Thạc Sĩ Ứng dụng phương pháp điểm bất động trong sự tồn tại nghiệm của phương trình

Đề tài: Ứng dụng phương pháp điểm bất động trong sự tồn tại nghiệm của phương trình
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả và
số liệu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ
một công trình nào khác.
Tác giả luận án
Lê Thị Phương NgọcLỜI CÁM ƠN
Tôi vô cùng biết ơn PGS. TS. Lê Hoàn Hoá, Khoa Toán - Tin học, Trường Đại học
Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, Thầy đã giảng dạy, h逢噂ng d磯n và tận tình giúp đỡ tôi
về mọi mặt trong học tập và nghiên cứu khoa học. Thầy thật sự là Người Cha nghiêm
khắc của tôi trong việc chỉ bảo và rèn luyện cho tôi những đức tính cần có của người làm
khoa học.
Tôi biết ơn sâu sắc TS. Nguyễn Thành Long, Khoa Toán - Tin học, Trường Đại
học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Tp. HCM, về sự giúp đỡ tận tình và sự chỉ bảo vô cùng
quý báu cũng như rất nghiêm khắc của Thầy cho tôi trong nghiên cứu khoa học. Thầy đã
cho tôi cơ hội để tham gia đề tài nghiên cứu Khoa học Cơ bản và sinh hoạt học thuật theo
các hướng nghiên cứu mà Thầy đang chủ trì, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành tốt
luận án.
Tôi xin phép bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các Nhà Khoa học là các thành viên
trong các Hội đồng chấm luận án tiến sĩ cấp Bộ môn và cấp Nhà nước, là các chuyên gia
Phản biện độc lập và chính thức của luận án, đã cho tôi những nhận xét, đánh giá và bình
luận quý báu cùng với những chỉ bảo, đề nghị quan trọng tạo điều kiện để tôi hoàn thành
luận án một cách tốt nhất.
Tôi kính gửi đến Quý Thầy Cô trong và ngoài Trường Đại học Sư phạm Thành phố
Hồ Chí Minh đồng kính gửi đến Ban Tổ chức các hội nghị khoa học về Toán học lời cám
ơn trân trọng, trong suốt thời gian qua, tôi luôn nhận được sự giúp đỡ của Quý Thầy Cô
trong học tập, trong nghiên cứu cũng như cho tôi điều kiện thuận lợi để tìm kiếm tài liệu
và tham dự các hội nghị khoa học.
Tôi kính gửi đến Ban Giám hiệu, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán - Tin học, Bộ môn
Toán Giải tích và Phòng Khoa học Công nghệ - Sau Đại học của Trường Đại học Sư phạm
Thành phố Hồ Chí Minh, đã giúp đỡ tôi rất nhiều trong quá trình học tập và bảo vệ luận
án, những lời cám ơn chân thành và trân trọng.
Tôi chân thành và trân trọng cám ơn Quý Thầy Cô và các chuyên viên ở Vụ Đại
học và Sau Đại học của Bộ Giáo dục và Đào tạo đã tận tình giúp đỡ tôi hoàn tất các thủ
tục quan trọng trong quá trình bảo vệ luận án.
Tôi kính gửi đến Ban Giám hiệu, Ban Chấp hành Công Đoàn Trường, Ban Chủ
nhiệm Khoa Tự nhiên và các Phòng Ban khác của Trường Cao đẳng Sư phạm Nha Trang,
nơi tôi giảng dạy, đã tạo nhiều điều kiện thuận lợi về vật chất cũng như tinh thần để tôi
hoàn thành tốt các nhiệm vụ của nghiên cứu sinh, những lời cám ơn sâu sắc và trân trọng.
Tôi thành thật cám ơn các Anh Chị đồng nghiệp và các Người thân của tôi đã giúp
đỡ tôi về mọi mặt. Gia đình tôi cũng là nguồn động viên to lớn của tôi.
Tôi thật sự kính trọng và biết ơn sâu sắc tất cả những Người đã chỉ bảo, quan tâm,
động viên và giúp đỡ tôi về mọi mặt.
Nghiên cứu sinh
Lê Thị Phương Ngọc
BẢNG CÁC KÝ HIỆU ĐÃ SỬ DỤNG
N Tập hợp các số tự nhiên.
N
∗
Tập hợp các số tự nhiên khác 0.
R Tập hợp các số thực.
R+ Tập hợp các số thực khơng âm.
R
n Khơng gian Euclide thực n-chiều.
∂Ω Biên của Ω.
Ω Bao đĩng của Ω.
coM Bao lồi của M.
A × B Tích Đềcác của hai tập hợp A và B.
(X, |.|n) Khơng gian vectơ X với họ nửa chuẩn đếm được |.|n.
(X, d) Khơng gian metric X với metric d.
(E, |.|) Khơng gian Banach E với chuẩn |.|.
k · kX Chuẩn trên khơng gian Banach X.
X′ Khơng gian đối ngẫu của X.
C[a, b] Khơng gian các hàm số thực liên tục trên đoạn [a, b].
C
1
[a, b] Khơng gian các hàm số thực khả vi liên tục trên đoạn [a, b].
C
0
(Ω) ≡ C(Ω) Khơng gian gồm các hàm số u : Ω → R liên tục trên Ω,
Ω là tập mở trong R
n
.
C
m
(Ω) Khơng gian các hàm số u ∈ C
0
(Ω) sao cho Dα
u ∈ C
0
(Ω),
với mọi đa chỉ số α, |α| ≤ m.
C
m
(Ω) Khơng gian các hàm số u ∈ C
m
(Ω) sao cho Dα
u bị chặn
và liên tục đều trên Ω, với mọi đa chỉ số α, |α| ≤ m.
C([a, b]; E) Khơng gian các hàm liên tục u : [a, b] → E.
C(R+; E) Khơng gian các hàm liên tục u : R+ → E.
f : X → Y, f|A Ánh xạ thu hẹp của ánh xạ f trên tập A ⊂ X.
L
1
[a, b] Khơng gian các hàm số thực x(t) sao cho
|x(t)| khả tích Lebesgue trên [a, b].
L
p
(0, T; X), 1 ≤ p ≤ ∞ Khơng gian các hàm đo được u : (0, T) → X sao cho
kukLp
(0,T;X) =
R
T
0
ku(t)k
p
Xdt
1/p
< ∞ với 1 ≤ p < ∞,
kukL∞(0,T;X) = ess sup0<t<T ku(t)kX với p = ∞.
u
′′ + f(t, ut
, u
′
(t)) = 0 Phương trình vi phân hàm cấp hai được xét trong chương 2,
u là ẩn hàm theo t, ut
là hàm cĩ đối số chậm,
u
′
, u
′′
lần lượt chỉ đạo hàm cấp 1, đạo hàm cấp 2 của u theo t.
u(t) ≡ u(r, t) Hàm theo hai biến r, t xét trong chương 3,
u
′
(t) = ut(t) = ˙u(t)
∂u
∂t
(r, t),
u
′′
(t) = utt(t) = ¨u(t)
∂
2
u
∂t
2 (r, t),
ur(t) = ∇u(t)
∂u
∂r
(r, t),
urr(t)
∂
2
u
∂r
2 (r, t).
Kết thúc chứng minh.
⋆ Kết luận của chương.1
MỞ ĐẦU
Lý thuyết điểm bất động là một trong những lý thuyết quan trọng của
Giải tích, với rất nhiều thành tựu mà nổi bật là các nguyên lý điểm bất động
Brouwer (1912), Banach (1922) và Schauder (1930).
Nguyên lý điểm bất động Brouwer được Brouwer chứng minh dựa trên lý
thuyết bậc tơpơ của ánh xạ liên tục trong khơng gian hữu hạn chiều. Đây
cũng là một định lý được xem là thành tựu sớm nhất của tơpơ đại số và làm
nền mĩng cho các hướng nghiên cứu tiếp theo của nhiều nhà Tốn học, dẫn
đến các kết quả cơ bản khác. Định lý điểm bất động Schauder chính là một
mở rộng của nguyên lý điểm bất động Brouwer cho khơng gian vơ hạn chiều
(áp dụng cho khơng gian Banach). Một mở rộng khác là định lý Tychonoff
(1935, áp dụng cho khơng gian vectơ tơpơ lồi địa phương),v.v. Định lý điểm
bất động Brouwer cịn được mở rộng cho ánh xạ đa trị bởi các nhà Tốn
học như Kakutani (1941), Bohnenblust và Karlin (1950), Ky Fan (1960/61).
Năm 1929, ba nhà Tốn học Knaster, Kuratowski và Mazurkiewicz đã chứng
minh một kết quả quan trọng, Bổ đề KKM, đem đến một cách chứng minh
đơn giản nguyên lý điểm bất động Brouwer và đặc biệt hơn nữa, bổ đề KKM
và nguyên lý điểm bất động Brouwer là hai kết quả tương đương nhau. Từ
sự xuất hiện của bổ đề KKM, cùng những kết quả sâu sắc trong các cơng
trình nghiên cứu của Ky Fan làm nền tảng, lý thuyết KKM hình thành, phát
triển và được sử dụng rộng rãi như một cơng cụ hữu ích cho lý thuyết điểm
bất động của ánh xạ đa trị, lý thuyết biến phân, tốn kinh tế, v.v.
Với việc chỉ ra tồn tại duy nhất điểm bất động của ánh xạ co trong khơng
gian mêtric đầy đủ và thiết lập được một dãy lặp hội tụ về điểm bất động
đĩ, nguyên lý điểm bất động Banach cùng các hệ quả và các mở rộng của nĩ
đã được vận dụng rất phổ biến và thành cơng trong chứng minh tồn tại duy
nhất nghiệm và tính xấp xỉ nghiệm của các bài tốn thuộc nhiều lĩnh vực
của giải tích.
Trên cơ sở nghiên cứu ứng dụng của các định lý điểm bất động và tìm cách
mở rộng chúng để giải các bài tốn trong các lớp khơng gian khác nhau, lý
thuyết điểm bất động được phát triển khơng ngừng thành một lý thuyết đa
dạng, phong phú bao gồm nhiều định lý điểm bất động của các ánh xạ như
ánh xạ co, nén, ánh xạ khơng giãn, ánh xạ tăng, v.v., cùng nhiều mở rộng2
của các nguyên lý điểm bất động cho ánh xạ đa trị, trong mối liên hệ chặt
chẽ với nguyên lý biến phân Ekland, nguyên lý min-max, lý thuyết KKM, lý
thuyết bậc tơpơ, v.v., tổng quan về các vấn đề này cĩ thể tìm thấy trong các
tài liệu như [12, 17, 18, 44] và trong nhiều cơng trình nghiên cứu của các nhà
Tốn học mà tiêu biểu là S. Park [48, 50, 54], S. Park, Đ. H. Tân [51, 52], S.
Park , B.G. Kang [49], L.A.Dung, Đ. H. Tân [15].
Chính từ sự phát triển đĩ, cùng với các tác động tích cực của các lý thuyết
khác, mà lý thuyết điểm bất động luơn được xem là cơng cụ quan trọng trong
việc nghiên cứu định lượng và định tính nhiều lớp phương trình xuất phát từ
vật lý học, hố học, sinh học, cơ học. Việc ứng dụng lý thuyết điểm bất động
để chứng minh tồn tại nghiệm của các phương trình vi phân và tích phân
được mở đầu bằng những kết quả nổi tiếng của Picard và Peano vào cuối thế
kỷ 19, trong đĩ xét bài tốn Cauchy cho phương trình vi phân với vế phải
thoả mãn điều kiện Lipschitz (định lý Picard) hoặc điều kiện liên tục (định
lý Peano). Ứng với hai bài tốn này, hai định lý điểm bất động của Banach
và Schauder thật sự là cơng cụ hữu hiệu.
Nguyên lý ánh xạ co của Banach: [17]
Cho (M, ρ) là khơng gian metric đầy đủ và T : M → M là ánh xạ co,
nghĩa là: Tồn tại k ∈ [0, 1) sao cho ρ(T x, T y) ≤ kρ(x, y), ∀x, y ∈ M. Khi đĩ
T cĩ duy nhất một điểm bất động x∗ ∈ M. Hơn nữa với mỗi x0 ∈ M cho
trước, dãy lặp {T
n
x0} hội tụ về x∗.
Định lý Schauder: [25]
Cho K là tập con khác rỗng, lồi, đĩng của khơng gian Banach E và T :
K → K là ánh xạ liên tục sao cho bao đĩng T(K) của T(K) là tập compact.
Khi đĩ T cĩ ít nhất một điểm bất động.
Kết hợp hai định lý đĩ, Krasnosel’skii đã chứng minh được:
Định lý Krasnosel’skii: [61]
Cho M là tập con khác rỗng, lồi, đĩng và bị chặn của khơng gian Banach X.
Giả sử U : M → X là ánh xạ co và C : M → X là tốn tử compact, nghĩa là:
C liên tục và C(M) chứa trong một tập compact, sao cho U(x) + C(y) ∈ M,
∀x, y ∈ M. Khi đĩ U + C cĩ điểm bất động.
Sau khi xuất hiện định lý Krasnosel’skii, người ta đã xét đến sự tồn tại
nghiệm của các phương trình tích phân chứa tổng hai số hạng với các hàm
dưới dấu tích phân tương ứng thoả điều kiện Lipschitz và điều kiện liên
tục, mở ra nhiều cơng trình nghiên cứu về các định lý điểm bất động kiểu3
Krasnosel’skii và ứng dụng, chẳng hạn như [3, 4, 7, 8, 13, 21, 53].
Áp dụng định lý Schauder, lý thuyết bậc và lý thuyết dựa trên các ánh
xạ cốt yếu - "Topological Transversality", Leray và Schauder đã chứng minh
các định lý điểm bất động kiểu Leray-Schauder, trong đĩ nguyên lý về sự loại
trừ phi tuyến cho ánh xạ compact "Nonlinear alternative" là cơng cụ quan
trọng để thiết lập các nguyên lý tồn tại nghiệm của một số bài tốn giá trị
biên [46].
Các ứng dụng cụ thể khác của các định lý điểm bất động trong việc nghiên
cứu tính giải được của các lớp phương trình như phương trình vi phân, tích
phân, đạo hàm riêng đã được trình bày trong nhiều tài liệu, chẳng hạn như
[12, 17, 18, 25, 46, 61], trong các cơng trình khoa học cơng bố trên nhiều tạp
chí của rất nhiều tác giả, như: Abdou [1], Avramescu [3, 4], Burton [7, 8],
Henriquez [20], Liu, Naito, N.V. Minh [28], Pavlakos, Stratis [55], Raffoul [13],
cịn cĩ thể tìm thấy nhiều cơng trình khác đăng trên các tạp chí Tốn học
trong và ngồi nước đã sử dụng phương pháp điểm bất động để chứng minh
tồn tại nghiệm. Để dễ truy cập, chúng tơi xin nêu các bài số 06/2000, 24/2001,
71/2002, 04/2003, 22/2004, 79/2005, hay 3, 8, 13, 19, 21, 22, 24, 34, 36, 57
thuộc Vol. 2006, v.v., trong "Electronic J. Differential Equations" làm ví dụ,
ở đĩ các định lý ánh xạ co, định lý Schauder, định lý Krasnosel’skii trên một
nĩn, định lý Darbo, v.v., được áp dụng. Ngồi ra, cịn cĩ các tạp chí chuyên
về lĩnh vực này mới được xuất bản gần đây, chẳng hạn như "Fixed Point
Theory and Applications" năm 2004 của nhà xuất bản Hindawi, "Journal of
Fixed Point Theory and Applications" năm 2007 của nhà xuất bản Springer.
Chính vì vậy, đề tài luận án của chúng tơi nghiên cứu là cần thiết và cĩ ý
nghĩa về mặt lý thuyết và áp dụng.
Trong luận án này, chúng tơi áp dụng phương pháp điểm bất động kết
hợp với lý luận về tính compact thơng dụng để khảo sát sự tồn tại nghiệm
và các vấn đề liên quan đến nghiệm cho ba bài tốn thuộc lý thuyết phương
trình tích phân, vi phân và đạo hàm riêng sau đây:
- Phương trình tích phân phi tuyến dạng Volterra;
- Bài tốn giá trị biên và giá trị đầu cho phương trình vi phân hàm cấp
hai cĩ đối số chậm;
- Bài tốn hỗn hợp cho phương trình sĩng phi tuyến chứa tốn tử Kirchhoff
trên màng trịn đơn vị.
Sau đây là phần giới thiệu tổng quát về ba bài tốn nĩi trên.4
1. Bài tốn thứ nhất đề cập đến phương trình tích phân phi tuyến dạng
Volterra:
x(t) = q(t) + f(t, x(t)) +
Z t
0
V (t, s, x(s))ds
+
Z t
0
G(t, s, x(s))ds, t ∈ R+,
(0.0.1)
ở đây E là khơng gian Banach với chuẩn |.|, R+ = [0,∞), q : R+ → E;
f : R+ × E → E; G, V : ∆ × E → E được giả sử là các hàm liên tục và
∆ = {(t, s) ∈ R+ × R+, s ≤ t}.
Trường hợp E = R
d
và hàm V (t, s, x) tuyến tính theo biến thứ ba, phương
trình (0.0.1) đã được nghiên cứu bởi Avramescu và Vladimirescu [4]. Các tác
giả đã áp dụng một định lý điểm bất động kiểu Krasnosel’skii trong [3, Định
lý K”’] để chứng minh sự tồn tại nghiệm ổn định tiệm cận của phương trình
tích phân:
x(t) = q(t) + f(t, x(t)) +
Z t
0
V (t, s)x(s)ds
+
Z t
0
G(t, s, x(s))ds , t ∈ R+,
(0.0.2)
q : R+ → R
d
; f : R+ × R
d → R
d
; V : ∆ → Md(R), G : ∆ × R
d → R
d
được giả
sử là liên tục, ∆ = {(t, s) ∈ R+ × R+, s ≤ t} và Md(R) là tập hợp các ma
trận thực cấp d × d.
Trường hợp (0.0.1) cĩ f = 0 và V (t, s, x(s)) = V (s, x(s)), sự tồn tại nghiệm
của phương trình đã được nghiên cứu bởi Hĩa và Schmitt [21], cũng bằng
cách sử dụng một định lý điểm bất động kiểu Krasnosel’skii.
Phương trình (0.0.1) cĩ tính tổng quát hơn cho lớp phương trình tích phân
phi tuyến dạng Volterra được xét trong [4, 21]. Để thu được sự tồn tại nghiệm
và tồn tại nghiệm ổn định tiệm cận, chúng tơi đã chứng minh một định lý
kiểu Krasnosel’skii làm cơng cụ kết hợp với việc sử dụng định lý Banach
trong khơng gian Fréchet và giải các bất phương trình tích phân Volterra
phi tuyến. Kết quả này chứa các kết quả tương ứng trong [4, 21] như các
trường hợp riêng và đã được cơng bố trong [N4]. Một ví dụ minh hoạ về sự
tồn tại nghiệm và tồn tại nghiệm ổn định tiệm cận của (0.0.1) trong khơng
gian Banach E = C[0, 1], trong đĩ f = 0 6 , V (t, s, x) khơng tuyến tính theo
biến thứ ba, cho thấy kết quả đạt được mạnh hơn kết quả trước đĩ.5
Ngồi ra, áp dụng định lý Krasnosel’skii - Perov về tính compact và liên
thơng của tập các điểm bất động, chúng tơi nghiên cứu tính compact và liên
thơng của tập nghiệm hay cịn gọi là tính chất Hukuhara-Kneser. Kiểu cấu
trúc này của tập nghiệm cũng được nghiên cứu trong [5, 11, 43, 58, 59] dựa
trên định lý Aronszajn hoặc định lý về tính compact và liên thơng của tập
các điểm bất động được nêu bởi Deimling, [12, tr. 212].
Kết quả thu được ở đây chứa đựng một kết quả đã cơng bố trong [N3] như
một trường hợp riêng, ứng với q = 0, f = 0, V (t, s, x(s)) = V (s, x(s)), và đã
gửi cơng bố trong [N8].
Nhờ tính chất của tập liên thơng trong khơng gian Banach ([25, tr.316]),
tính liên thơng của tập nghiệm của (0.0.1) cĩ một ý nghĩa quan trọng. Đĩ là,
nếu (0.0.1) cĩ hai nghiệm phân biệt thì sẽ cĩ một lực lượng continuum các
nghiệm khác nhau. Về điều này, một ví dụ minh hoạ được trình bày, trong
đĩ nêu ra được 3 nghiệm phân biệt.
Mặt khác, sự mở rộng của bài tốn đang xét cũng được nghiên cứu. Chúng
tơi chứng tỏ sự tồn tại nghiệm của phương trình:
x(t) = q(t) + f(t, x(t), x(π(t))) +
Z t
0
V (t, s, x(s), x(σ(s)))ds
+
Z t
0
G(t, s, x(s), x(χ(s)))ds , t ∈ R+
(0.0.3)
và với π(t) = t, hay nĩi cách khác f(t, x(t), x(π(t))) = f(t, x(t)) sự tồn tại
nghiệm ổn định tiệm cận, đồng thời tính compact, liên thơng của tập nghiệm
của (0.0.3) cũng được chỉ ra. Kết quả này đã trình bày trong [N4, N8].
2. Bài tốn thứ hai đề cập đến phương trình vi phân hàm cấp hai cĩ chậm:
u
′′
+ f(t, ut
, u
′
(t)) = 0, 0 ≤ t ≤ 1, (0.0.4)
ở đây f : [0, 1] × C × R → R là hàm liên tục, với một trong những điều kiện
biên
u0 = φ, u(1) = u(η), (0.0.5)
u0 = φ, u(1) = α[u
′
(η) ư u
′
(0)], (0.0.6)
hoặc với điều kiện đầu
u0 = φ, u
′
(0) = 0, (0.0.7)
trong đĩ φ ∈ C = C([ưr, 0]; R), 0 < η < 1, α ∈ R.
Bài tốn giá trị biên cho phương trình vi phân thường hoặc phương trình6
vi phân hàm đã được nhiều tác giả nghiên cứu bằng các phương pháp khác
nhau trong đĩ cĩ sử dụng phương pháp điểm bất động, chúng tơi xin giới
thiệu các tác giả của [19, 39, 45, 46, 57, 62] và các tài liệu tham khảo nêu ra
ở đĩ.
Trong [45], Ntouyas chứng minh sự tồn tại nghiệm cho phương trình vi
phân hàm
d
dt
[x
′
(t) ư g(t, xt)] = f(t, xt
, x
′
(t)), 0 ≤ t ≤ 1,
x0 = φ, x(1) = η,
ở đây f : [0, 1] × C × R
n → R
n
, g : [0, 1] × C → R
n
là các hàm liên tục,
φ ∈ C, η ∈ R
n
.
Trong [62], sự tồn tại nghiệm, sự duy nhất nghiệm và sự phụ thuộc liên
tục của nghiệm vào một tham số thực α của bài tốn sau đây đã được Bo
Zhang thiết lập

Λ(t)x
′
(t))
′
= f(t, xt
, x
′
(t)), 0 ≤ t ≤ T,
x0 = φ, Ax(T) + Bx
′
(T) = v,
trong đĩ Λ(t) là một ma trận thực cấp n × n phụ thuộc liên tục theo t trên
[0, T], A và B là các ma trận hằng cấp n×n, v ∈ R
n
, φ ∈ C = C

[ưr, 0]; R
n
.
Và gần đây, Ma [39] và Yong-Pin Sun [57] đã nghiên cứu bài tốn giá trị
biên
u
′′
+ f(t, u) = 0, 0 < t < 1,
ở đây f : [0, 1] × R → R là hàm liên tục, liên kết với một trong những điều
kiện biên
u(0) = 0, u(1) = αu(η),
hoặc
u
′
(0) = 0, u(1) = αu
′
(η).
Các bài tốn cho phương trình vi phân hàm cấp hai cĩ chậm: (0.0.4)-
(0.0.5), (0.0.4)- (0.0.6) là các bài tốn ba điểm biên ở một dạng khác, cĩ thể
xem đĩ là một mở rộng của [39, 57] - f chứa thêm thành phần cĩ chậm, trên
cơ sở dạng bài tốn cĩ chậm được nêu trong [45, 62].
Ở các bài báo [45, 62], các tác giả đã nghiên cứu bài tốn cĩ chậm với vế
trái tổng quát hơn và với điều kiện biên dạng khác. So với [45]- chỉ xét vấn