Thạc Sĩ Tính Hyperbolic của miền Hartogs

Mục lục
Mở đầu 1
1 Kiến thức chuẩn bị 3
1.1. Các hàm bất biến . 3
1.2. Giả khoảng cách Kobayashi . 5
1.3. Tính hyperbolic ứng với các hàm bất biến . 5
1.4. Hàm điều hoà dưới 7
1.5. Hàm đa điều hoà dưới 7
1.6. Miền cân bằng 8
1.7. Miền taut . 8
2 Tính Hyperbolic của miền Hartogs với thớ cân bằng 10
3 Tính Hyperbolic của miền Hartogs - Laurent 24
Kết luận 33
Tài liệu tham khảo 34iv
Danh mục ký hiệu
A >0 := {x ∈ A : x > 0}, trong đó A ⊂ R ;
A >0 := {x ∈ A : x > 0}, trong đó A ⊂ R ;
U∗ := U\{0}, trong đó 0 ∈ U ⊂ C
n
;
S n = S × . × S (n - lần);
S b T : S là compact tương đối trong T;
∂S: Biên của S ;
| · | ≡ || · || C : chuẩn Euclid trong C ;
|| · || ≡ || · || n
C : chuẩn Euclid trong C
n
;
B
1 (λ, r) := B |·|(λ, r), λ ∈ C , r > 0;
B
n (z, r) := B ||·||(z, r), z ∈ C
n , r > 0;
E := B
1 (0, 1): đĩa đơn vị trong mặt phẳng phức;
C ↑
(G): tập hợp tất cả các hàm nửa liên tục trên f : G → [ư∞, +∞);
C(G, G
0
) : tập hợp tất cả các hàm liên tục từ G vào G
0
;
C(G) := C(G, C );
O(G, G
0
) : tập hợp các ánh xạ chỉnh hình từ G vào G
0
;
O(G) := O(G, C );
H
∞
(G) : tập hợp tất cả các hàm chỉnh hình bị chặn trong G;
H
∞
(G)
∼
= C : tất cả các hàm chỉnh hình bị chặn trên G đều là hằng số;
PSH(G): tập hợp tất cả các hàm đa điều hoà dưới trên G;
topd G : tôpô sinh bởi d G ;
topG: tôpô Euclid của G;1
Mở đầu
Nghiên cứu tính hyperbolic của các không gian phức là một trong những
bài toán cơ bản nhất của giải tích phức hyperbolic. Việc nghiên cứu đã
được tiến hành dưới nhiều góc độ khác nhau, chẳng hạn như tìm kiếm
những đặc trưng cho tính hyperbolic của một không gian phức tuỳ ý, khảo
sát tính hyperbolic của những lớp không gian phức cụ thể, ứng dụng tính
hyperbolic của không gian phức vào những lĩnh vực khác nhau của hình
học phức và giải tích phức . Trong những năm gần đây, việc nghiên cứu
tính hyperbolic của những lớp không gian phức cụ thể cũng như việc tìm
hiểu những lớp không gian phức hyperbolic ở dạng tường minh đã thu
hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học. Miền Hartogs thuộc vào
một trong số những lớp không gian phức như vậy.
Luận văn "Tính hyperbolic của miền Hartogs" nghiên cứu tính
hyperbolic của miền Hartogs Ω = Ω u,h (G) trên một miền G ⊂ C
n
với
thớ cân bằng m chiều, chỉ ra sự khác biệt giữa tính k ư hyperbolic và
tính
˜
k ưhyperbolic của Ω, đồng thời nghiên cứu tính hyperbolic của miền
Hartogs - Laurent Σ = Σ u,v (G) trên một miền G ⊂ C
n
và đưa ra điều
kiện cần và đủ để Σ là hyperbolic Brody.
Luận văn gồm 35 trang, trong đó có phần mở đầu, ba chương nội dung,
phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo.
Chương 1: Trình bày tổng quan và hệ thống lại các khái niệm và các
tính chất cần thiết cho hai chương sau.
Chương 2: Trình bày về tính hyperbolic của miền Hartogs Ω = Ω u,h (G)
với thớ cân bằng m chiều và chỉ ra sự khác biệt giữa tính k ư hyperbolic
và tính
˜
k ư hyperbolic của Ω.
Chương 3: Trình bày tính hyperbolic của miền Hartogs - Laurent Σ =2
Σ u,v (G) trên một miền G ⊂ C
n
và đưa ra điều kiện cần và đủ để Σ là
hyperbolic Brody.
Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt các kết quả được nghiên
cứu trong luận văn.
Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết, vì
vậy em rất mong nhận được những đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo
và các bạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn.
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2015
Tác giả
Bùi Thị Thu Hằng