Thạc Sĩ Tính toán ngẫu nhiên trong tài chính

Mở đầu

Toán tài chính là một ngành toán học ứng dụng nghiên cứu thị trường tài chính. Toán tài chính đi nghiên cứu các thành phần, đặc điểm, cấu trúc của thị trường tài chính, nhằm xây dưng các mô hình toán học và ứng dụng chúng và việc tính toán trong thị trường tài chính thực. Đây cũng là một lĩnh vực còn khá mới ở Việt Nam.
Nội dung của luận văn này sẽ đi trình bày về một số lý thuyết của giải tích ngẫu nhiên và ứng dụng của nó vào lĩnh vực tài chính. Luận văn được chia làm hai chương:

Chương 1: Cơ sở của tính toán ngẫu nhiên
Chương 2: Tính toán ngẫu nhiên trong một số mô hình tài chính

Trong chương 1, là các kiến thức cơ bản về giải tích ngẫu nhiên nhằm chuẩn bị cho luận văn. Ở đây, tôi đi trình bày về chuyển động Brown, tích phân Ito, phương trình vi phân ngẫu nhiên, tính chất Markov, phương trình lùi Kolmogorov, định lý Girsanov, độ đo trung hòa rủi ro, lý thuyết biểu diễn martingale. Trong chương 2, tôi đi trình bày về các ứng dụng của giải tích ngẫu nhiên vào tài chính, cụ thể ở đây là mô hình Black-Sholes, mô hình thị trường hai chiều, quyền chọn châu Âu up and out, quyền chọn kiểu châu Á, lý thuyết độ chênh thị giá, quyền chọn ngoài rào cản

Tuy đã có nhiều cố gắng, nhưng luận văn không thể tránh được những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được sự chỉ bảo và góp ý của thầy cô và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn.

Mục lục
Mở đầu 5
1 Cơ sở của tính toán ngẫu nhiên 7
1.1 Chuyển động Brown và các tính chất 7
1.1.1 Chuyển động Brown . 7
1.1.2 Biến phân và biến phân bậc hai . 8
1.1.3 Chuyển động Brown nhiều chiều 10
1.1.4 Biến phân chéo của chuyển động Brown 11
1.1.5 Nhận diện chuyển động Brown . 12
1.1.6 Nguyên lý phản xạ cho chuyển động Brown 15
1.2 Tích phân Itô, công thức Itô . 18
1.2.1 Xây dựng tích phân Itô . 18
1.2.2 Tích phân Itô của hàm ngẫu nhiên bậc thang . 19
1.2.3 Một số tính chất về tích phân Itô của hàm ngẫu nhiên
bậc thang . 20
1.2.4 Tích phân Itô của hàm ngẫu nhiên . 21
1.2.5 Tính chất về tích phân Itô của hàm ngẫu nhiên 21
1.2.6 Biến phân bậc hai của tích phân Itô 22
1.2.7 Công thức Itô hàm ngẫu nhiên . 22
2
1.2.8 Giá trị trung bình và phương sai của quá trình CoxIngersoll-Ross
. 24
1.2.9 Công thức Itô nhiều chiều 26
1.3 Phương trình vi phân ngẫu nhiên 27
1.3.1 Phương trình vi phân ngẫu nhiên 27
1.3.2 Tính chất Markov 29
1.3.3 Mật độ chuyển 29
1.3.4 Phương trình lùi Kolmogorov 30
1.3.5 Liên hệ giữa tính toán ngẫu nhiên và phương trình lùi
Kolmogorov 31
1.3.6 Định lý Girsanov và độ đo trung hòa rủi ro 32
1.3.7 Biểu diễn Martingale . 39
1.3.8 Định lý biểu diễn Martingale nhiều chiều . 39
2 Tính toán ngẫu nhiên trong một số mô hình tài chính 41
2.1 Mô hình Black-Scholes 41
2.2 Mô hình thị trường nhiều chiều 47
2.2.1 Mô hình thị trường d-chiều . 47
2.2.2 Mô hình thị trường hai chiều 48
2.3 Quyền mua kiểu châu Âu up and out 53
2.4 Quyền chọn kiểu châu Á . 60
2.4.1 Định lý Feynman-Kac 61
2.4.2 Xây dựng bảo hộ . 62
2.4.3 Tiền chi trả bình quân cho quyền chọn Châu Á 63
2.5 Lý thuyết độ chênh thị giá 64
2.5.1 Mô hình nhị thức, phương án đầu tư có bảo hộ 64
2.5.2 Thiết lập mô hình liên tục 67
2.5.3 Định giá trung hòa rủi ro và bảo hộ 69
2.5.4 Thực hiện định giá trung hòa rủi ro và bảo hộ 72
3
2.6 Quyền chọn ngoài rào cản 73
2.6.1 Tính toán các giá trị của quyền chọn 76
2.6.2 Các phương trình vi phân ngẫu nhiên cho quyền chọn
ngoài rảo cản . 78
2.6.3 Bảo hộ . 80
Kết luận 82