Tiến Sĩ Tương đương Morita cho nửa vành và đặc trưng một số lớp nửa vành

Luận án tiến sĩ năm 2011
Đề tài: Tương đương Morita cho nửa vành và đặc trưng một số lớp nửa vành


Mục lục
Lời cam đoan iii
Lời cảm ơn iv
Mở đầu 1
1 Lý do chọn đề tài 1
2 Mục đích nghiên cứu 4
3 Dối tượng nghiên cứu 4
4 Phạm vi nghiên cứu 4
5 Phương pháp nghiên cứu 4
6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn 4
7 Tổng quan và cấu trúc luận án 5
7.1 Tổng quan luận án 5
7.2 Cấu trúc của luận án 9
Chương 1. TƯƠNG DƯƠNG MORITA 11
1.1 Kiến thức chuẩn bị 11
1.2 Vật sinh xạ ảnh 18
1.3 Tương đương Morita 26
1.4 Kết luận Chương 1 33
Chương 2. BẮT BIEN MORITA VÀ ÁP DụNG 35
2.1 Nửa vành tự đồng cấu của vị nhóm giao hoán lũy đẳng 35
2.2 Bất biến Morita 43
2.3 Áp dụng 50
2.4 Kết luận Chương 2 55
Chương 3. TÍNH DƠN CỦA MỘT số LỚP NỬA VÀNH 56
3.1 Nửa vành được sắp thứ tự dàn 56
3.2 Nửa vành nửa đơn cỏ lập 61
3.3 Nửa vành đầy đủ không có tương đẳng không tầm thường . 68
3.4 Kết luận Chương 3 82
Chương 4. DẶC TRƯNG DồNG DIÊU CỦA NỬA VÀNH 83
4.1 Nửa vành nửa đơn và nửa vành cô lập 83
4.2 Nửa vành nửa đơn cộng chính quy 95
4.3 Kết luận Chương 4 101
Kết luận của Luận án 102
Các công trình liên quan đến Luận án 103
Tài liệu tham khảo104


Mở đầu
1 Lý do chọn đề tài
Khái niệm nửa vành được giới thiệu bởi Vandiver [52] vào nằm 1934, là tổng quát hóa khái niệm vành không giao hoán theo nghĩa không đòi hỏi tính đối xứng của phép cộng. Kể từ đó, nửa vành được quan tâm nghiên cứu cả về phương diện lý thuyết lẫn áp dụng. Nhiều tính chất và áp dụng của nửa vành đã được trình bày trong một số tài liệu như [17], [18]. [21].
Luận án này quan tâm đến khái niệm nửa vành như là một tổng quát hóa khái niệm vành có đơn vị không giao hoán theo nghĩa nói trên.
Một phương pháp để nghiên cứu đối tượng toán học là người ta tìm cách đưa nó về các đối tượng khác dễ hơn và nghiên cứu các đối tượng này. Chẳng hạn, để nghiên cứu các hình hình học người ta thường cắt chúng bởi các siêu phảng và nghiên cứu các siêu diện. Diều này cũng được tiến hành một cách tương tự cho các nửa vành, ở đâv các siêu phẳiig được thay thế bằng các quan hệ tương đẳng và các siêu diện chính là các nửa vành thương tương ứng. Với mỗi nửa vành R. luôn tồn tại một tương đẳng p trên 7? sao cho nửa vành thương RỊ ọ là không có tương đẳng không tầm thường (hoặc là tương đẳng-đơn); nghĩa là, R/p chĩ có hai tương đảng tầm thường. Do đó, theo một nghĩa nào đó, nghiên cứu nửa vành không có tương đẳng không tầm thường giúp ta hiểu một phần nào cấu trúc của nửa vành R.
Lưu ý rằng với mỗi tương đẳng p trên nửa vành R. lớp tương đương 0ọ của phần tử 0 theo quan hệ p, là một iđêan của R; ngược lại, với mỗi iđêan I của R. nó cảm sinh một tương đẳng Bourne =/ trên R. Nói cách khác, ta có hai tương ứng p I—> õp và Ị I—» =/ lần lượt là ánh xạ từ tập các tương đẳng trên R đến tập các iđêaii của R và ngược lại. Từ đây, theo một nghĩa nào đó, ta cũng có thể hiểu được nửa vành không có tương đẳng không tầm thường 7? thông qua việc nghiên cứu dàn các iđêan của nó; chẳng hạn, khi R là một vành, hai ánh xạ trên là các song ánh (chúng là các ánh xạ ngược của nhau), do đó, vành 7? là không có tương đẳng không tầm thường nếu và chỉ nếu 0 và R chỉ là hai iđêaii của nó (khi đó. R được gọi là vành đơn). Khẳng định này nói chung không còn đúng cho các nửa vành. \r thế, nửa vành chỉ chứa các iđẽan tầm thường, được gọi là không có iđêan không tầm thường, hay là iđêan-đơn.
Cấu trúc của các nửa vành giao hoán không có tương đẳng và iđêan không tầm thường đã được mô tả. Cụ the, năm 1988. Sidney s. Mitchell - Paul B. Fenoglio chứng minh được lăng các nửa vành giao hoán không có tương đẳng không tầm thường chỉ là các trường, hoặc là nửa vành Boole B := {0.1} ([44, Theorem 3.2]); dễ dàng thấy rằng các nửa vành giao hoán không có iđẽaii không tầm thường chỉ là các nửa trường. Gần đây, năm 2001. R. El Bashir - J. Hurt - A. Jancafik - T. Kepka đã mở rộng hai kết quả trên cho nửa vành giao hoán không đòi hỏi phần tử không và phần tử đơn vị (xem [4, Theorem 10.1 và Theorem
11. 2]). Xin nói thêm, các tính không có tương đẳng, iđêan không tầm thường của nửa vành giao hoán không đòi hỏi phần tử không và phần tử đơn vị vẫn còn được quan tâm bởi một số tác giả. chảng hạn [26], [27], [29], [28], .
Việc nghiên cứu cấu trúc của các nửa vành không giao hoán không có tương đẳng và iđêaii không tầm thường là khó khăn hơn. Dối với nửa vành không có tương đẳng không tầm thường, năm 2004, c. Monico đã mô tả các nửa vành (không đòi hỏi phải chứa phần tử không và đơn vị) hữu hạn không có tương đẳng không tầm thường (xem [45, Theorem 4.1]); nhưng sự mô tả này là không đầy đủ. Sau đó, năm 2008. J. Zumbragel chỉ mới phân loại được các nửa vành (không đòi hỏi phần tử đơn vị) hữu hạn không có tương đẳng không tầm thường (xem [56. Theorem 1.7]). Hơn nữa. các nửa vành không có tương đẳng không tầm thường bất kỳ đả được nghiên cứu bởi một số tác giả, chẳng hạn, [5], [14].
[15] , [25], . Tuy nhiên, việc mô tả một cách đầy đủ nửa vành không có tương đẳng không tầm thường vẫn chưa làm được.
Dối với nửa vành không có iđêan không tầm thường, năm 1957, Bourne - Zassenhaus đả mô tả được cấu trúc của nửa vành nửa đơn không có iđẽaii không tầm thường và không chứa các iđêan một phía lũy linh khác không; cụ thể hơn. các nửa vành này chỉ là các nửa vành ma trận trên các nửa thề (xem [8, Theorem 1]). Năm 1967. Steinfeld - Wiegandt [57] chỉ ra ràng kết quả này vẫn đúng cho nửa vành nửa đơn không có iđêaii không tầm thường. Sau đó. năm 1977. Stone [48] mở rộng kết quả trên cho nửa vành mà nó có thể nhúng được vào một vành nào đó. Năm 1984. Weinert nghiên cứu tính không có iđẽan không tầm thường cho nửa vành ma trận ([55, Theorem 4.1]) và nửa vành nửa nhóm ([55, Theorem 4.3]). Khái niệm nửa vành mà Weinert xem xét là không đòi hỏi phần tử đơn vị. Tính đến thời điểm hiện tại, việc phân loại các nửa vành không có iđêan không tầm thường vẫn là một cáu hỏi mỏ.
Một cách khác để nghiên cứu đối tượng toán học là người ta cố gắng hiểu cách nó tác động lên các đối tượng khác. Nói cách khác, chúng ta có thể hiểu được đối tượng toán học nhờ vào phạm trù các biểu diễn của nó. Lý thuyết biểu diễn (lý thuyết môđun) của nhóm, vành và đại số có thể soi sáng nhiều thông tin về cấu trúc của chúng. Việc dùng phạm trù những biểu diễn thích hợp để đặc trưng cấu trúc nửa vành cũng đả được nghiên cứu bởi một số nhà toán học như T. s. Fofanova, E. B. Katsov, Y. Katsov, M. Takahashi, H. J. Weinert, . Phạm trù biểu diễn của nửa vành được gọi là phạm trù nửa môđun. Cũng giống


Tài liệu tham khảo
TIẾNG ANH
[1] J. Ahsan, M. Shabir, H. J. Weinert (1998), Characterizations of semirings by P-injective and projective semimodules, Comm. Algebra, 26, ‘2199-2209.
[2] H. M. J. Al-Thani (1996), fc-projective semimodules, Kobe J. Math., 13, 49-59.
[3] F.w. Anderson and K.R. Fuller (1992), Rings and Categories of Modules, 2nd Ed., Springer-Verlag, New York-Berlin.
[4] R. El Bashir. J. Hurt, A. Jancarik, and T. Kepka (2001), Simple Commu¬tative Semirings, J. Algebra. 236. 277—306.
[5] R. El Bashir, T. Kepka (2007), Congruence-Simple Semirings, Semigroup Forum, 75, 588-608.
[6] G. Birkhoff (1967), Lattice Theory, American Mathematical Society, Prov¬idence.
[7] F. Borceux (1994), Handbook of categorical algebra. 1. Basic category theory. Encyclopedia of Mathematics and its Applications, 50. Cambridge University Press, Cambridge.
[8] S. Bourne, H. Zassenhaus (1957), On a Wedderburn-Artin structure theory of a potent semiring, Pioc. Nat. Acad. Sci. U.S.A 43, 613-615.
[9] G. Bruns and H. Lakser (1970), Injective hulls of semilattices, Canad. Math. Bull13. 115- 118.
[10] S. Bulman-Fleming and K. McDonwell (1978), Flat semilattices, Proc. Amer. Math. Soc 72, 228- 232.
105
[11] H. Cart ail. s. Eilenberg (1999), Homological algebra. With an appendix by David A. Buchsbaum, Reprint of the 1956 original. Princeton Landmarks in Mathematics. Princeton University Press, Princeton. NJ.
[12] S. Eilenberg (1960), Abstract description of some basic functors, J. Indian Math. Soc. (N.S.), 24, 231-234.
[13] c. Faith (1981), Algebra I: Rings. Modules, and Categories, Springer-Verlag, New York-Berlin.
[14] V. Flaska, T. Kepka. J. Saroch (2005), Bi-deal-simple semirings. Comment. Math. Univ. Carolin., 46. 391-397.
[15] V. Flaska (2009), One very particular example of a congruence-simple semirings, European Journal of Combinatorics. 30. 759-763.
[16] T. S. Fofanova (1982), Polygons over distributive lattices, in B. Csákáiiy et al (eds.): Universal Algebra. Colloq. Math. Soc. János Bolyai # 29, North Holland, Amsterdam.
[17] K. Giazek (2002), A Guide to the Literature on Semirings and their Appli¬cations in Mathematics and Information Science, Kluwer Academic Pub¬lishers, Dordrecht-Boston- London.
[18] J. S. Golan (1999), Semirings and their Applications. Kluwer Academic Publishers. Dordrecht-Boston-London.
[19] G. Gratzer (1979). Universal Algebra, 2nd Ed. Springer-Verlag, New York- Berlin.
[20] Ư. Hebisch, H. J. Weinert (1996). Semirings and semifields. Handbook of algebra. Vol. Í, Amsterdam: North-Holland Publishing Co., 425-462.
[21] Ư. Hebisch, H. J. Weinert (1998), Sejnirings: algebraic theory and applica¬tions in computer science, World Scientific Publishing Co Inc River Edge, NJ.
[22] A. Horn and N. Kimura (1971), The category of semilattices, Algebra Universalis. 1. 26-38.
[23] Il’in, S. N. (2008), On the applicability to semirings of two theorems from the theory of rings and modules. Mathematical Notes. 83. 492 - 499.