Tài liệu Ứng dụng tam thức bậc hai và định lý Vi-ét vào bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

ĐỀ TÀI: Ứng dụng tam thức bậc hai và định lý Vi-ét vào bài toán tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

A. PhẦN MỞ ĐẦU

1. Lư do chọn đề tài
Bài toán giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất là bài toán hay gặp trong cỏc kỡ thi tốt nghiệp, phổ thông, đại học - cao đẳng và đặc biệt trong các kỳ thi học sinh giỏi, đây là bài toán tương đối khó v́ cơ sở lư thuyết ngắn nhưng lại đa dạng về kỹ thuật và thủ thuật làm toán. Nó đ̣i hỏi một thời gian lớn để thấu hiểu và giải được bài toán, nú cũn đ̣i hỏi sự nhạy cảm và khả năng tư duy cao. Đặc biệt để giải được bài toán t́m GTLN và GTNN thỡ cỏc kiến thức tổng hợp về đại số, giải tích, h́nh học . thường được sử dụng. Trong phạm vi nào đó, việc dự đoán GTLN và GTNN c̣n đ̣i hỏi kinh nghiệm , lẫn sự thông minh định ra con đường và phương tiện để chứng minh.
Khi giảng dạy phần này chúng tôi nhận thấy, đối tượng học sinh dù có học lực khá, ham thích học toán cũng ngại giải bài toán này. Sự phong phú và đa dạng của bài toán đă dẫn đến nhiều khó khăn trong việc t́m lời giải, có rất nhiều bài không biết bắt đầu từ đâu, vận dụng kiến thức ǵ trong chương tŕnh đă học, nhiều học sinh t́m lời giải một cách ṃ mẫm, thiếu định hướng.
Tôi quyết định chọn chuyờn đề: “Ứng dụng tam thức bậc hai và định lư Vi-ột vào bài toán t́m giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất”, với mong muốn góp một phần nhỏ bé - kinh nghiệm của ḿnh vào việc giảng dạy bài toán t́m giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất cho học sinh lớp 10 – Trung học phổ thông và tạo tiền đề cho học sinh lớp 10 tiếp tục tiếp cận bài toán trên trong cỏc kỡ thi.
2. Mục đích nghiên cứu
Thông qua chuyên đề này giúp học sinh hiểu sâu và nắm chắc hơn các phương pháp giải bài toán t́m GTLN và GTNN, hiểu sâu và nắm chắc phần kiến thức cơ bản quan trọng của chương tŕnh toán 10 phổ thông: Tam thức bậc hai – định lư Vi-ét.
Khi đưa thêm dạng bài tập có thể sử dụng các ứng dụng của tam thức bậc hai vào giờ bài tập cũng nhằm rốn luyện kỹ năng và năng lực vận dụng cho học sinh, tạo điều kiện cho học sinh vận dụng kiến thức một cách linh hoạt, sáng tạo, có khả năng khám phá khoa học, mở rộng kiến thức, biết áp dụng kiến thức một cách hiệu quả. Từ đú nghiên cứu t́m ṭi, sáng tạo nhằm nâng cao chất lượng dạy và học bộ môn toán, đồng thời đóng góp một phần trong việc giáo dục tư tưởng qua môn toán: đi t́m cái tốt nhất, rẻ nhất, ngắn nhất, dài nhất, , dần dần h́nh thành cho các em một thói quen đi t́m một giải pháp tối ưu cho một công việc nào đó trong cuộc sống sau này.
3. Đối tượng phạm vi nghiên cứu
Học sinh lớp 10 – Trường THPT Trần Hưng Đạo – Hà Đông – Hà Nội.
4. Thời gian thực hiện
Chủ yếu thực hiện trong thời gian làm bài tập tự chọn, chủ đề tự chọn nâng cao.
5. Các phương pháp nghiên cứu
Thông qua quá tŕnh giảng dạy và các bài giảng bồi dưỡng học sinh giỏi, các bài tập nơng cao, các bài kiểm tra trong các ḱ thi học sinh giỏi hàng năm để rút ra kinh nghiệm.
Phơn tích, nghiên cứu các tài liệu tham khảo có liên quan.







B. PHần nội dung
Chương 1
Cơ sở lư luận

Trong chương này chúng tôi nhắc lại một số khái niệm và kết quả mang tớnh cơ sở phục vụ cho chương sau.
I. Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số một biến
1. Định nghĩa:
* Cho hàm số f(x) xỏc định trên miền D. Ta nói rằng số M là giá trị lớn nhất của hàm số f(x) trên D, nếu như đồng thời thỏa măn hai điều kiện sau đây:
1, f(x) ≤ M, xD.
2, Tồn tại D, sao cho f(x[SUB]0[/SUB]) = M.
Khi ấy ta sẽ kư hiệu: M = f(x).
* Cho hàm số f(x) xỏc định trên miền D. Ta nói rằng số m được gọi là giá trị bé nhất của f(x) trên D, nếu như đồng thời thỏa măn hai điều kiện sau đây:
1, f(x) ≥ m, x D.
2, Tồn tại D, sao cho f(x[SUB]0[/SUB]) = M.
Khi ấy ta sẽ kư hiệu: m = f(x).
2. Nhận xét:
Để t́m giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số, người ta có thể sử dụng nhiều phương pháp. Trong chuyên đề này chúng tôi chủ yếu sử dụng hai phương pháp sau:
a) Phương pháp sử dụng chiều biến thiên của hàm số:
i, Bằng cách sử dụng các kiến thức đă biết, ta lập bảng biến thiên của hàm số trên miền D đă cho.
ii, Dựa vào bảng biến thiên và so sánh các giá trị đặc biệt để tỡm ra đáp số cho bài toán. ( Lưu ư: Khi sử dụng phương pháp này cần đặc biệt chú ư điều sau đơy: Nếu trong quá tŕnh giải, ta dựng phộp đổi biến (để cho bài toán đơn giản hơn), th́ trong bài toán mới tương đương, ta phải xác định lại miền xác định mới mà trên đó ta sẽ t́m GTLN và GTNN của hàm số đă được đơn giản hóa).
b) Phương pháp miền giá trị của hàm số:
Ta xét bài toán sau đơy: T́m GTLN và GTNN của hàm số f(x), với x. Gọi là một giá trị tuỳ ư của hàm số xét trên miền D đă cho, điều đó có nghĩa là hệ phương tŕnh sau (ẩn x) có nghiệm:
Tuỳ dạng của hệ (1), (2) mà ta có các điều kiện thích hợp. Trong nhiều trường hợp điều kiện ấy (sau khi biến đổi và thu gọn) đưa được về dạng: (3) và là một giá trị bất ḱ của f(x), nên từ (3) ta có:
Như vậy để tỡm GTLN và GTNN của một hàm số, nếu dùng phương pháp này, ta quy về việc tỡm điều kiện để một phương tŕnh (có thêm điều kiện phụ) có nghiệm.
II. Tam thức bậc hai
1. Định nghĩa:
.Tam thức bậc hai (đối với biến x ) là biểu thức dạng: f(x) = ax[SUP]2 [/SUP]+ bx + c
trong đó a, b, c là những số cho trước với a ≠ 0.
.Nghiệm của tam thức bậc hai f(x) cũng là nghiệm của phương tŕnh bậc hai f(x) = 0.
2. Định lư :
Cho tam thức bậc hai f(x) = ax[SUP]2 [/SUP]+ bx + c (a ≠ 0), ∆ = b[SUP]2[/SUP] – 4ac.
- Nếu ∆ < 0, th́ f(x) cùng dấu với hệ số a với x R.
- Nếu ∆ = 0, th́ f(x) cùng dấu với hệ số a với x
- Nếu ∆ > 0, th́ f(x) có hai nghiệm x[SUB]1 [/SUB]và x[SUB]2 [/SUB](x[SUB]1 [/SUB]< x[SUB]2[/SUB]), khi đó f(x) trái dấu với hệ số a với mọi x nằm trong khoảng (x[SUB]1[/SUB];x[SUB]2[/SUB]) (tức là với x[SUB]1 [/SUB]< x < x[SUB]2[/SUB]) và f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x nằm ngoài đoạn [x[SUB]1 [/SUB]; x[SUB]2[/SUB]] (tức là với x < x[SUB]1[/SUB]hoặc x > x[SUB]2[/SUB]).
* Chú ư:
Ta có thể dùng biệt thức thu gọn ∆’ = b’[SUP]2[/SUP] – ac, b = 2b’ thay cho ∆ và cũng được kết quả tương tự.
III. Định lư Vi-ột
1. Định lư Vi-ột thuận
Nếu phương tŕnh bậc hai ax[SUP]2 [/SUP]+ bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm thực x[SUB]1 [/SUB]và x[SUB]2[/SUB] th́:

2. Định lư Vi-ột đảo
Nếu có 2 số x và y mà th́ x, y là nghiệm của phương tŕnh bậc hai sau:
X[SUP]2 [/SUP]– SX + P = 0, (điều kiện để tồn tại hai số x, y là S[SUP]2[/SUP] – 4P ≥ 0).
3.Trường hợp đặc biệt
i) Nếu phương tŕnh bậc hai ax[SUP]2 [/SUP]+ bx + c = 0 (1), cú các hệ số a, b, c thỏa măn điều
kiện: a + b + c = 0, th́ phương tŕnh có hai nghiệm số là 1 và .
ii) Nếu phương tŕnh (1) cú cỏc hệ số a, b, c thỏa măn điều kiện: a - b + c = 0, th́ phương trỡnh có hai nghiệm số là -1 và .
iii)Nếu phương tŕnh (1) cú cỏc hệ số a, c trái dấu th́ phương tŕnh luụn cú hai nghiệm số thực phân biệt, một nghiệm âm, một nghiệm dương.

Chương 2
Ứng dụng của tam thức bậc hai và định lư vi-ột vào giải toán

Trong phần này, ta ứng dụng tính chất định tính và định h́nh của tam thức bậc hai để xác định giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số, biểu thức.
I. Phương pháp đưa về khảo sát tam thức bậc hai
Bài toán 1: Cho tam thức f(x) = ax[SUP]2 [/SUP]+ bx + c, (a ≠ 0) và tập DR.
Tỡm giá trị lớn nhất: M = f(x) và giá trị nhỏ nhất: m = f(x)
(T́m GTLN và GTNN của tam thức bậc hai trên tập cho trước).
Phương pháp:
+ Xét dấu của a để xác định dáng điệu của parabol (P): y = f(x).
+ Xét hoành độ đỉnh của (P): có thuộc D không?
+ Kết luận.
Các tập D cụ thể được xét như sau: < chú ư : >
1. D = [α ; ]
[TABLE=width: 619]
[TR]
[TD]a>0[/TD]
[TD]a<0[/TD]
[/TR]
[TR]
[TD]Trường hợp:








[/TD]
[TD]

[TABLE]
[TR]
[TD][TABLE=width: 100%]
[TR]
[TD][/TD]
[/TR]
[/TABLE]
[/TD]
[/TR]
[/TABLE]







[/TD]
[/TR]
[TR]
[TD]Trường hợp:





m = f()

[TABLE]
[TR]
[TD][TABLE=width: 100%]
[TR]
[TD][/TD]
[/TR]
[/TABLE]
[/TD]
[/TR]
[/TABLE]
M = f(α)[/TD]
[TD]





m = f(α)
M = f()


[/TD]
[/TR]
[TR]
[TD]Trường hợp:






m = f(α)

[TABLE]
[TR]
[TD][TABLE=width: 100%]
[TR]
[TD][/TD]
[/TR]
[/TABLE]
[/TD]
[/TR]
[/TABLE]
M = f()

[/TD]
[TD]





m = f()

[TABLE]
[TR]
[TD][TABLE=width: 100%]
[TR]
[TD][/TD]
[/TR]
[/TABLE]
[/TD]
[/TR]
[/TABLE]
M = f(α)[/TD]
[/TR]
[/TABLE]

2. D = ( -∞; α ] < Nếu D = [ α ; +∞) xét tương tự >.
[TABLE=width: 619]
[TR]
[TD]Trường hợp:






m = f(α)
Không có GTLN.[/TD]
[TD]
[TABLE=align: left]
[TR]
[TD][/TD]
[/TR]
[TR]
[TD][/TD]
[TD][/TD]
[/TR]
[/TABLE]







M = f(α)
Không có GTNN.[/TD]
[/TR]
[/TABLE]

3. D = ( - ∞; α ] [ ; + ∞ )
[TABLE=width: 619]
[TR]
[TD]a>0[/TD]
[TD]a<0[/TD]
[/TR]
[TR]
[TD]Trường hợp:


[TABLE=align: left]
[TR]
[TD][/TD]
[/TR]
[TR]
[TD][/TD]
[TD][/TD]
[/TR]
[/TABLE]









m = min{f(α); f()}
Không có GTLN.
[/TD]
[TD]

[TABLE=align: left]
[TR]
[TD][/TD]
[/TR]
[TR]
[TD][/TD]
[TD][/TD]
[/TR]
[/TABLE]









M = max{f(α); f()}
Không có GTNN.
[/TD]
[/TR]
[TR]
[TD]Trường hợp:







Không có GTLN.[/TD]
[TD]







Không có GTNN.[/TD]
[/TR]
[/TABLE]

*Một số gợi ư:
Ta khai triển, rút gọn đưa hàm số hoặc biểu thức về dạng một tam thức bậc hai:
f (x) = ax[SUP]2 [/SUP]+ bx + c, trong đó a, b, c phụ thuộc tham số, sau đó ta áp dụng bài toán 1.
*Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: T́m GTLN, GTNN của hàm số f(x) = , với -2


Hướng dẫn:
Đặt t = , khi đó ta có hàm số: g(t) = , 0.
Bài toán trở thành t́m GTLN, GTNN của hàm số: .
Hệ số a = 1> 0
Ta có:
Hoành độ đỉnh của parabol:
g(0) = 2; g(9) = 110 và g(t) đồng biến trên .
Kết luận:
, đạt được khi x = 0;
, đạt được khi x = 3.

Ví dụ 2: T́m GTLN, GTNN của hàm số f(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4).


Hướng dẫn:
Ta viết:
f(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) = (x - 1)(x - 4)(x - 2)(x - 3) =
Đặt : , t .
Bài toán trở thành t́m GTLN, GTNN của hàm số: .
Ta có: Hệ số a = 1> 0
Hoành độ đỉnh của parabol:
Kết luận:
đạt được khi ( Trong trường hợp này hàm số không có GTLN v́ khi t, th́ g(t).

Ví dụ 3: T́m GTNN của hàm số:



Hướng dẫn:
Tập xác định: D = (0 ; +∞).
Đặt