Thạc Sĩ Toán nâng cao - Số học trung học cơ sở

LỜI NÓI ĐẦU

Trong bộ môn Toán ở trường phổ thông thì phần số học được xem là một trong những phần khó, nhiều học sinh khá thậm chí giỏi còn lo ngại tránh né bởi vì học sinh chưa hình thành được những phương pháp giải để học sinh ứng dụng vào việc giải một bài toán số học.
Qua nội dung về Bài tập lớn em xin trình bày, một số chuyên đề về số học và ứng dụng của nó trong việc chứng minh và giải quyết các bài toán có liên quan. Nhằm giúp học sinh bớt lúng túng khi gặp các bài toán về số học, đặc biệt là giúp cho các em khá, giỏi nắm vững kiến thức và có phương pháp học tốt hơn để có thể tham gia tốt trong kì thi học sinh giỏi cấp THCS
Đề tài gồm các chuyên đề sau:
Chuyên đề 1: Tính chia hết
Chuyên đề 2: Số nguyên tố
Chuyên đề 3: Số chính phương
Chuyên đề 4: Bội và ước của các số
Mỗi chuyên đề có trình bày lý thuyết, các phương pháp giải, Với mổi phương pháp có các phương pháp cụ thể sau đó là các ví dụ minh hoạ, bài tập tự giải có hướng dẫn nhằm gúp học sinh rèn luyện được kỷ năng và kiến thức về phần số học/.









NỘI DUNG ĐỀ TÀI
CHUYÊN ĐỀ 1: TÍNH CHIA HẾT.
A. Lý thuyết
I. Phép chia hết và phép chia có dư.
Cho hai số tự nhiên a, b, b 0. Nếu có số tự nhiên qsao cho a = bq thì ta nói a chia hết cho b, kí hiệu a b, hoặc b chia hết cho a, kí hiệu b | a. Số q (nếu có) được xác định duy nhất và được gọi là thương của a và b, kí hiệu q = a : b
hoặc q = . Quy tắc tìm thương của hai số gọi là phép chia.
Tuy nhiên với hai số tự nhiên bất kì a, b không phải luôn luôn có a chia hết cho b hoặc b chia hết cho a, mà ta có định lí sau:
Với mọi cặp số tự nhiên a, b, b 0, bao giờ cũng tồn tại duy nhất một cặp số tự nhiên q, r sao cho:
A = bq + r, 0 r < b.
Số q và r trong định lí về phép chia có dư nói trên lần lượt được gọi là thương và dư trong phép chia số a cho số b.
II. Phép đồng dư.
Cho m là một số nguyên dương. Nếu hai số nguyên a và b cùng cho một số dư khi chia cho m thì ta nói rằng a, b đồng dư với nhau theo mođun m và kí hiệu:
a b (mod m)
Giả sử số dư cùng là r thì ta có:
a = mq + r (1)
b = mq’ + r (2)
lúc đó a – b = m(q – q’) như vậy a – b chia hết cho m. vậy :
a b(mod m) a – b m.
III. Dấu hiệu chia hết.
Một số tự nhiên sẽ:
- Chia hếtcho 2 nếu nó là số chẵn, tận cùng bằng 0, 2, 4, 6, 8
- Chia hết cho 5 nếu tận cùng bằng 0 hoặc 5.
- Chia hết cho 4 nếu số tạo bởi hai chử số cuối chia hết cho 4
- Chia hết cho 8 nếu số tạo bởi 3 chử số tận cùng chia hết cho 8
- Chia hết cho 25 nếu số tạo bởi hai chử số cuối cùng chia hết cho 25.
- Chia hết cho125 nếu số tạo bởi 3 chử số cuối cùng chia hết cho 125.
- Chia hết cho 3 nếu tổng của các chử số của số đó chia hết cho 3.
- Chia hết cho 9 nếu tổng của các chử số đó chia hết cho 9
Chú ý: Số dư trong phép chia một số N cho 3 hoặc 9 cũng chính là dư trong phép chia tổng các chử số của N cho 3 hoặc 9.
B. Các dạng toán.
Dạng 1. Xét mọi trường hợp có thể xảy ra của số dư.
Muốn chứng minh một biểu thức của n là A(n) chia hết cho q ta có thể xét mọi trường hợp về số dư khi chia n cho q.
Bài 1.
Chứng minh tích của 2 số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2.
Giải.
Giả sử A = n(n + 1), có 2 trường hợp
-Nếu n chẵn, thì n 2 do đó A chia hết cho 2.
- Nếu n lẻ thì n +1 chẵn do đó (n +1) chia hết cho 2 nên A chia hết cho 2.
Bài 2.
Chứng minh rằng
Giải.
Xét các trường hợp về số dư khi chia n cho 5, ta có:
- Nếu số dư là 0 thì n = 5k và A(n) 5
- Nếu số dư là 1 thì ta có n = 5k 1
và n2 + 4 = (5k 1)2 + 4= 25k2 10k + 5 5.
- Nếu số dư là 2 thì ta có n = 5k 2
và n2 + 1 = ( 5k 2)2 + 4 = 25k2 20k + 4 + 1 5.
Vậy khi chia n cho 5 dù số dư là 0, 1, hay 2 biểu thức A(n) cũng đều chia hết cho 5.
Dạng 2: Tách thành tổng nhiều hạng tử.
Đây là một phương pháp khá thông dụng. Muốn chứng minh A(n) chia hết cho q , ta tách A(n) thành tổng của nhiều hạng tử sao cho mỗi hạng tử đều có thể chia hết cho q.
Bài 1.
Chứng minh rằng n5 + 10n4 – 5n3 – 10n2 + 4n chia hết cho 120.
Giải.
Ta tách biểu thức đã cho như sau:
A = n5 – 5n3 + 4n + 10n4 – 10n2
= n(n4 – 5n2 + 4) + 10n2(n2 – 1)
Hạng tử thứ nhất là :
n(n4 – 5n2 + 4) = n(n2 – 1)(n2 – 4)
= (n – 2)(n – 1)n(n + 1)(n + 2)
Đây là tích của 5 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho
2.3.4.5 = 120
Hạng tử thứ hai là: 10n2(n + 1)(n – 1). Có 3 số nguyên liên tiếp nên chia hết cho 3. hạng tử này chia hết cho 4 nếu n chẳn. Còn nếu n lẽ thì (n + 1) và n – 1 cũng chẳn nên tích (n + 1)(n – 1) cùng chia hết cho 4.
Vậy hạng tử thứ hai cũng chia hết cho 3.5.10 = 120
A là tổn của hai hạng tử chia hết cho 120 nên A cũng chia hết cho 120.
Bài 2.
Chứng minh rằng với mọi m thuộc Z ta có m3 – 13m chia hết cho 6.
Giải.
A = m3 – 13m
= m3 – m – 12m
= m(m2 – 1) – 12m
= (m – 1)m(m + 1) – 12m