Luận Văn Ứng Dụng Của Bất Đẳng Thức Hoolder Và Minkowski Trong Toán Phổ Thông

MỤC LỤC
-------------------
Trang
LỜI MỞ ĐẦU 3
CHƯƠNG I. KIẾN THỨC CƠ SỞ 4
§1. BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN .5
1.1. Hàm lồi 5
1.2. Bất đẳng thức Jensen 5
§2. BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY 7
2.1. Bất đẳng thức Cauchy .7
2.2. Bất đẳng thức Cauchy “suy rộng” 7
CHƯƠNG II. BẤT ĐẲNG THỨC HÖLDER VÀ MINKOWSKI 9
§1. BẤT ĐẲNG THỨC HÖLDER 10
1.1. Dạng đại số 10
1.2. Dạng giải tích .12
1.2.1.Định lý 12
1.2.2. Bổ đề .12
1.2.3. Bất đẳng thức Hölder dạng giải tích 13
§2. BẤT ĐẲNG THỨC MINKOWSKI 15
2.1. Dạng đại số 15
2.1.1. Bất đẳng thức Minkowski thứ I 15
2.1.2. Bất đẳng thức Minkowski thứ II .16
2.2. Dạng giải tích .17
CHƯƠNG III. ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC HÖLDER VÀ MINKOWSKI TRONG TOÁN PHỔ THÔNG .19
§1. ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC HÖLDER .20
1.1.Ứng dụng trong giải tích .20
1.1.1. Bất đẳng thức tích phân 20
1.1.2. Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất .22
1.2. Ứng dụng trong hình học .26
1.3. Ứng dụng trong lượng giác .30
1.4. Ứng dụng trong số học 33
1.5. Ứng dụng trong đại số .36
1.6. Ứng dụng trong hình học giải tích .39
1.7. Ứng dụng trong giải tích tổ hợp .40
§2. ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC MINKOWSKI .42
2.1. Ứng dụng trong lượng giác .42
2.2. Ứng dụng trong giải tích 44
2.3. Ứng dụng trong đại số .46
2.4. Ứng dụng trong số học 50
KẾT LUẬN 53
TÀI LIỆU THAM KHẢO 54
Trường Đại Học An Giang Trang 2
Nghiên cứu khoa học Svth: Nguyễn Phúc Hậu
LỜI MỞ ĐẦU
Khi còn học phổ thông, đối với tôi bất đẳng thức là một vấn đề khó khăn lớn. Do đó, khi bước chân vào trường Đại Học tôi luôn ao ước có cơ hội nghiên cứu vấn đề này.
Bất đẳng thức là chuyên đề khá phức tạp và có ứng dụng phong phú trong toán học. Nó liên quan đến nhiều lĩnh vực khác như: Giải tích, lượng giác, hình học . Do đó, đây là lý thuyết rất quan trọng. Đã có rất nhiều nhà toán học có những đóng góp quan trọng cho lý thuyết này như: Cauchy, Jensen, Hardy, trong đó đặc biệt là Hölder và Minkowski. Các bất đẳng thức mang tên hai ông được ứng dụng rộng rãi trong giải toán cao cấp và toán sơ cấp, được vận dụng vào giải các bài toán hay và khó trong các kỳ thi quan trọng như: thi chọn học sinh giỏi, thi quốc gia hay thi Olympic quốc tế
Hơn nữa, đối với học sinh phổ thông, bất đẳng thức là chuyên đề phức tạp và không dễ. Phần đông các em đều không giải được bài toán bất đẳng thức và các bài toán có liên quan. Một phần do các em chưa biết cách vận dụng bất đẳng thức cơ bản, một phần các em chưa nắm được các bất đẳng thức này.
Vì vậy, việc nghiên cứu hai bất đẳng thức Hölder và Minkowski có ý nghĩa đặc biệt quan trọng. Nó không những có ý nghĩa lớn trong việc khảo cứu các bất đẳng thức cơ bản mà còn có tác dụng lớn trong việc giảng dạy sau này.
Do từ lý do trên đây nên đề tài này tôi tập trung nghiên cứu hai đối tượng sau: một là hai bất đẳng thức Hölder và Minkowski, hai là ứng dụng của hai bất đẳng thức này vào toán phổ thông. Nhằm thực hiện hai nhiệm vụ: làm rõ các dạng của hai bất đẳng thức trên; vận dụng chúng vào bài toán phổ thông. Để làm được điều này, tôi đã tiến hành đọc một số tài liệu có nhắc đến các nội dung trên, từ đó phân tích, tổng hợp lại, hệ thống những gị làm được một cách hợp lý.
Nội dung nghiên cứu gồm:
Chương I. Kiến thức cơ sở
Chương II. Bất đẳng thức Hölder và Minkowski
Chương III. Ứng dụng của bất đẳng thức Hölder và Minkowski trong toán phổ thông
Mặc dù đã cố gắng hoàn thành đề tài, nhưng do kiến thức còn hạn chế nên đề tài không tránh khỏi thiếu sót và sai lầm, rất mong sự góp ý của quý thầy cô để đề tại được hoàn chỉnh hơn, xin chân thành cảm ơn.