Thạc Sĩ Tính mở của ánh xạ đa trị và các định lý hàm ẩn

Mục lục
Lời mở đầu 1
1 Kiến thức chuẩn bị 5
1.1 Ánh xạ đa trị 5
1.2 Nguyên lý biến phân Ekeland . 9
1.3 Nón pháp tuyến, dưới vi phân, đối đạo hàm . 9
1.4 Quy tắc tổng mờ 11
2 Các kết quả về tính mở 15
2.1 Định lý ánh xạ mở . 15
2.2 Sự cần thiết của tính đóng . 20
2.3 Trường hợp ánh xạ có tham số . 22
3 Các định lý hàm ẩn 26
3.1 Tính nửa liên tục dưới của hàm ẩn đa trị . 26
3.2 Tính mêtric chính quy của hàm ẩn đa trị . 28
3.3 Đối đạo hàm của hàm ẩn đa trị 33
iLuận văn thạc sĩ toán học Dương Thị Kim Huyền
3.4 Tính giả Lipschitz của hàm ẩn đa trị . 36
Kết luận 38
iiLuận văn thạc sĩ toán học Dương Thị Kim Huyền
MỘT SỐ KÝ HIỆU
kxk chuẩn của x
V(x) họ các lân cận của x
B(x, r), D(x, r) hình cầu mở và hình cầu đóng tâm x,
bán kính r
SX mặt cầu đơn vị trong X
d(x, A) khoảng cách từ x đến A
x
S
→ x x ¯ → x¯ và x ∈ S
x
f
→ x x ¯ → x¯ và f(x) → f(¯x)
Nbε(S, x) tập các véctơ ε-pháp tuyến của S tại x
Nb(S, x) nón pháp tuyến Fréchet của S tại x
N(S, x¯) nón pháp tuyến cơ sở của S tại x¯
∂fb (¯x) dưới vi phân Fréchet của f tại x¯
∂f(¯x) dưới vi phân cơ sở của f tại x¯
δΩ hàm chỉ của tập ∅ 6= Ω ⊂ X
F : X ⇒ Y ánh xạ đa trị từ X vào Y
DomF miền hữu hiệu của F
GrF đồ thị của F
Db∗F(¯x, y¯)(·) đối đạo hàm Fréchet của F tại (¯x, y¯)
D∗F(¯x, y¯)(·) đối đạo hàm Mordukhovich của F tại (¯x, y¯)
iiiLuận văn thạc sĩ toán học Dương Thị Kim Huyền
Lời mở đầu
Tiếp sau sự phát triển đạt đến mức độ hoàn thiện của Giải
tích lồi [21], Giải tích không trơn [7], Giải tích đa trị [3, 4], một
lý thuyết mới dưới tên gọi là Giải tích biến phân đã ra đời và
ngày càng được chú ý. Các kết quả cơ bản của Giải tích biến
phân trong các không gian hữu hạn chiều của đã được trình bày
trong cuốn chuyên khảo của R. T. Rockafellar và R. J.-B. Wets
[22]. Bộ sách hai tập [17] của B. S. Mordukhovich trình bày
nhiều kết quả sâu sắc về Giải tích biến phân và phép tính vi
phân suy rộng trong không gian vô hạn chiều, cùng với những
ứng dụng phong phú trong Quy hoạch toán học, Lý thuyết các
bài toán cân bằng, Điều khiển tối ưu các hệ động lực được mô
tả bởi phương trình tiến hóa, Điều khiển tối ưu các hệ động
lực được mô tả bởi phương trình đạo hàm riêng, Tối ưu véctơ,
và Cân bằng kinh tế. Các kỹ thuật cơ bản của Giải tích biến
phân và mối liên hệ của nó với các kỹ thuật của Giải tích hàm
được trình bày trong cuốn chuyên khảo của J. M. Borwein và
Q. J. Zhu [6].
Tính mở là một tính chất quan trọng khi nghiên cứu ánh
xạ đa trị cũng như ánh xạ đơn trị. Tính chất này rất hữu ích
trong nhiều lĩnh vực của lý thuyết tối ưu, ví dụ như trong việc
nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của bài toán bị nhiễu, hay trong
việc chứng minh các điều kiện tối ưu cho các bài toán quy họach
toán học.
Luận văn này trình bày một số kết quả về tính mở của ánh
1Luận văn thạc sĩ toán học Dương Thị Kim Huyền
xạ đa trị và các định lý hàm ẩn dựa trên bài báo [10] của hai
nhà toán học Rumani là M. Durea và R. Strugariu (đã được
đăng trên Pacific Journal of Optimization, Vol. 6, No. 3, 2010,
pp. 533-549). Những kết quả của hai tác giả này đã phát triển
và làm sâu sắc thêm các định lý hàm ẩn trong bài báo của
G. M. Lee, N. N. Tam và N. D. Yen [13].
Khả năng sử dụng cách tiếp cận của [10] để phát triển thêm
một bước các kết quả của N. D. Yen và J.-C. Yao [23] (sử dụng
đối đạo hàm Mordukhovich tại một điểm trên đồ thị của ánh xạ
đa trị được xét) vẫn còn là một vấn đề mở.
Lưu ý rằng các kết quả tương tự như các kết quả của [10] đã
được M. Durea trình bày trong [9].
Chương 1 trình bày các khái niệm thông dụng trong Giải tích
đa trị và Giải tích biến phân, cùng với một số kết quả kinh điển:
Nguyên lý biến phân Ekeland, Quy tắc tổng mờ.
Chương 2 chứng minh một số kết quả về tính mở của ánh
xạ đa trị, xét riêng các trường hợp ánh xạ không có tham số và
ánh xạ có tham số. Ở đây, theo cách tiếp cận của M. Durea và
R. Strugariu [10], chúng ta khai thác một điều kiện chính quy
của họ đối đạo hàm Fréchet: Tồn tại các hằng số c > 0, r > 0,
s > 0 sao cho với mọi (x, y) ∈ GrF ∩ [B(¯x, r) × B(¯y, s)] và với
mọi y
∗ ∈ Y
∗
, x∗ ∈ Dˆ∗F(x, y)(y
∗
),
cky
∗
k ≤ kx
∗
k, (1)
trong đó Dˆ∗F(x, y)(·) : Y
∗ ⇒ X∗ ký hiệu đối đạo hàm Fréchet
của ánh xạ đa trị F : X ⇒ Y giữa hai không gian Asplund X
2Luận văn thạc sĩ toán học Dương Thị Kim Huyền
và Y tại điểm (x, y) thuộc tập đồ thị
GrF := {(u, v) ∈ X × Y | v ∈ F(u)}, (2)
và B(¯x, r) ký hiệu hình cầu mở có tâm x¯ và bán kính r. Điều
kiện chính quy vừa nêu tương tự với các điều kiện đã được các
tác giả khác đưa ra trước đây [12, 13, 18]. Số c trong (1) có liên
quan đến khái niệm hằng số Banach (chính là độ mở) của toán
tử tuyến tính.
Chương 3 đề cập đến hàm ẩn đa trị. Chúng ta sẽ thấy rằng,
dưới những giả thiết thích hợp, hàm ẩn đa trị thừa hưởng một
số tính chất của ánh xạ đa trị chứa tham số ban đầu. Cụ thể
hơn, các tính chất được bàn tới ở đây là tính nửa liên tục dưới,
tính chính quy mêtric, tính giả Lipschitz (còn được gọi là tính
chất Aubin, hoặc tính giống-Lipschitz). Các tính chất này được
chứng minh dựa trên các kết quả trình bày trong Chương 2.
Trong số các kết quả ở Chương 3, còn có một đánh giá dưới cho
đối đạo hàm của hàm ẩn đa trị (Định lý 3.3).
Luận văn có một kết quả mới, đó là khẳng định ở Mục 2.2
(Chương 2) nói rằng kết luận trong định lý ánh xạ mở của
M. Durea và R. Strugariu [10, Theorem 3.1] không còn đúng,
nếu loại bỏ giả thiết về tính đóng của ánh xạ đa trị được xét.
Luận văn này được hoàn thành tại Viện Toán học, Viện Khoa
học và Công nghệ Việt Nam, dưới sự hướng dẫn của GS. TSKH.
Nguyễn Đông Yên.
Tác giả chân thành cảm ơn thầy Nguyễn Đông Yên và các
nghiên cứu sinh của thầy đã giúp đỡ tác giả rất nhiều trong quá
trình làm luận văn.
Tác giả cũng xin được bày tỏ lòng biết ơn các thầy cô và
3Luận văn thạc sĩ toán học Dương Thị Kim Huyền
cán bộ công nhân viên của Viện Toán học đã quan tâm giúp đỡ
trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại Viện.
Hà Nội, ngày 29 tháng 8 năm 2011