Luận Văn ứng dụng tối ưu hóa toán học giải bài toán markowitz tối ưu hóa danh mục đầu tư chứng khoán

Mục lục
Lời mở đầu . 4
Chương 1. Một số kiến thức liên quan . 6
1.1.Bài toán quy hoạch tuyến tính gốc và đối ngẫu . 6
1.2.Phương pháp đơn hình giải bài toán QHTT . 8
Chương 2. Bài toán quy hoạch toàn phương . 13
2.1.Đặt vấn đề . 13
2.2.Bài toán quy hoạch toàn phương dạng chuẩn . 13
2.2.1. Điều kiện tối ưu Karush-Kuhn-Tucker (KT) . 14
2.3.Phương pháp điểm trong . 14
2.3.1. Hướng đi sử dụng phương pháp Newton-Raphson . 15
2.3.2. Tính toán chiều dài mỗi bước lặp . 15
2.3.3. Tiêu chuẩn hội tụ . 16
2.3.4. Thuật toán điểm trong . 16
2.4.Phương pháp gradient . 17
2.4.1. Ý tưởng . 17
2.4.2. Thuật toán gradient . 17
2.5.Phương pháp sử dụng các mở rộng của phương pháp đơn hình .
18
2.5.1. Phát biểu bài toán và điều kiện tối ưu . 18
2.5.2. Hướng giải quyết vấn đề . 19
Chương 3. Giải bài toán Markowitz - tối ưu hóa danh mục đầu tư . 21
3.1.Tổng quan về bài toán Markowitz . 21
3.1.1. Phát biểu bài toán Markowitz cơ bản và các tính chất . 23
3.1.2. Các khái niệm và thông số . 25
3.1.3. Thuộc tính của bài toán . 25
3.1.4. Một số kết quả nghiên cứu . 26
3.2.Phương pháp giải bài toán Markowitz gốc . 27
3.2.1. Mô hình cơ bản . 28
3.2.2. Điều kiện Kuhn-Tucker . 28
3.2.3. Trường hợp đặc biệt . 32
3.2.4. Tìm nghiệm cơ sở của bài toán . 33
3.2.5. Ví dụ minh họa thuật giải . 33
2




3.3.Thuật giải Markowitz tổng quát . 39
3.3.1. Mô hình bài toán tối ưu . 40
3.3.2. Điều kiện tối ưu . 42
3.3.3. Tìm nghiệm cơ sở của bài toán . 43
3.3.4. Ví dụ minh họa . 45
Phụ lục . 54
Kết luận . 59
Tài liệu tham khảo . 60
3




Lời mở đầu
Ngày nay, tối ưu hóa đã trở thành một lĩnh vực rất phát triển, góp phần quan
trọng trong việc ứng dụng khoa học công nghệ vào cuộc sống và sản xuất. Quy
hoạch toàn phương (QHTP) là một lĩnh vực của tối ưu hóa đã được phát triển
từ đầu của thế kỷ 20, đến nay toàn bộ lý thuyết toán học cho lĩnh vực này có
thể nói là đã rất hoàn thiện. Chúng ta có hai lý do chính để yêu thích QHTP.
Đầu tiên là về mặt thực tiễn, một mô hình rất quan trọng trong vấn đề tối ưu
hóa đầu tư tài chính yêu cầu giải bài toán quy hoạch toàn phương. Lý do thứ
hai cho sự yêu thích của chúng ta đó là dạng bài toán và cách giải QHTP là
cầu nối tới một lĩnh vực mang tính rộng lớn hơn rất nhiều đó là quy hoạch lồi.
Chúng ta sẽ đi vào vấn đề ứng dụng thực tiễn của QHTP, một vấn đề mà rất
nhiều người quan tâm, không chỉ các nhà toán học mà các nhà kinh tế cũng
đang nghiên cứu tỉ mỉ mô hình này.
Khóa luận tập trung làm rõ một số vấn đề sau: Trình bày bài toán quy hoạch
toàn phương tổng quát, các phương pháp chủ yếu để giải bài toán. Sau đó đi
vào bài toán Markowitz: tối ưu hóa danh mục đầu tư chứng khoán. Bài toán
Markowitz được trình bày dưới 2 dạng, dạng gốc và dạng tổng quát. Và cuối
cùng là các ví dụ cũng như kết quả tính toán bằng số để minh họa cho bài toán.
Bố cục của khóa luận bao gồm 3 chương và 1 phụ lục:
ã Chương 1 của khóa luận trình bày tóm tắt về bài toán quy hoạch tuyến
tính gốc và đối ngẫu, thuật toán đơn hình để giải bài toán quy hoạch tuyến
tính, các định lý và kết quả cơ bản liên quan đến khóa luận.
ã Chương 2 của khóa luận đi vào trình bày tổng quan về bài toán quy hoạch
toàn phương, một số phương pháp chủ yếu để giải bài toán như phương
pháp điểm trong, phương pháp gradient, phương pháp sử dụng những mở
rộng của phương pháp đơn hình.
ã Chương 3 trình bày các kiến thức về kinh tế liên quan, đặt bài toán
Markowitz, các điều kiện để bài toán tối ưu, sau đó đi vào trình bày
phương pháp giải bài toán Markowitz gốc với các ràng buộc dạng đẳng




thức và bài toán Markowitz tổng quát với số ràng buộc lớn hơn, có thêm
các ràng buộc dạng bất đẳng thức.
ã Phụ lục sử dụng bảng tính excel làm việc với bài toán trong thực tế.
Do thời gian thực hiện khóa luận không nhiều, kiến thức còn hạn chế nên
khi làm khóa luận không tránh khỏi những hạn chế và sai sót. Tác giả mong
nhận được sự góp ý và những ý kiến phản biện của quý thầy cô và bạn đọc.
Xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 19 tháng 05 năm 2010
Sinh viên
Trần Thị Như Hoa