đoàn Quang Vụ
iiiChương 1
Bài toán biểu diễn số nguyên
thành tổng các bình phương
1.1 Vấn đề biểu diễn một số nguyên thành tổng
các lũy thừa
Bài toán biểu diễn một số nguyên thành tổng của k hạng tử là các
lũy thừa bậc m của k số nguyên nào đó là một trong những vấn đề
được nhắc đến nhiều nhất của lý thuyết số.
Lagrang đã giải quyết được bài toán mỗi số nguyên không âm bất kỳ
luôn biểu diễn thành tổng các bình phương của 4 số nguyên. Nghĩa
là ∀n ≥ 0, tồn tại các số nguyên x 1 , x 2 , x 3 , x 4 sao cho:
n = x
2
1
+ x
2
2
+ x
2
3
+ x
2
4
Tương tự, Wieferich đã chứng minh được rằng mỗi số nguyên đều
biểu diễn được thành tổng các lập phương của 9 số nguyên. Nghĩa là
với mỗi số nguyên không âm luôn tồn tại các số nguyên x 1 , x 2 , ., x 9
sao cho:
n = x
3
1
+ x
3
2
+ x
3
3
+ x
3
4
+ x
3
5
+ x
3
6
+ x
3
7
+ x
3
8
+ x
3
9
Tổng quát hơn, bài toán sau đây do Waring đề xuất đã được coi là
một trong những bài toán nổi tiếng nhất của lý thuyết số. Bài toán có
nội dung như sau: Với mỗi số nguyên k ≥ 2, tồn tại số nguyên dương
h thỏa mãn mỗi số nguyên không âm bất kỳ đều có thể biểu diễn
thành tổng của đúng h hạng tử là lũy thừa bậc k của các số nguyên.
Số nguyên k nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện trên được kí hiệu là g(k).
1Nhận xét, do 7 không thể viết thành tổng các bình phương của 3 số
nguyên, và theo định lý Lagrang ta có: g(2) = 4. Tương tự, do số 23
không thể biểu diễn thành tổng các lập phương của 8 số nguyên, nên
theo định lý Wieferich ta có g(3) = 9.
Năm 1909, nhà Toán học Đức đã chứng minh bài toán Waring đối
với mọi lũy thừa bậc k. Đặc biệt năm 1943, nhà Toán học Nga là
Yu.V.Linnick đã để lại chúc thư, trong đó có đưa ra cách chứng minh
bài toán Waring mà chỉ cần sử dụng đến kiến thức cơ bản của lý
thuyết số.
Trong khuôn khổ của luận văn này chỉ xét trường hợp khi k = 2.
Nghĩa là chỉ xét bài toán biểu diễn số tự nhiên n cho trước dưới dạng
tổng các bình phương của các số nguyên không âm.
Với mỗi số nguyên dương s, và số nguyên không âm n, ta kí hiệu
R s (n) là các bộ sắp thứ tự s số nguyên x 1 , x 2 , ., x s thỏa mãn :
n = x
2