Thạc Sĩ Tính ổn định của phương trình động học ngẫu nhiên trên thang thời gian

Lời mở đầu

Giải tích ngẫu nhiên là một lĩnh vực toán học nghiên cứu các phép tính giải tích (tích phân, đạo hàm, tính liên tục, khả vi, .) đối với quá trình ngẫu nhiên, nhằm mục đích xây dựng các mô hình toán học cho các hệ động lực có sự tác động của các yếu tố ngẫu nhiên. Do đó, giải tích ngẫu nhiên là ngành khoa học có nhiều ứng dụng trong sinh học, y học, vật lý học, kinh tế học, khoa học xã hội, . và được nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu. Cho đến nay giải tích ngẫu nhiên với thời gian rời rạc và thời gian liên tục đã được nghiên cứu khá đầy đủ.
Khi xây dựng mô hình toán học cho các hệ thống tiến triển theo thời gian, người ta thường giả thiết hệ thống hoạt động liên tục hoặc rời rạc đều, tức là các thời điểm quan sát cách nhau một khoảng cố định. Từ đó, các phép giải tích liên tục (phép tính vi phân) và rời rạc (phép tính sai phân) được nghiên cứu để mô tả hệ thống tương ứng với các giả thiết lý tưởng được đặt ra. Tuy nhiên, trên thực tế, hầu hết các hệ thống hoạt động không hoàn toàn liên tục và cũng không hoàn toàn cách đều nhau. Đôi khi các quan sát còn xen lẫn các khoảng thời gian liên tục với các thời điểm rời rạc. Chẳng hạn một loài sâu nào đó chỉ phát triển trong mùa hè nhưng đến mùa đông thì sự phát triển của chúng bị gián đoạn. Vì vậy, trong nhiều trường hợp, phương trình vi phân hoặc sai phân không đủ để mô tả các thông tin cần thiết của mô hình. Lý thuyết thang thời gian ra đời nhằm khắc phục nhược điểm này. Lý thuyết được đưa ra lần đầu tiên vào năm 1988 bởi S. Hilger, một nhà Toán học người Đức. Các kết quả nghiên cứu về giải tích trên thang thời gian cho phép chúng ta xây dựng được mô hình toán học của các hệ thống tiến triển không đều theo thời gian, phản ánh đúng mô hình thực tế. Do đó, chủ đề thang thời gian thu hút được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trên thế giới và đã có nhiều công trình được công bố trên các tạp chí toán học có uy tín.
Cho đến nay, các kết quả nghiên cứu về thang thời gian chủ yếu ở giải tích tất định.
Vì thế các kết quả này chỉ mô tả được các mô hình phát triển trong các điều kiện môi trường không có nhiễu biến đổi. Tuy nhiên, các mô hình thực tế phải tính đến các yếu tố ngẫu nhiên tác động vào. Mục đích của luận văn là trình bày các kết quả về giải tích trên thang thời gian của các mô hình ngẫu nhiên.
Bố cục của luận văn bao gồm ba chương:
ã Chương 1 trình bày những vấn đề cơ bản về giải tích tất định và quá trình ngẫu nhiên trên thang thời gian.
ã Chương 2 trình bày tích phân ngẫu nhiên theo martingale bình phương khả tích; công thức Itô đối với bộ dưsemimartingale trên thang thời gian và phát biểu bài toán martingale.
ã Chương 3 trình bày phương trình động lực ngẫu nhiên trên thang thời gian với nhiễu là martingale bình phương khả tích; công thức ước lượng moment đối với nghiệm của phương trình và trình bày điều kiện cần và đủ cho tính ổn định mũ của phương trình qua các hàm Lyapunov.

Mục lục
Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị 5
1.1. Các khái niệm cơ bản về giải tích trên thang thời gian 5
1.2. Quá trình ngẫu nhiên trên thang thời gian 15
Chương 2. Tích phân ngẫu nhiên trên thang thời gian 20
2.1. Tích phân ngẫu nhiên trên thang thời gian 20
2.2. Công thức Itô và ứng dụng 26
2.3. Phát biểu bài toán martingale 36
Chương 3. Tính ổn định của phương trình động lực ngẫu nhiên trên thang
thời gian 42
3.1. Phương trình động lực ngẫu nhiên trên thang thời gian . 42
3.2. Ước lượng moment 54
3.3. Tính ổn định của phương trình động lực ngẫu nhiên trên thang thời gian 60
Tài liệu tham khảo 71