Thạc Sĩ Ứng dụng lý thuyết phương trình không gian Banach có thứ tự vào số lớp phương trình vi phân

Đề tài: Ứng dụng lý thuyết phương trình không gian Banach có thứ tự vào số lớp phương trình vi phân
LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, các số liệu, các
kết quả của luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ
một công trình nào khác.
Tác giả luận án. LỜI CÁM ƠN

 Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến Thầy hướng dẫn,
PGS. TS NGUYỄN BÍCH HUY, đã tận tình hướng dẫn, động viên và dìu dắt tôi
trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và thực hiện luận án.
 Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc Thầy đồng hướng dẫn,
PSG. TS LÊ HOÀN HÓA đã tận tình giúp đỡ động viên tôi trong suốt quá trình
học tập, nghiên cứu và thực hiện luận án.
 Tôi xin chân thành cám ơn các thầy giới thiệu luận án, đã đọc và cho ý kiến
nhận xét sâu sắc.
 Tôi xin chân thành cám ơn Ban Giám Hiệu, Khoa Toán, Phòng Khoa Học
Công nghệ và Sau Đại Học trường Đại Học Sư Phạm thành phố Hồ Chí Minh, đã
tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và
thực hiện luận án.
Tác giả luận án MỞ ĐẦU
1. Trong luận án này chúng tôi sẽ áp dụng một số kết quả của lý thuyết phương
trình toán tử trong không gian Banach có thứ tự, để nghiên cứu cấu trúc nghiệm của một số
lớp phương trình và bất phương trình vi phân.
Lý thuyết phương trình toán tử trong không gian Banach có thứ tự được hình thành
trong công trình mở đầu [22] của M. Krein và A. Rutman vào những năm 1940 và được
phát triển rực rỡ vào thời kỳ 1950-1980 trong các công trình của M. A. Krasnoselskii và các
học trò của ông [19,20,21], của H. Schaffer, H. Amann, N. E. Dancer, R. Nussbaum, (xem
[3,11,33] và các tài liệu tham khảo trong đó). Các kết quả trừu tượng của lý thuyết này tìm
được những ứng dụng rộng rãi trong việc nghiên cứu định tính và định lượng nhiều lớp
phương trình và bất phương trình vi phân xuất phát từ cơ học, vật lý, hóa học, y-sinh học,
vì những ưu điểm sau:
Chúng cho phép chứng minh sự tồn tại nghiệm với các tính chất đặc biệt như tính
dương, tính lồi, là những tính chất cần có của nghiệm các phương trình xuất phát từ những
mô hình thực tế.
Chúng cho phép chứng minh sự tồn tại nghiệm của những phương trình chứa các hàm
gián đoạn là những phương trình thường gặp trong thực tế.
Đến nay, việc xây dựng lý thuyết phương trình toán tử trong không gian Banach có thứ
tự về cơ bản đã hoàn thành và sự chú ý được tập trung vào việc tìm những ứng dụng của lý
thuyết vào các lớp bài toán mới. Chính từ việc nghiên cứu các lớp phương trình mới mà gần
đây cũng đã nhận được một số kết quả trừu tượng mới [8,9,26,28].
Luận án gồm phần mở đầu, kết luận và hai chương. Trong chương 1 chúng tôi nghiên
cứu cấu trúc tập nghiệm của một số lớp phương trình vi phân thường chứa tham số. Trong chương 2 chúng tôi chứng minh sự tồn tại nghiệm cực trị (nghĩa là nghiệm lớn nhất, nhỏ
nhất) cho hai bài toán dạng biến phân.
2. Các bài toán được khảo sát ở chương 1 có dạng tổng quát sau:
Cho X là không gian Banach thực và P  X là một nón, I  (0,) hoặc
I  0,, F :I  P  P là ánh xạ hoàn toàn liên tục. Xét bài toán tìm cặp (,x)I  P \ 
thỏa mãn phương trình:
x  F(, x). (0.1)
Thông thường, nghiệm của (0.1) không tồn tại đơn lẻ, rời rạc và ta quan tâm nhiều về
vấn đề, liệu tập nghiệm:
 (,x)I  P \ : x  F(,x)
có chứa một tập con liên thông hay không và tập các giá trị  để (0.1) có nghiệm, có
lấp đầy một khoảng hay không. Các tác giả H. Amann, E. N. Dancer, R. Nussbaum, Nguyễn
Bích Huy, đã nhận được các kết quả về sự phân nhánh toàn cục của tập nghiệm  của
phương trình (0.1) trong không gian có thứ tự, tương tự định lý Rabinowitz. Tuy nhiên, việc
nghiên cứu tập nghiệm  chỉ thuận lợi khi ánh xạ F khả vi Frechet tại
 hoặc  .
Trong luận án chúng tôi sẽ khảo sát các phương trình với ánh xạ không khả vi tại 
hoặc  . Do đó, để nghiên cứu cấu trúc nghiệm của (0.1) chúng tôi áp dụng phương pháp
của Krasnoselskii khảo sát riêng rẽ cấu trúc của tập:
S  xP \  I,x) 
(tập hình chiếu của  lên X ) và sau đó tập các giá trị I để (0.1) có nghiệm. Ta
có định nghĩa sau của Krasnoselskii [20].
Định nghĩa
Ta nói tập S là nhánh liên tục, không bị chặn xuất phát từ  nếu với mọi tập mở, bị
chặn G   thì S  G  . Khi tập nghiệm S là nhánh liên tục, không bị chặn, Krasnoselskii đã chứng minh một
định lý bảo đảm tập các giá trị  để (0.1) có nghiệm, lấp đầy một khoảng. Tuy nhiên theo
chúng tôi, các giả thiết mà Krasnoselskii đưa ra chưa đủ và trong chứng minh của ông còn
một khoảng trống. Trong §1 của chương 1 chúng tôi đưa ra và chứng minh một chỉnh lý kết
quả trên của Krasnoselskii (định lý 1.1.8). Cũng trong §1 này chúng tôi cũng chứng minh
một số kết quả về hàm lõm và nêu một số kết quả đã có về đánh giá bán kính phổ của các
toán tử tuyến tính u0-bị chặn. Các kết quả này được sử dụng nhiều lần ở các mục sau.
Ở §2 của chương 1 chúng tôi nghiên cứu bài toán biên giá trị riêng sau:
)0(x )1(x ,0
x )x(f)t(a ,0 0 t ,1
//
 
    
(0.2)
trong đó a :0,1|R+ , f: |R+  |R+ là các hàm liên tục, không đồng nhất bằng 0 trên
mọi khoảng và tồn tại các giới hạn:
0
x 0
f
x
f(x)
Lim 

, 

 f
x
f(x)
Lim
x
.
Bài toán (0.2) xuất phát từ nhiều lĩnh vực của khoa học tự nhiên (xem
[17] và tài liệu tham khảo ở đó). Nếu

f , f
0
là các số hữu hạn, khác 0 thì các toán tử tích
phân tương ứng với bài toán biên (0.2) có đạo hàm tại  hoặc  . Trong luận án chúng tôi
cho phép

f , f
0
có thể bằng 0 hoặc  . Khi nghiên cứu bài toán (0.2) trong [17], các tác
giả J. Henderson và H. Wang không khảo sát cấu trúc của tập nghiệm S hoặc  và
dùng một định lý Krasnoselskii về điểm bất động trong nón để chứng minh tồn tại một
khoảng các giá trị  để bài toán (0.2) có nghiệm dương. Chúng tôi dùng phương pháp khác
để nghiên cứu (0.2). Đầu tiên chúng tôi dùng lý thuyết bậc tôpô của trường compắc với toán
tử dương để chứng minh tập nghiêm S của (0.2) tạo thành nhánh liên tục không bị chặn.
Dựa vào kết quả này và định lý 1.1.8, chúng tôi nhận được một khoảng cụ thể các giá trị 
để (0.2) có nghiệm dương, khoảng này rộng hơn khoảng nhận được trong [17]. Kết quả trình bày ở §2 chương 1 đã được công bố
trong [ I ].
Trong §3 chương 1 chúng tôi khảo sát bài toán biên giá trị riêng:
 
)0(x )1(x 0 ,
x( ) x,x,t(f ) ,0 0 t ,1
/
/
/
 
     
(0.3)
trong đó  
/
/
p 2
/
/
/
x( ) x x. 





 

và gọi là toán tử p-Laplace. Bài toán dạng (0.3) mô tả
nhiều hiện tượng trong các lĩnh vực khoa học tự nhiên và được nhiều nhà toán học quan tâm
nghiên cứu trong thời gian gần đây (xem [1,13,14,15] và các tài liệu tham khảo ở đó).
Trong [1], các tác giả R. Agarwal, H. Lü, D. O’Regan nghiên cứu bài toán (0.3) với hàm
f không phụ thuộc đạo hàm x
/
và chứng minh tồn tại khoảng giá trị  để bài toán có 1
nghiệm dương hoặc 2 nghiệm dương. Chúng tôi vẫn áp dụng phương pháp Krasnoselskii để
nghiên cứu (0.3) và đã nhận được các kết quả sau:
 Tập nghiệm S của (0.3) là nhánh liên tục không bị chặn xuất phát từ  .
 Tập các giá trị  để (0.3) có nghiệm dương sẽ lấp đầy một khoảng.
Khoảng này rộng hơn khoảng nhận được trong [1 ]. Hơn nữa, các đầu mút của khoảng
trong luận án được tính bằng các công thức gọn và rõ ràng hơn so với các đầu mút của
khoảng được tìm trong [1]. Để nhận đuợc kết quả tốt hơn này chúng tôi đã chứng minh một
số kết quả phụ có ý nghĩa độc lập về các bất phương trình vi phân và về giá trị riêng chính
của toán tử p-Laplace.
Các kết quả nhận được ở §3 của chương 1 đã được công bố trong
[ V ] .
Trong §4 của chương 1 chúng tôi nghiên cứu bài toán biên chứa tham số sau:
)0(x )1(x .0
x ,0 0 t ,1
1
x f ,x
// 2 /
 
   






 
(0.4) Như được chỉ ra trong [20], bài toán biên (0.4) xuất phát từ bài toán tìm nghiệm tuần
hoàn (chu kỳ chưa biết) của phương trình vi phân ôtônôm bậc 2 sau đây thường gặp trong
lĩnh vực cơ học thiên thể
y y,y(f ) 0
// /
  .
Tuy được đặt ra từ lâu nhưng việc nghiên cứu (0.4) mới đạt được kết quả về tồn tại
nhánh liên tục không bị chặn của tập nghiệm. Krasnoselskii chứng minh kết quả này cho
trường hợp f không phụ thuộc đạo hàm x
/
, Bakhtin và Nguyễn Bích Huy [25] chứng minh
cho trường hợp tổng quát. Vấn đề về tồn tại một khoảng cụ thể các giá trị  để (0.4) có
nghiệm, cho đến nay vẫn chưa được nghiên cứu thỏa đáng. Trong luận án chúng tôi đã nhận
được các kết quả sau đây về bài toán (0.4).
 Tập nghiệm S của (0.4) là nhánh liên tục không bị chặn xuất phát từ  nếu f
thỏa điều kiện:
q
/
2
/
1
g )x(  x,x(f )  g )x(  x.c (0.5)
với c  0 , q(0,1) và g ,g :
1 2
|R+ |R+ là các hàm liên tục, không bằng hằng 0 trên
mọi khoảng.
Nếu so với giả thiết sau đây được đặt ra trong [25]:
ax b x,x(f ) )x(c 1 x , r )2,0(
r
/ /
 





   
thì chúng tôi đã giảm nhẹ điều kiện về chặn dưới nhưng làm chặt điều kiện về chặn
trên của hàm f .
 Với giả thiết (0.5) và giả thiết về tồn tại giới hạn khi x  0 , x  của
các hàm
x
g (x)
1
,
x
g (x)
2
chúng tôi đã nhận được hai kết quả về khoảng giá trị  để (0.4)
có nghiệm.
Các kết quả của §4 đã được công bố trong [ IV ]. 3. Trong chương 2 của luận án chúng tôi đã sử dụng một định lý về điểm bất động
của ánh xạ tăng trong không gian có thứ tự để chứng minh sự tồn tại nghiệm cực trị cho hai
bài toán dạng biến phân. Việc áp dụng trực tiếp các định lý điểm bất động vào các bài toán
biến phân thường gặp khó khăn. Phương pháp của chúng tôi là sử dụng các kết quả của lý
thuyết phương trình đạo hàm riêng để đưa bài toán biến phân về bài toán tìm điểm bất động
của một ánh xạ tăng. Sau đó nhờ định lý về tồn tại điểm bất động cực trị của ánh xạ tăng
mà chứng minh sự tồn tại nghiệm cực trị của bài toán biến phân ban đầu.
Trong §2 của chương 2 này chúng tôi nghiên cứu bài toán tìm nghiệm yếu cực trị cho
phương trình logistic, là một trường hợp đặc biệt của phương trình elliptic sau:
 u  f(x,u) trong  , u  0 trên  , (0.6)
với |R
N
là miền mở, bị chặn với biên trơn, f :|R|R là hàm Caratheodory.
Khi f là hàm khả vi, Amann và Crandal [2] đã chứng minh sự tồn tại nghiệm cổ điển
thuộc lớp C   hoặc W ( )
2,p
0
2
 

lớn nhất và nhỏ nhất của (0.6) giữa một nghiệm dưới
và một nghiệm trên đã cho. Sự tồn tại nghiệm yếu lớn nhất, nhỏ nhất của (0.6) giữa nghiệm
yếu dưới và nghiệm yếu trên được chứng minh bởi Dancer – Sweers [12] khi f liên tục và
Carl-Heikkila [10] khi f có thể gián đoạn. Gần đây tác giả Nguyễn Bích Huy [27] đã
nghiên cứu sự tồn tại nghiệm yếu cực trị của (0.6) theo hướng giả thiết tồn tại nghiệm yếu
dưới và thay điều kiện tồn tại nghiệm yếu trên bằng điều kiện bị chặn của tập các nghiệm
dưới yếu. Trong luận án chúng tôi cũng nghiên cứu theo hướng này.
Xét phương trình logistic mô tả sự tăng trưởng của thú trong môi trường tự nhiên:
 v   m v)x(  v trong , v  0 trên 
n q
, (0.7)
trong đó n  |N, q>1 và hàm trọng m(x) thuộc một không gian hàm cụ thể. Trường hợp
n = 1 (mô hình khuếch tán tuyến tính) và m(x) bị chặn sự tồn tại nghiệm cổ điển được
nghiên cứu từ những năm 1980. Trường hợp n  1 và m )x( L ( )
s
  với s   , sự tồn tại
nghiệm yếu của (0.7) được nghiên cứu bởi J. Hernandez, Drabek [13,18] và Nguyễn Bích
Huy [27]. Các nghiên cứu chỉ ra rằng tính chính qui của nghiệm yếu phụ thuộc vào độ lớn của s:
khi s >N nghiệm yếu thuộc lớp 
1
C , khi
q(2 )1
Nq
s

 nghiệm yếu thuộc W ( ) L ( )
1,2
0   

.
Trường hợp n>1 và
2
N
s  cũng được nghiên cứu trong [18].
Trong luận án chúng tôi xét trường hợp n>1 và cho phép s có thể nhỏ hơn
2
N
.
Bằng phép biến đổi
n
u  v bài toán biên (0.7) được đưa về dạng:
r q
 u  m u)x(  u trong , u  0 trên , (0.8)
với r<q, r<1.
Với giả thiết:
q(2 )1 N q( 1 )r2
2N(q 1)
m )x( L ( ) , s
s
   

  
và giả thiết về chặn dưới của m(x) chúng tôi đã chứng minh sự tồn tại nghiệm yếu cực
trị của (0.8) trên khoảng u ,
0
với
0
u được xây dựng cụ thể qua các dữ kiện của bài
toán. Kết quả này đã được công bố trong[ III ].
Trong §3 của chương 2 chúng tôi xét bài toán tìm nghiệm cực trị của bất đẳng thức biến
phân sau:
Tìm hàm v thỏa mãn:





      
    



Av, v w v,x(f )(v w)dx, w K L ( ),
v K, )v,x(f L ( ,) vf )v,x( L ( ),
1 1
(0.9)
trong đó:
  |R
N
là miền mở, bị chặn có biên trơn,
K w W ( w n.k.h trên , 0 W ( ) L ( )
1,p
0
1,p
  0         

,
Av div v v
p 2
   

là toán tử p-Laplace,



Av v,  w  v  .v  v(  w)dx
p 2
.