Tiến Sĩ Ước lượng và tính xác suất thiệt hại trong một số mô hình bảo hiểm

MỞ ĐẦU
Trong những năm gần đây các công ty bảo hiểm được mở ra ở nhiều nơi nhằm mục đích chịu trách nhiệm và chia sẻ một phần trách nhiệm cho các chủ thể rủi ro, nhưng ngay chính hoạt động bảo hiểm cũng là một hoạt động đầu tư tài chính nên bản thân nó cũng chứa đựng sự rủi ro. Việc đánh giá mức độ rủi ro và thời điểm rủi ro là nhu cầu cấp thiết đòi hỏi cần được nghiên cứu và giải quyết để hạn chế tối thiểu thiệt hại có thể xảy ra. Lý thuyết rủi ro (Risk Theory, [13], [29], [30], [55]) đã được nghiên cứu rộng rãi trong thời gian gần đây, đặc biệt là những nghiên cứu về rủi ro trong bảo hiểm, tài chính. Một trong những vấn đề trọng tâm được nhiều nhà nghiên cứu quan tâm về lý thuyết này là bài toán ước lượng xác suất thiệt hại trong các mô hình bảo hiểm với thời gian liên tục và rời rạc. Trong công trình của Lundberg (1903), với luận án tiến sỹ nổi tiếng của ông ở Đại học Uppsala (Thủy điển), công trình này đã đưa đến việc sáng lập ra lý thuyết rủi ro trong bảo hiểm. Sau đó, Carmer, H. và trường phái Stockholm đã phát triển các ý tưởng của Lundberg và đóng góp vào việc hình thành và phát triển lý thuyết các quá trình ngẫu nhiên trong toán học. Với các kết quả đó Cramer đã đóng góp một cách đáng kể vào cả lý thuyết bảo hiểm, tài chính lẫn cả lý thuyết xác suất và thống kê toán học. Mô hình cơ bản đầu tiên trong số những đóng góp đó là mô hình Cramer – Lundberg.
Trong mô hình rủi ro cổ điển, bài toán thường được nghiên cứu với các giả thiết liên quan tới dãy biến ngẫu nhiên độc lập. Chẳng hạn, như trong kết quả Cramer – Lundberg về ước lượng xác suất thiệt hại với thời gian liên tục, dãy số tiền chi trả bảo hiểm, cũng như dãy thời gian giữa hai lần đòi trả liên tiếp, đều giả thiết là dãy biến ngẫu nhiên không âm, độc lập, cùng phân phối. Có nhiều công trình nghiên cứu của các nhà toán học có tên tuổi về vấn đề này như: Asmussen, S. [10], Buhlma, H. [13], Embrechts, P. [26], Kluppelberg, C. [36], Grandell, J. [30], Hipp, C. [32], Schmidli, H. [56], Musiela, M. [42], Nyrhinen, H. [44], Paulsel, J. [46], 7 Schmidt, K. D. [55], Các công trình trên đều cho ước lượng cận trên cho xác suất thiệt hại có dạng hàm mũ.
Bên cạnh đó một loạt công trình sử dụng phương pháp Martingale để chứng minh các công thức ước lượng xác suất thiệt hại cho mô hình rủi ro mở rộng có tác động của yếu tố lãi suất như: Cai, J .[14], [15], Cai J. and Dickson, D. C. M. [17], Gaier, J. [29], Kluppelberg, C. and Stadtmuller [36], Konstantinide, D.G. and Tang, Q. H. and Tsitsiashvili, G. S. [37], Sundt, B. and Teugels, J. L. [58], [59], Tang, Q. [60], [61], [62], Yang, H. [65], Yang, H. and Zhang, L. H. [66], [67] Tuy nhiên, thực tế các sản phẩm bảo hiểm và tái bảo hiểm cũng như đối tượng tham gia bảo hiểm ngày càng nhiều và càng phức tạp nên đòi hỏi các mô hình có cấu trúc phụ thuộc. Do đó, để phù hợp với thực tế hơn, một hướng nghiên cứu đã và đang được nhiều nhà toán học quan tâm, đó là các mô hình với dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc. Một loạt các công trình có giá trị của các nhà toán học, xét mô hình bảo hiểm với giả thiết dãy tiền thu bảo hiểm, dãy tiền chi trả bảo hiểm là dãy biến ngẫu nhiên độc lập, còn dãy lãi suất phụ thuộc theo nghĩa hồi quy hoặc xích Markov như Arbrecher, H. [7], Cai, J. [14], [15], Dickson, D. C. M. [16], [17], Gerber, H. U. [29], Muller, A. [41], Promisslow, S.D. [51], Valdez, E. A. [63], Xu, L. and Wang. R. [64], Yang, H. [65], Yang, H. and Zhang, L. H. [66],
Các công trình của Bùi Khởi Đàm và Nguyễn Huy Hoàng [1], [2], Nguyễn Huy Hoàng [3] đã xây dựng được các ước lượng cho xác suất thiệt hại của các mô hình rủi ro với giả thiết dãy tiền thu bảo hiểm, dãy tiền chi trả bảo hiểm, dãy lãi suất là dãy biến ngẫu nhiên m - phụ thuộc.
Bên cạnh các bài toán ước lượng xác suất thiệt hại thì bài toán tính chính xác xác suất thiệt hại đối với các mô hình bảo hiểm gắn liền với các tình huống thực tế hơn. Một số công trình đã tiếp cận theo hướng này với giả thiết dãy tiền chi trả bảo hiểm nhận giá trị nguyên dương như Caude Lefèvre [18], Rullière, D. and Loisel, St. [54], De Vylder, F. E [21], [22], De Vylder and Goovaerts, M. J. [23], [24], Ignatov, Z. G. and Kaishev, V. K. [34],[35], Pircard, Ph. and Lefèvre,Cl. [49]. Công trình của Hong, N.T.T. [33] đã xây dựng được công thức tính chính xác xác suất thiệt hại (không thiệt hại) cho mô hình bảo hiểm: với dãy tiền thu bảo hiểm là {Xi} , dãy tiền chi trả bảo hiểm {Yi} , thời gian t nhận giá trị nguyên dương.
Với những lý do trên, chúng tôi xác định đối tượng nghiên cứu của luận án là một số mô hình toán học ứng dụng trong bảo hiểm, cụ thể là mô hình bảo hiểm rời rạc có tác động của lãi suất. Luận án tập trung vào các bài toán: ước lượng xác suất thiệt hại trong mô hình bảo hiểm với dãy biến ngẫu nhiên là xích Markov thuần nhất, tính chính xác xác suất thiệt hại trong mô hình bảo hiểm tổng quát có tác động của lãi suất. Các kết quả chủ yếu của luận án đã được công bố trong các công trình [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7] (xem danh mục các công trình của tác giả luận án). Luận án đã thu được các kết quả mới sau đây:
a. Trong mô hình bảo hiểm tổng quát có tác động của lãi suất, chúng tôi sử dụng phương pháp đệ quy và phương pháp Martingale để xây dựng các bất đẳng thức ước lượng dưới dạng hàm mũ cho xác suất thiệt hại trong trường hợp: dãy tiền thu bảo hiểm và dãy tiền chi trả bảo hiểm là các xích Markov thuần nhất còn dãy lãi suất là dãy biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối. b. Đối với mô hình tổng quát có tác động của lãi suất, mở rộng kết quả của Hong, N.T.T. [33], luận án đã xây dựng được công thức tính chính xác xác suất thiệt hại (không thiệt hại) cho mô hình bảo hiểm tổng quát có tác động của lãi suất với giả thiết dãy tiền thu và dãy tiền chi trả bảo hiểm nhận giá trị dương trong tập hữu hạn, dãy lãi suất nhận giá trị không âm trong tập hữu hạn. Công thức tính chính xác xác suất thiệt hại được xây dựng trong các trường hợp: dãy biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối, dãy biến ngẫu nhiên độc lập không cùng phân phối, dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc Markov.
Qua việc hoàn thành luận án, chúng tôi cũng hy vọng được góp phần khiêm tốn vào việc nghiên cứu và phát triển lý thuyết các mô hình toán học ứng dụng trong tài chính và bảo hiểm.
Nội dung của luận án gồm 3 chương
Chương 1. Một số khái niệm và kết quả cơ bản
Trong chương này, chúng tôi sẽ giới thiệu một số nội dung cơ bản và các kết quả về bài toán thiệt hại trong bảo hiểm, tổng quan về xích Markov thuần nhất, quá trình Martingale.
Chương 2. Ước lượng xác suất thiệt hại trong mô hình bảo hiểm với dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc Markov
Trong chương này, chúng tôi đã sử dụng phương pháp đệ quy và phương pháp Martingale để xây dựng được các bất đẳng thức ước lượng dưới dạng hàm mũ cho xác suất thiệt hại đối với mô hình bảo hiểm tổng quát có tác động của lãi suất trong trường hợp: dãy tiền thu bảo hiểm và dãy tiền chi trả bảo hiểm là các xích Markov thuần nhất còn dãy lãi suất là dãy biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối.
Chương 3. Tính chính xác xác suất thiệt hại trong mô hình bảo hiểm
Trong chương này, chúng tôi mở rộng kết quả của Nguyễn Thị Thúy Hồng [33] cho mô hình bảo hiểm có tác động của lãi suất, luận án đã mở rộng công thức tính chính xác xác suất thiệt hại (không thiệt hại) cho mô hình bảo hiểm tổng quát có tác động của lãi suất với giả thiết dãy tiền thu và dãy tiền chi trả bảo hiểm nhận giá trị dương trong tập hữu hạn, dãy lãi suất nhận giá trị không âm trong tập hữu hạn. Các công thức tính chính xác xác suất thiệt hại được xây dựng trong các trường hợp: dãy biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối, dãy biến ngẫu nhiên độc lập không cùng phân phối, dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc Markov.
Các kết quả chủ yếu của luận án đã được báo cáo tại
- Semina “Ứng dụng toán học”, Viện Toán ứng dụng và Tin học, Đại học Bách khoa Hà nội.
- Hội thảo khoa học Khoa Cơ bản – Trường Đại học Ngoại thương (2010-2014).
- Semina của Phòng Xác suất và thống kê toán, Viện Toán học- Viện KH & CN Việt Nam 10
Các kết quả chủ yếu của luận án đã được đăng trong các công trình [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7] (xem danh mục các công trình của tác giả luận án).


MỤC LỤC
DANH MỤC CÁC BẢNG 3
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ VIẾT TẮT 3
LỜI CẢM ƠN 4
LỜI CAM ĐOAN 5
MỞ ĐẦU 6
CHƯƠNG 1. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VÀ KẾT QUẢ CƠ BẢN 11
1.1. Một số nội dung cơ bản về bài toán thiệt hại trong bảo hiểm 11
1.1.1. Bài toán thiệt hại của công ty bảo hiểm 11
1.1.2. Quá trình điểm 12
1.1.3. Phân loại bảo hiểm 14
1.2. Quá trình Markov 17
1.2.1. Định nghĩa 17
1.2.2. Xích Markov rời rạc và thuần nhất 19
1.3. Quá trình Martingale với thời gian rời rạc 22
1.3.1. Khái niệm tương thích và dự báo được 22
1.3.2. Thời điểm Markov và thời điểm dừng 23
1.3.3. Kỳ vọng có điều kiện 24
1.3.4. Martingale [6] 25
1.3.5. Định lý thời điểm dừng chọn đối với Martingale trên 25
KẾT LUẬN CHƯƠNG 1 27
CHƯƠNG 2. ƯỚC LƯỢNG XÁC SUẤT THIỆT HẠI TRONG MÔ HÌNH BẢO HIỂM VỚI DÃY BIẾN NGẪU NHIÊN PHỤ THUỘC MARKOV 28
2.1. Ước lượng xác suất thiệt hại trong mô hình bảo hiểm tổng quát có tác động của lãi suất bằng phương pháp đệ quy 29
2.1.1. Xét mô hình (2.1) với dãy tiền thu bảo hiểm, dãy tiền chi trả bảo hiểm là các xích Markov thuần nhất 29
2.1.2. Xét mô hình (2.2) với dãy tiền thu bảo hiểm, dãy tiền chi trả bảo hiểm là các xích Markov thuần nhất 42
2.1.3. Kết quả ước lượng số 55
2.2. Ước lượng xác suất thiệt hại trong mô hình bảo hiểm tổng quát có tác động của lãi suất bằng phương pháp Martingale 59
2.2.1. Xét mô hình (2.1) với dãy tiền thu bảo hiểm và dãy tiền chi trả bảo hiểm là các xích Markov thuần nhất 59
2.2.2. Xét mô hình (2.2) với dãy tiền thu bảo hiểm và dãy tiền chi trả bảo hiểm là các xích Markov thuần nhất 64
KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 70
CHƯƠNG 3. TÍNH CHÍNH XÁC XÁC SUẤT THIỆT HẠI TRONG MÔ HÌNH BẢO HIỂM 71
3.1. Tính chính xác xác suất thiệt hại trong mô hình bảo hiểm tổng quát với dãy biến ngẫu nhiên phụ thuộc Markov 72
3.2. Tính chính xác xác suất thiệt hại trong mô hình bảo hiểm tổng quát với dãy biến ngẫu nhiên độc lập không cùng phân phối 87
3.3. Tính chính xác xác suất thiệt hại trong mô hình bảo hiểm tổng quát với dãy biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối 90
3.4. Kết quả thực nghiệm số 93
KẾT LUẬN CHƯƠNG 3 95
KẾT LUẬN CHUNG 1012
PHỤ LỤC 103
DANH MỤC CÁC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ 105
TÀI LIỆU THAM KHẢO 106