Thạc Sĩ Ứng dụng của lý thuyết nhóm trong một số bài toán Sơ cấp

Mục lục

Lời cảm ơn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2


1 Kiến thức chuẩn bị về lí thuyết nhóm 5

1.1 Nhóm, nhóm xylic và nhóm con . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Định lí Lagrange, đồng cấu nhóm . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Tác động của nhóm lên tập hợp . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4 Công thức các lớp và Định lí Burnside . . . . . . . . . . 10

2 Một số ứng dụng vào số học 15

2.1 Một số ứng dụng đơn giản . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 Một số ứng dụng của Định lí Lagrange . . . . . . . . . . 19

2.3

Ưng dụng của Công thức các lớp và Định lí Burnside . . 20


3 Ưng dụng vào tổ hợp 26

3.1 Nhóm đối xứng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2

Ư ng dụng vào tổ hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27


3.3 Một số ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41


Lời cảm ơn



Sau hơn nửa năm nghiên cứu miệt mài, luận văn thạc sĩ của tôi với đề tài nghiên cứu “Ư´ ng dụng của lý thuyết nhóm trong một số bài toán sơ cấp” đó được hoàn thành. Những kết qủa ban đầu mà tôi thu được đó là nhờ sự hướng dẫn tận tình và nghiêm khắc của cô giáo PGS. TS Lê Thị Thanh Nhàn. Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với Cô.

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo và Khoa Toán-Tin của Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đó tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành đề tài này trong thời gian qua.
Đội ngũ cán bộ thuộc phòng Đào tạo và Khoa Toán - Tin đó hết lòng ủng hộ, giúp đỡ lớp cao học Khóa I chúng tôi với một thái độ nhiệt tình, thân thiện nhất. Điều này sẽ mói là ấn tượng rất tốt đẹp trong lòng mỗi chúng tôi đối với nhà Trường.
Tôi cũng rất tự hào rằng trong quá trình học tập đó được Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên bố trí những nhà toán học hàng
đầu Việt nam về lĩnh vực Phương pháp toán sơ cấp giảng dạy cho chúng tôi như GS Hà Huy Khoái, GS Nguyễn Minh Hà, GS Phan Huy Khải .
Và cũng là lời cảm ơn chân thành của tôi tới bạn bè, những người thân đó luôn động viên, cổ vũ tôi trong suốt qúa trình nghiên cứu.


Lời nói đầu




Lí thuyết nhóm là một trong những lĩnh vực nghiên cứu quan trọng của Đại số hiện đại. Lí thuyết này có những ứng dụng sâu sắc trong nhiều hướng khác nhau của toán học, vật lí . Đặc biệt, một số kĩ thuật trong lí thuyết nhóm đó được sử dụng để mang lại những kết quả đẹp của toán sơ cấp. Chẳng hạn, tính giải được của các đa thức đó được giải quyết trọn vẹn bởi E. Galois thông qua việc sử dụng các kiến thức của lí thuyết nhóm phối hợp một cách tài tình với lí thuyết trường và đa thức.
Trong luận văn này, chúng tôi khai thác một số ứng dụng của lí thuyết nhóm vào toán sơ cấp ở 2 lĩnh vực: Số học và Tổ hợp. Công cụ chủ yếu của lí thuyết nhóm được vận dụng ở đây là Định lý Lagrange “Cấp và chỉ số của một nhóm con của một nhóm hữu hạn là ước của cấp của toàn
nhóm” và Định lý Burnside “Nếu nhóm hữu hạn G tác động lên tập hữu

Luận văn được trình bày trong 3 chương. Chương 1 là những kiến thức chuẩn bị về lý thuyết nhóm nhằm phục vụ cho 2 chương sau, bao gồm các khái niệm và tính chất cơ bản về nhóm, đồng cấu nhóm, nhóm
đối xứng và tác động của nhóm lên tập hợp. Các kiến thức và thuật ngữ của Chương I được tham khảo chủ yếu trong các cuốn sách về lý thuyết nhóm của J. Rotman [Rot] và J. F. Humphreys [Hum].
Chương 2 là một số ứng dụng vào số học. Một số kết quả ở các Tiết

2.1 và 2.2 là sự tổng hợp lại theo một chủ đề những ứng dụng đó biết của lí thuyết nhóm trong số học (xem 2.1.3, 2.1.4, 2.1.5, 2.2.1, 2.2.2),

nhưng cũng có những tính chất mà tác giả luận văn tự tìm tòi bằng hiểu biết của mình (xem 2.1.1, 2.1.2). Tiết 2.3, được trình bày theo bài báo công bố năm 2005 của T. Evans và B. Holt [EH], chứng minh lại những công thức số học cổ điển bằng phương pháp sử dụng công thức các lớp và Định lý Burnside trong lí thuyết nhóm.
Chương cuối của luận văn là những ứng dụng của lý thuyết nhóm vào một số bài toán tổ hợp. Thực chất, khi có lí thuyết nhóm soi vào, các bài toán tổ hợp này đó bớt phức tạp hơn, cách giải quyết nó cũng không còn là những mẹo mực hay bí ẩn dễ nhầm lẫn của Toán tổ hợp nữa, mà nó trở thành rõ ràng, hệ thống và dễ hiểu.