Thạc Sĩ ứng dụng của phức witness vào phân tích dữ liệu ảnh

Lời nói đầu

Từ cuối thế kỷ 20, nhân loại chứng kiến sự bùng nổ về thông tin. Rất nhiều ngành khoa học bao gồm cả tự nhiên và xã hội phải xử lý một lượng dữ liệu khổng lồ. Mặc dù máy tính đã có những tiến bộ đáng kể về dung lượng lưu trữ cũng như về tốc độ nhưng vẫn không đủ đáp ứng nhu cầu xử lý dữ liệu lớn của xã hội.

Một trong những câu hỏi quan trọng nhất là lượng thông tin thu thập về đối tượng nghiên cứu cho ta biết điều gì về đối tượng đó. Để trả lời câu hỏi này, một loạt các phương pháp suy diễn đã ra đời trong thống kê. Một kỹ thuật phổ biến là rút gọn số chiều (dimensionality reduction), trong đó ta sẽ ánh xạ dữ liệu đến một không gian khác (thường là không gian có số chiều thấp hơn) với các tính chất đã biết (thường là không gian Ơclid). Phương pháp này có một nhược điểm là quá trình ánh xạ có thể làm mất một số đặc tính quan trọng của dữ liệu.
Đầu thế kỷ 21, tôpô đại số đề nghị một cách tiếp cận mới, phần nào khắc phục được nhược điểm này như sau: một là giữ nguyên dữ liệu gốc, xây dựng mô hình giữ lại các đặc tính hình học của dữ liệu; hai là tính bất biến đại số trên mô hình vừa xây dựng để rút trích thông tin hữu ích về dữ liệu.
Trong luận văn này, tôi trình bày một công trình tiên phong của Carlsson và Silva ứng dụng phương pháp trên vào nghiên cứu bộ dữ liệu hình ảnh. Hai ông đã thành công trong việc đọc ra một số tính chất hình học của dự liệu. Mô hình ở đây là các phiên bản của phức witness và bất biến đại số là đồng điều persistent.
Luận văn gồm những nội dung sau:
Chương1: Kiến thức chuẩn bị.
Chương2: Ứng dụng của phức witness vào phân tích dữ liệu ảnh.

Mục lục

Lời nói đầu 6
1 Kiến thức chuẩn bị 7
1.1 Các đơn hình 7
1.2 Phức simplicial . 8
1.2.1 Phức simplicial trừu tượng S . 9
1.2.2 Xấp xỉ simplicial 10
1.3 Phức ˘ Cech, phức Rips . 11
1.3.1 Phức ˘ Cech . 11
1.3.2 Phức Rips . 12
2 Ứng dụng của phức witness vào phân tích dữ liệu ảnh 15
2.1 Phức witness 15
2.1.1 Cách chọn landmark trong phức witness . 15
2.1.2 Phức witness mạnh và phức witness yếu . 17
2.1.3 Cách xây dựng các phiên bản của phức witness yếu 17
2.2 Đồng điều persistent 21
2.2.1 Số Betti . 21
2.2.2 Dãy lọc . 21
2.2.3 Định nghĩa đồng điều persistent . 23
2.3 Thống kê ảnh tự nhiên . 26
2.3.1 Hình cầu S2 26
2.3.2 Thống kê ảnh tự nhiên 28
Kết luận 34
Phụ lục 35
Tài liệu tham khảo 38
Chỉ mục 39
Nguyễn Hồng Phúc - Cao học Đại số K20