Thạc Sĩ Tổng quan về đại số lie và biểu diễn của chúng

Lời nói đầu
Như ta đã biết, Sophus Lie (1842-1899) là người tạo ra lý thuyết của các đối xứng
liên tục và vận dụng nó vào việc nghiên cứu hình học và phương trình đạo hàm riêng.
Công cụ chính của Lie, và là một trong những thành tựu vĩ đại nhất của ông, là sự
khám phá ra các nhóm biến đổi liên tục, mà ngày nay người ta gọi theo tên ông là
nhóm Lie. Nó có thể được hiểu tốt hơn bằng cách ``tuyến tính hóa" chúng và nghiên
cứu các trường vectơ tạo ra từ chúng (gọi là các phần tử phát sinh cực nhỏ). Các phần
tử phát sinh đó là đối tượng cho một dạng tuyến tính hóa của luật nhóm, bây giờ gọi
là hoán tử giao hoán, và có cấu trúc mà ngày nay ta gọi là một đại số Lie.
Lý thuyết của đại số Lie là một kết quả tự nhiên của lý thuyết nhóm Lie về các
nhóm biến đổi liên tục. Kết quả chính là sự rút gọn các vấn đề ``địa phương" liên kết
giữa nhóm Lie với các vấn đề của đại số Lie tương ứng, do đó nó liên quan đến các
vấn đề của đại số tuyến tính. Một liên kết của một nhóm Lie với một đại số Lie trên
trường số thực hay số phức luôn có một sự thiết lập tương ứng giữa các nhóm con
giải tích của nhóm Lie với các đại số con của đại số Lie. Ví dụ, các nhóm con bất biến
tương ứng với các ideal, các nhóm con Abel tương ứng với các đại số con Abel, đẳng
cấu của đại số Lie tương đương với đẳng cấu địa phương của nhóm Lie tương ứng .
Ngày nay, lý thuyết nhóm Lie nói chung và đại số Lie nói riêng đã phát triển rất
mạnh mẽ và bắt rễ vào hầu hết các ngành toán và toán-vật lý, đặc biệt trong ngành
vật lý hạt và vật lý lý thuyết hiện đại.
Sau khi tiếp xúc với đại số Lie, chúng tôi nhận thấy việc tìm hiểu các kiến thức cơ
sở của đại số Lie là một công cụ nền tảng thiết yếu để nghiên cứu các vấn đề khác
của đại số Lie và nhóm Lie trong tương lai. Vì vậy, với luận văn tốt nghiệp của mình,
chúng tôi quyết định chọn công việc tìm hiểu, phân tích, tổng hợp và trình bày lại một
cách hệ thống các kiến thức về đại số Lie bằng cách nghiên cứu các tài liệu liên quan,
đặc biệt từ các ``tác phẩm mẫu" của Karin Erdmann and Mark J. Wildon, Introduction
to Lie Algebra, Springer- Verlag, Berlin, 2006 và J. - P. Serre, Lie Algebras and Lie
Groups, 1964 lectures given at Harvard University, Secondedition, W.A Benjamin, Inc,
New York, Amsterdam, 1965.
Chúng tôi không tham vọng nghiên cứu tất cả các vấn đề của đại số Lie vì vậy
trong luận văn này, chúng tôi chỉ trình bày lại một cách tổng quan về đại số Lie và
biểu diễn của nó như một cách nhập môn. Cụ thể luận văn được chia thành ba chương
như sau:
Chương 1 Tổng quan đại số Lie. Trong chương này, chúng tôi nêu một số định
nghĩa, khái niệm cũng như một vài ví dụ cụ thể về đại số Lie. Những kết quả của
chương này là cơ sở cho các chương kế tiếp.
Chương 2 Đại số Lie lũy linh, đại số Lie giải được và biểu diễn của chúng.
Trong chương này, chúng tôi sẽ nêu định nghĩa, các tính chất cơ bản, các mối liên
hệ của hai đại số Lie này. Bên cạnh đó, chúng tôi cũng chứng minh một cách chi
tiết các định lý, Định lý Lie và Định lý Engel, nhằm làm cơ sở để xét biểu diễn của
đại số Lie giải được và lũy linh. Tương ứng với mỗi đại số Lie, chúng tôi sẽ nêu một
ví dụ cụ thể về biểu biễn của chúng. Các kết quả của chương này được chứng minh
một cách chi tiết.
Chương 3 Đại số Lie nửa đơn và biểu diễn của chúng. Đây là đại số Lie có tính
chất rất đặc biệt, [g, g] = g, và có rất nhiều kết quả đẹp. Nhưng vì mang tính tổng
quan nên trong luận văn này, chúng tôi chỉ nêu một vài tính chất cơ bản, mối liên hệ
của đại số Lie này với các đại số Lie khác như đại số Lie đơn, đại số Lie các phép lấy
đạo hàm. Ngoài ra, chúng tôi cũng nghiên cứu sự phân tích của đại số Lie nửa đơn
nhằm làm phương tiện để xét biểu diễn của đại số Lie nửa đơn. Cuối chương, chúng
tôi xét một ví dụ cụ thể về biểu diễn của đại số Lie nửa đơn , sl(2,C). Các kết quả
trong chương này hầu hết được chứng minh một cách chi tiết.
Dù cố gắng nhưng chắc chắn luận văn vẫn còn rất nhiều sai sót. Tác giả kính
mong nhận được những nhận xét, góp ý của Quý Thầy Cô trong và ngoài hội đồng
chấm luận văn và các bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.
Mục lục
Lời nói đầu 4
Bảng ký hiệu 6
1 Tổng quan đại số Lie 7
1.1 Các khái niệm cơ bản . 7
1.2 Ideal và đồng cấu Lie 9
1.3 Phép lấy đạo hàm . 11
1.4 Biểu diễn của đại số Lie 13
2 Đại số Lie giải được, đại số Lie lũy linh và biểu diễn của chúng 15
2.1 Đại số Lie giải được 15
2.2 Đại số Lie lũy linh . 18
2.3 Định lý Engel và biểu diễn của đại số Lie lũy linh 23
2.4 Định lý Lie và biểu diễn của đại số Lie giải đươc . 27
3 Đại số Lie nửa đơn và biểu diễn của đại số Lie nửa đơn 33
3.1 Đại số Lie nửa đơn . 33
3.2 Dạng Killing và tiêu chuẩn Cartan . 35
3.3 Sự phân tích của đại số Lie nửa đơn . 35
3.4 Phần tử lũy linh, phần tử nửa đơn và biểu diễn của đại số Lie nửa đơn 40
Kết Luận 44
Tài liệu tham khảo 45
Chỉ mục 46