Thạc Sĩ Tính toán và đánh giá các tổng hữu hạn

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
NĂM - 2010
Mục lục
1 Tổng hữu hạn liên quan đến hàm luỹ thừa 5
1.1 Tổng hữu hạn liên quan đến hàm luỹ thừa của các số tự nhiên . 5
1.2 Tổng hữu hạn liên quan đến hàm lũy thừa và các số Bernoulli 9
1.2.1 Khái niệm về số Bernoulli và đa thức Bernoulli . 9
1.2.2 Một số hệ thức giữa tổng lũy thừa và số Bernoulli . 11
1.3 Tổng đan dấu về lũy thừa của số tự nhiên . 13
1.4 Tổng hữu hạn liên quan đến lũy thừa và giai thừa . 16
1.5 Tổng hữu hạn liên quan đến hàm luỹ thừa và hàm mũ . 18
2 Tổng hữu hạn liên quan đến tổ hợp 21
2.1 Tổ hợp và nhị thức Newton . 21
2.1.1 Tổ hợp và các tính chất 21
2.1.2 Nhị thức Newton . 22
2.2 Một số bài toán thông dụng . 22
2.3 Một số mệnh đề và các bài toán mới 28
3 Tổng hữu hạn liên quan đến hàm lượng giác 34
3.1 Tổng hữu hạn liên quan đến đa thức lượng giác . 34
3.2 Tổng hữu hạn liên quan đến phân thức lượng giác . 37
3.3 Tổng hữu hạn liên quan đến lũy thừa các hàm số lượng giác 42
3.3.1 Tổng lũy thừa của secant . 42
3.3.2 Tổng lũy thừa của cosecant 46
3.3.3 Tổng lũy thừa của tangent 47
3.3.4 Tổng lũy thừa của cotangent . 47
3.4 Tổng hữu hạn liên quan đến hàm luợng giác và hàm mũ 49
3.5 Tổng hữu hạn liên quan đến hàm lượng giác và tổ hợp . 51
4 Một số phương pháp tính tổng hữu hạn 56
4.1 Tính tổng bằng phương pháp sử dụng các cấp số 56
4.1.1 Cấp số cộng 56
4.1.2 Cấp số nhân 57
4.1.3 Cấp số điều hòa 61
4.1.4 Dãy số Fibonacci . 61
4.2 Tính tổng bằng phương pháp dự đoán và quy nạp 63
4.3 Tính tổng bằng phương pháp truy hồi 65
4.4 Tính tổng bằng phương pháp phương trình . 67
4.5 Tính tổng bằng phương pháp khử liên tiếp . 69
4.6 Tính tổng bằng phương pháp sai phân . 71
4.6.1 Khái niệm về sai phân và các tính chất . 71
4.6.2 Các bài toán áp dụng . 72
5 Đánh giá các tổng hữu hạn 76
5.1 Các bài toán về bất đẳng thức liên quan tới tổng hữu hạn . 76
5.2 Một số bài toán về tổng hữu hạn trong các đề thi quốc tế . 80
Tài liệu tham khảo . 87

Mở đầu
Các bài toán tính tổng thường xuất hiện trong các kỳ thi học sinh giỏi, Olympiad, Toán quốc tế hay kỳ thi vào các trường phổ thông chuyên dưới nhiều hình thức khác nhau. Các bài toán trên, đại bộ phận là những bài toán khó mà học sinh phổ thông, nhất là phổ thông cơ sở kể cả học sinh chuyên toán tỏ ra rất lúng túng khi gặp các bài toán dạng này. Hiện nay tài liệu tham khảo về tính tổng hữu hạn bằng tiếng Việt chưa có nhiều, còn phân tán và các bài toán khó cũng còn ít. Cần thiết phải có sự tổng hợp, phân loại, giới thiệu các phương pháp tính tổng một cách hệ thống và các bài toán khó hơn. Vì vậy, việc tìm hiểu và phát triển sâu thêm vấn đề " Tính toán và đánh giá các tổng hữu hạn" là cần thiết cho công việc học tập và giảng dạy toán ở bậc phổ thông. Bản luận văn này nhằm trình bày một số phương pháp về tính tổng hữu hạn và giới thiệu các bài toán trên ở các mức độ khác nhau. Luận văn gồm các phần: Mở đầu, năm chương nội dung, Kết luận và Tài liệu
tham khảo.
- Chương một Tổng hữu hạn liên quan đến hàm lũy thừa
Chương này trình bày các kiến thức về tổng hữu hạn của hàm lũy thừa dạng:
Sp(n) =
Xn
k=1
kp; Lp(n) =
Xn
k=1
(2k 1)p;
Tp(n) =
Xn
k=1
(1)kkp; Fp(n) =
Xn
j=1
j!jp:
Vận dụng và tính toán các bài toán này là sử dụng các phương pháp khác nhau như:
Phương pháp sử dụng các cấp số, phương pháp đạo hàm, nhị thức Newton, phương pháp truy hồi, phương pháp khử liên tiếp và phương pháp quy nạp.
- Chương hai Tổng hữu hạn liên quan đến tổ hợp Chương này sử dụng và kết hợp các phương pháp khác nhau như phương pháp đạo hàm, nhị thức Newton và một số các phép biến đổi để giải các bài toán tính tổng liên quan đến tổ hợp. Qua đó giới thiệu một số mệnh đề và bài toán mới chỉ được giới thiệu qua các nghiên cứu của các nhà chuyên môn.
- Chương ba Tổng hữu hạn liên quan đến hàm lượng giác Chương này trình bày các bài toán tính tổng của các hàm lượng giác liên quan đến các chuỗi lượng giác, chuỗi lũy thừa, đa thức trực giao, đa thức chebyshev hay hàm mũ và tổ hợp. Phương pháp chủ yếu là sử dụng các phép biến đổi lượng giác, khử liên tiếp, nhị thức Newton và số phức.
- Chương bốn Một số phương pháp tính tổng hữu hạn
Trình bày các bài toán về tổng hữu hạn, trong đó sử dụng các phương pháp khác nhau để tính toán, như phương pháp sử dụng các cấp số, phương pháp dự đoán và quy nạp, phương pháp truy hồi, phương pháp phương trình, phương pháp khử liên tiếp và phương pháp sai phân.
- Chương năm Đánh giá các tổng hữu hạn Trình bày một số bài toán về bất đẳng thức đối với các tổng hữu hạn. Phương pháp chủ yếu để giải bài toán loại này là sử dụng một số thủ thuật như: nhóm các số hạng, tách các số hạng, chặn trên, chặn dưới, thêm, bớt, quy nạp. Đặc biệt là sử dụng các bất đẳng thức quan trong như bất đẳng thức Cauchy - Schawrz và bất đẳng thức trung bình. Qua đó giới thiệu một số đề thi học sinh giỏi và thi vô địch Toán quốc tế.