Tài liệu Toán học cao cấp 1

Giáo trình: TOÁN HỌC CAO CẤP 1


Giáo trình dài 158 trang
Chương 1: KHÁI NIỆM VỀ TẬP HỢP VÀ ÁNH XẠ .5
§1. TẬP HỢP .5
1.1Các khái niệm cơ bản 5
1.2 Các phép trên tập hợp 6
1.3 Cách cho một tập hợp .8
§2. ÁNH XẠ 9
2.1 Khái niệm về ánh xạ .9
2.2 Các loại ánh xạ .9
2.3 Ánh xạ hợp 10
§3 TẬP HỢP SỐTHỰC .11
3.1 Định nghĩa trường 11
3.2 Các tính chất cơ bản của trường số thực 12
3.3 Giá trị tuyệt đối của một số thực 13
3.4 Tập số thực suy rộng 13
§4 TẬP HỢP SỐ PHỨC .14
4.1 Định nghĩa số phức và các phép tính trên số phức 14
4.2 Các chú ý 14
4.3 Dạng lượng giác của số phức 15
BÀI TẬP CHƯƠNG 1 17
Chương 2: KHÔNG GIAN VÉC TƠ 20
§1 KHÔNG GIAN VÉC TƠ 20
1.1 Định nghĩa 20
1.2 Các ví dụ 21
§2 CƠ SỞ CỦA MỘT KHÔNG GIAN VÉC TƠ .22
2.1 Sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính .22
2.2 Cơ sở của không gian véc tơ 22
2.3 Số chiều của không gian véc tơ 23
§3 KHÔNG GIAN VÉC TƠ CON .25
3.1 Định nghĩa 25
3.2 Các ví dụ 25
BÀI TẬP CHƯƠNG 2 25
Chương 3: MA TRẬN VÀ ĐỊNH THỨC .27
§1 PHÉP TÍNH MA TRẬN 27
1.1 Định nghĩa ma trận .27
1.2 Các phép tính trên ma trận 28
§2 ĐỊNH THỨC .30
2.1 Hoán vị và nghịch thế 30
2.2 Định nghĩa định thức 32
2.3 Các tính chất của định thức 33
2.4 Khai triển một định thức 34
§3 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO .38
§4 HẠNG CỦA MA TRẬN .40
4.1 Định nghĩa hạng của ma trận .40
4.2 Các phép biến đổi sơ cấp trên ma trận .41
BÀI TẬP CHƯƠNG 3 42
Chương 4: HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH .44
§1 HỆ CRAMER 44
1.1 Định nghĩa 44
1.2 Quy tắc Caremer 44
§2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT 46
2.1 Điều kiện tương thích .46
2.2 Cách giải hệ phương trình tuyến tính tổng quát .47
2.3 Hệ phương trình tuyến tính thuần nhất 48
§3 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP GAUSS 48
BÀI TẬP CHƯƠNG 4 53
Chương 5: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH - DẠNG TOÀN PHƯƠNG .55
§1. ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH 55
1.1 Định nghĩa 55
1.2 Nhân và ảnh của một ánh xạ tuyến tính .56
1.3 Ma trận và ánh xạ tuyến tính 58
1.4 Ma trận chuyển cơ sở .60
1.5 Ma trận của ánh xạ tuyến tính khi chuyển cơ sở 62
§2. GIÁ TRỊ RIÊNG VÀ VÉC TƠ RIÊNG 64
2.1 Định nghĩa 64
2.2 Đa thức đặc trưng .65
2.3 Đưa ma trận vuông về ma trận chéo 66
2.4 Chéo hoá trực giao .69
§3. DẠNG TOÀN PHƯƠNG 71
3.1 Dạng song tuyến tính .71
3.2 Dạng toàn phương 72
3.3 Dạng toàn phương xác định dương 76
BÀI TẬP CHƯƠNG 5 77
Chương 6: HÀM SỐ VÀ GIỚI HẠN 80
§1. HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐ .80
1.1. Định nghĩa hàm số một biến số .80
1.2. Đồ thị của hàm số 80
1.3. Hàm số ngược và đồ thị của hàm số ngược 81
1.4. Các hàm sơ cấp .82
1.5. Hàm cho bằng tham số 86
§2. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ .87
2.1 Định nghĩa dãy số .87
2.2. Giới hạn của dãy số .87
2.3. Các phép tính của dãy hội tụ .88
2.4. Hai tiêu chuẩn đủ để dãy hội tụ .89
2.5.Giới hạn vô cùng của dãy .90
§3. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ 91
3.1. Đ ịnh nghĩa giới hạn khi x → a 91
3.2. Các tính chất của giới hạn .92

3.3. Lượng vô cùng bé .92
3.4. Lượng vô cùng lớn 94
§4. HÀM SỐ LIÊN TỤC 95
4.1. Định nghĩa .95
4.2. Hàm liên tục trong một khoảng kín 96
4.3. Hàm số gián đoạn 97
BÀI TẬP CHƯƠNG 6 98
Chương 7: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM SỐ MỘT BIẾN SỐERROR! BOOKMARK NOT
DEFINED.
§1. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ .100
1.1 Định nghĩa đạo hàm của hàm số 100
1 2. Ý nghĩa hình học của hàm số 101
1.3. Hàm liên tục về hàm có đạo hàm 101
1.4. Các phép toán đối với đạo hàm .102
1 5. Bảng đạo hàm của một số hàm số .102
1.6. Đạo hàm cấp cao .104
§2. VI PHÂN CỦA HÀM SỐ 105
2.1. Vi phân là phần chính của số gia hàm số 105
2.2. Các quy tắc tính vi phân 108
2.3. Vi phân cấp cao .108
§3. CÁC ĐỊNH LÝ VỀ HÀM KHẢ VI 109
3.1. Định lý Rolle .109
3.2. Định lý Lagrange 109
3.3. Công thức Taylor 113
3.4. Cực trị của hàm số .115
3.5. Hàm số lồi lõm, điểm uốn .116
3.6. Khảo sát hàm số117
BÀI TẬP CHƯƠNG 7 119
Chương 8: PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM NHIỀU BIẾN .122
§1 HÀM SỐ NHIỀU BIẾN SỐ 122
1.1 Định nghĩa 122
1.2. Giới hạn và liên tục .123
§2. ĐẠO HÀM RIÊNG VÀ VI PHÂN CỦA HÀM NHIỀU BIẾN 123
2.l. Đạo hàm riêng 123
2.2. Các đạo hàm riêng cấp 2 .124
2.3. Vi phân toàn phần .125
2.4. Áp dụng vi phân toàn phần vào tính gần đúng và đánh giá sai số 126
2.5. Đạo hàm hàm số hợp .127
§3. CỰC TRỊ CỦA HÀM NHIỀU BIẾN .128
3.1. Định nghĩa .128
3.2. Điều kiện cần của cực trị .128
BÀI TẬP CHƯƠNG 8 130
Chương 9: PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM 133
§L. NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN BẤT ĐỊNH 133
1.1 Nguyên hàm của hàm số 133
1.2 Tích phân xác định .134
1.3 Bảng các tích phân bất định của một số hàm số 134
§2. HAI PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN .135
2.1 Phép biến đổi 135
2.2 Phép phân đoạn 137
§3. PHÉP TÍNH NGUYÊN HÀM MỘT SỐ HÀM SỐ 138
3.1 Nguyên hàm của hàm hữu tỷ .138
3.2 Nguyên hàm một số hàm vô tỷ đơn giản .141
3.3 Nguyên hàm các hàm lượng giác .142
BÀI TẬP CHƯƠNG 9 143
CHƯƠNG 10 .146
TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH .146
§1. DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG, ĐỊNH NGHĨA TÍCH PHÂN .146
1.1 Bài toán diện tích hình thang cong .146
1.2. Định nghĩa tích phân xác định 147
1.3. Các tính chất của tích phân xác định .148
§2. TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH VÀ NGUYÊN HÀM 150
2.1. Đạo hàm của tích phân xác định theo cận trên .150
2.2. CÔNG THỨC NEWTON-LEIBNIZ 151
§3. HAI PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH .152
3.1. Phép biến đổi trong tích phân xác định .152
3.2. Phép phân đoạn trong tích phân xác định 154