Thạc Sĩ Tính toán, thiết kế máy tách râu trà

Đề tài: Thác triển chỉnh hình kiểu Riemann

MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cảm ơn . 1
Mục lục 2
MỞ ðẦU . 4
Chương 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ . 8
1.1. Không gian phức
n
ℂ 8
1.2. ðịnh nghĩa hàm chỉnh hình . 8
1.3. ðịnh nghĩa miền chỉnh hình và miền lồi chỉnh hình 9
1.4. Hàm ñiều hòa dưới, hàm ña ñiều hòa dưới 10
1.5. Bao ña ñiều hòa dưới 12
1.6. Nguyên lý môñun cực ñại . 15
1.7. Không gian Banch hyperbolic . 17
1.8. Tập cực và tập ña cực . 18
1.9. ðiều kiện lồi – ñĩa yếu và tính chất . 18
1.10. ðịnh lý Shiffmann 19
Chương 2. THÁC TRIỂN CHỈNH HÌNH QUA SIÊU MẶT . 20
2.1. ðịnh lý Kwack 20
2.2. Mở rộng ñịnh lý Kwack sang vô hạn chiều . 21
2.3. ðịnh lý thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs 25
Chương 3. THÁC TRIỂN CHỈNH HÌNH QUA CÁC TẬP CỰC . 29
3.1. Thác triển chỉnh hình qua tập cực . 29
3.1.1. ðịnh nghĩa tập cực và tính chất . 29
3.1.2. Ký hiệu . 30 3
3.1.3. ðịnh lý thác triển chỉnh hình qua tập ña cực ñóng 31
3.2. Thác triển chỉnh hình qua tập cực loại hữu hạn . 38
3.2.1. ðịnh lý Noguchi . 38
3.2.2. ðịnh nghĩa tập cực loại hữu hạn . 39
3.2.3. ðịnh lý thác triển chỉnh hình qua tập cực loại hữu hạn
ñóng với tập giá trị là không gian giả lồi . 39
3.2.4. ðịnh lý thác triển chỉnh hình qua tập cực loại hữu hạn
ñóng với tập giá trị là mặt Riemann compact hyperbolic 42
3.3. Miền Hartogs và thác triển chỉnh hình qua tập cực loại
hữu hạn 43
3.3.1.ðịnh nghĩa . 43
3.3.2. Tính chất thác triển chỉnh hình thực sự qua tập cực loại
hữu hạn (SPEP) 43
3.3.3. ðịnh lý về quan hệ giữa tính chất (SPEP) của không gian
giải tích Banach và miền Hartogs của nó 48
KẾT LUẬN . 51
TÀI LIỆU THAM KHẢO 52
4
MỞ ðẦU
1. Lý do chọn ñề tài:
Thác triển chỉnh hình là một trong những bài toán trung tâm của Giải
tích phức hữu hạn cũng như vô hạn chiều. Trên thế giới có nhiều nhà toán học
quan tâm tới vấn ñề này và trong khoảng hơn 3 thập kỷ qua ñã có nhiều kết
quả nghiên cứu quan trọng như Shiffman, Nguyen Thanh Van, Ahmed
Zeriahi, Ở Việt Nam hình thành một nhóm khá mạnh nghiên cứu về bài
toán này, trong ñó nổi bật các nhà khoa học Nguyễn Văn Khuê, Hà Huy
Khoái, ðỗ ðức Thái và Lê Mậu Hải.
Cho ñến nay việc thác triển ánh xạ chỉnh hình có hai dạng ñáng chú ý:
Dạng 1: Thác triển ánh xạ chỉnh hình lên bao chỉnh hình, hay còn gọi
là thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs. Trong ñó trường hợp ñặc biệt nhưng
quan trọng là với ñiều kiện nào của không gian phức X thì mọi ánh xạ chỉnh
hình từ 2 H r X ( )→ có thể thác triển chỉnh hình tới
2
∆ , ở ñây 0 1 < <r và
{ } { }
2 2
2 1 2 1 1 2 2 H r z z z r z z z r ( ) ( , ) :| | ( , ) :| | 1 = ∈ ∆ < ∪ ∈∆ > ư
với
∆ = ∈ {z C: |z| <1}
Dạng 2: Thác triển ánh xạ qua các tập mỏng (tức là các tập có ñộ ño
Lebegue bằng 0), chẳng hạn qua tập các ñiểm kỳ dị cô lập, qua siêu mặt hoặc
qua tập ña cực ñóng. Thác triển kiểu này ñược gọi là thác triển chỉnh hình
kiểu Riemann. 5
Trong ña số các trường hợp thì thác triển chỉnh hình kiểu Riemann tỏ ra
khó hơn rất nhiều so với thác triển chỉnh hình kiểu Hartogs.
Như vậy việc thác triển chỉnh chình kiểu Riemann là phương hướng
thứ hai của bài toán thác triển ánh xạ chỉnh hình. Nó ñã ñược quan tâm nghiên
cứu từ lâu bởi rất nhiều nhà toán học lớn. Cùng với sự hình thành của ngành
giải tích phức hyperbolic, phương hướng nghiên cứu nói trên ñã có những tiến
bộ ñáng kể, ñặc biệt là việc nghiên cứu bài toán thác triển ánh xạ chỉnh hình
qua ñiểm thủng. Từ ñịnh lý Kwack, ðỗ ðức Thái ñã có những công trình
nghiên cứu về tính chất
*
∆ - thác triển.
Năm 1995, ðỗ ðức Thái ñã chứng minh ñược rằng nếu X là một không
gian phức có tính chất 1 – thác triển chỉnh hình thực sự qua tập ña cực thì nó
có tính chất n - thác triển chỉnh hình thực sự qua tập ña cực với mọi n 2 ≥ .
Dựa vào lịch sử của vấn ñề ñược nêu trên, chúng tôi nhận thấy vai trò
quan trọng của việc nghiên cứu bài toán thác triển chỉnh hình kiểu Riemann.
ðể có thể ñọc ñược và hiểu biết các kiến thức có liên quan, tôi ñã ñược giảng
viên hướng dẫn tạo ñiều kiện ñể tiếp xúc với các tài liệu khoa học và các sách
giáo khoa nâng cao về giải tích phức. ðó cũng là một cơ hội cho bản thân tôi
ñể củng cố các kiến thức về tôpô. Hơn nữa việc tìm hiểu bài toán thác triển
chỉnh hình kiểu Riemann cũng là cơ sở cho việc tìm hiểu một cách toàn diện
bài toán thác triển chỉnh hình.
ðó là lý do chúng tôi chọn ñề tài Luận văn là 6
“Thác triển chỉnh hình kiểu Riemann”
2. Mục ñích nghiên cứu.
Nghiên cứu bài toán thác triển chỉnh hình kiểu Riemann.
3. ðối tượng và phạm vi nghiên cứu.
Tô pô và Hình học giải tích phức.
4. Ý nghĩa khoa học thực tiễn của ñề tài.
Tìm hiểu bài toán thác triển chỉnh hình kiểu Reimann, từ cơ sở ñó tìm
hiểu một cách toàn diện bài toán thác triển ánh xạ chỉnh hình.
5. Cấu trúc luận văn.
Nội dung của Luận văn này gồm phần mở ñầu, ba chương nội dung và
phần kết luận. Cụ thể như sau:
Phần mở ñầu: Nêu xuất xứ của bài toán ñược nghiên cứu.
Chương 1: Trình bày các ñịnh nghĩa và các kết quả ñã ñược viết
thành giáo khoa có liên quan ñến ñề tài. Do kiến thức về tôpô và giải tích của
các tác giả có liên quan ñến bài toán chủ yếu do tự nghiên cứu tài liệu, do ñó
chúng tôi trình bày khá chi tiết về các nội dung này.
Chương 2: Thác triển chỉnh hình qua siêu mặt.
Xuất phát ñịnh lý về tính chất
*
∆ ưthác triển mà có thể ñược xem là
một sự mở rộng của ñịnh lý Kwack từ một chiều sang vô hạn chiều, chúng tôi
tìm hiểu bài toán thác triển chỉnh hình qua siêu mặt.
Chương 3: Thác triển chỉnh hình qua các tập cực. 7
Trước hết chúng tôi tìm hiểu việc thác triển chỉnh hình qua các tập cực
và sau ñó thác triển chỉnh hình qua các tập cực loại hữu hạn. Ngoài ra, chúng
tôi cũng tìm hiểu về miền Hartogs và liên quan ñến tính chất thác triển chỉnh
hình thực sự qua tập cực loại hữu hạn.
Phần kết luận: ðưa ra các nhận xét của bản thân tác giả về các kết quả
ñã tìm hiểu ñược, ñồng thời qua ñó phát thảo các hướng nghiên cứu tiếp theo
trong thời gian tới nếu thời gian và ñiều kiện cho phép.
Trong Luận Văn này, chúng tôi tìm hiểu các kết quả nói trên ñể củng
cố kiến thức của mình và ñồng thời nghiên cứu việc thác triển chỉnh hình qua
các tập cực ñóng và sau ñó nghiên cứu tính chất thác triển chỉnh hình qua tập
cực loại hữu hạn và tính chất thác triển chỉnh hình thực sự qua tập cực loại
hữu hạn. Do thời gian có hạn và nội dung kiến thức quá mới, chúng tôi chỉ
dừng lại ở chỗ tìm hiểu các bài báo và trình bày lại theo hiểu biết của mình.