Tiến Sĩ Tính hyperbolic của không gian phức và nhóm các CRtự đẳng cấu vi phân

3
MỤC LỤC
Lời cam đoan 1
Lời cảm ơn . 2
Danh mục các kí hiệu . 4
Mở đầu 6
Tổng quan 12
Chương 1. Tính hyperbolic modulo và tính taut modulo của
miền kiểu Hartogs 18
1.1 Không gian hyperbolic modulo và taut modulo một tập con giải
tích 18
1.2 Tính hyperbolic modulo S × C
m
của miền Ω H (X) 23
1.3 Tính taut modulo S × C
m
của miền Ω H (X) . 28
Chương 2. Đường cong giới hạn Brody trong C
n
và ( C
∗
) 2
37
2.1 Tính chuẩn tắc của họ các ánh xạ chỉnh hình nhiều biến phức . 37
2.2 Vấn đề đường cong giới hạn Brody trong C
n
. 47
2.3 Vấn đề đường cong giới hạn Brody trong ( C
∗
) 2
50
Chương 3. Nhóm các CR-tự đẳng cấu vi phân 58
3.1 Ví dụ về trường vectơ chỉnh hình tiếp xúc với siêu mặt thực nhẵn 58
3.2 Không gian vectơ thực của các trường vectơ tiếp xúc chỉnh hình 64
Kết luận và Kiến nghị 77
Danh mục công trình công bố của tác giả 79
Tài liệu tham khảo 804
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU
ã N , Z , Q , R , C : tương ứng là tập số tự nhiên, tập số nguyên, tập số hữu
tỷ, tập số thực, tập số phức.
ã Ω: Một miền trong C
n .
ã Aut(Ω): Nhóm tự đẳng cấu của miền Ω.
ã Hol(X, Y ): Không gian các ánh xạ chỉnh hình từ không gian phức X
vào không gian phức Y được trang bị tôpô compact mở.
ã c X : Giả khoảng cách Caratheodory trên không gian phức X.
ã d X : Giả khoảng cách Kobayashi trên không gian phức X.
ã D
r := {z ∈ C : |z| < r}: Đĩa mở bán kính r trong C , ta kí hiệu D
1 bởi
D .
ã ρ(a, b) := log
|1ưab|+|aưb|
|1ưab|ư|aưb|
, với mọi a, b ∈ D : Khoảng cách Poincare trên
D .
ã ds 2
FS
: Metric Fubini-Study trên P
n ( C ).
ã a . b có nghĩa là tồn tại hằng số C > 0, không phụ thuộc vào các tham
số sao cho a ≤ Cb.
ã a & b có nghĩa là tồn tại hằng số C > 0, không phụ thuộc vào các tham
số sao cho a ≥ Cb.
ã a ≈ b có nghĩa là tồn tại các hằng số C 1 > 0, C 2 > 0 không phụ thuộc
vào các tham số sao cho C 1 b ≤ a ≤ C 2 b.
ã Ω H (X): Miền kiểu Hartogs.5
ã Ω ϕ (X): Miền Hartogs.
ã (M, p): Mầm các siêu mặt thực nhẵn lớp C 1
tại p ∈ C
n .
ã hol 0 (M, p): Không gian vectơ thực gồm tất cả các mầm trường vectơ
chỉnh hình (H, p) triệt tiêu tại p và tiếp xúc với M.
ã (X, p): Mầm trường vectơ nhẵn trên M.
ã (H, p): Mầm trường vectơ chỉnh hình trong C
n .6
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Vào những năm 60 của thế kỷ trước, nhà toán học Nhật Bản Shoshichi
Kobayashi đã xây dựng trên mỗi không gian phức một giả khoảng cách bất
biến đối với các tự đẳng cấu chỉnh hình. Giả khoảng cách đó ngày nay được
gọi là giả khoảng cách Kobayashi. Khi giả khoảng cách Kobayashi trên một
không gian phức trở thành khoảng cách thì không gian phức đó được gọi
là không gian phức hyperbolic. Tính hyperbolic của không gian phức cho
phép chúng ta tiếp cận đến nhiều tính chất hình học của không gian phức.
Ta thấy, tính hyperbolic của không gian phức thực chất là kiểm soát
tính không suy biến của giả khoảng cách Kobayashi tại hai điểm bất kỳ
của không gian đó. Vì thế, một vấn đề tự nhiên được đặt ra là: Ta có thể
thu được những tính chất hình học như thế nào trong trường hợp ta không
thể kiểm soát được tính không suy biến của giả khoảng cách Kobayashi
tại một số cặp điểm? Từ ý tưởng trên, S. Kobayashi đã đề xuất khái niệm
không gian phức hyperbolic modulo một tập con giải tích. Ông và một vài
tác giả sau này đã nghiên cứu vấn đề trên và thu được nhiều kết quả đẹp
đẽ. Tuy nhiên, chúng ta biết chưa nhiều ví dụ cụ thể về không gian phức
hyperbolic modulo một tập con giải tích. Ngoài ra, những kết quả của M.
Zaidenberg, J. Noguchi về giả thuyết Mordell trong tình huống compact và
không compact cho chúng ta thấy rõ tầm quan trọng của việc nghiên cứu
tính hyperbolic modulo một tập con giải tích.
Từ lý do trên, luận án đặt ra vấn đề đầu tiên là nghiên cứu tính hyperbolic
modulo một tập con giải tích và những thuộc tính liên quan của miền kiểu
Hartogs. Nói thêm rằng miền Hartogs là trường hợp đặc biệt của miền kiểu7
Hartogs và là một đối tượng cơ bản, quen thuộc của giải tích phức nhiều
biến. Những kết quả của luận án về chủ đề này sẽ góp phần để hiểu rõ hơn
những tính chất hình học của miền Hartogs.
Một ứng dụng quan trọng của tính hyperbolic đó là, tính hyperbolic cho
phép chúng ta kiểm soát hình thái của dãy đĩa chỉnh hình trong một đa
tạp phức khi dãy đĩa đó tiến ra "vô cùng" (tức là tiến ra "biên" của đa
tạp). Đã có nhiều kết quả đẹp của các nhà toán học trong và ngoài nước
về chủ đề này như: L. Zalcman, Đỗ Đức Thái, Nguyễn Văn Trào Hình
thái của dãy đĩa chỉnh hình trong đa tạp phức còn cho phép chúng ta tiếp
cận đến một số vấn đề của Hệ động lực học phức nhiều biến. Trong việc
nghiên cứu chủ đề này, nghiên cứu tính Zalcman của không gian phức là
một vấn đề rất quan trọng. Đặc biệt, giả thuyết về tính Zalcman của C
n
khi n ≥ 2 cho đến nay vẫn là một câu hỏi mở.
Vì thế vấn đề thứ hai được nghiên cứu trong luận án là nghiên cứu đường
cong giới hạn Brody trong C
n
và ( C
∗
) 2 . Chúng tôi hy vọng rằng cách tiếp
cận của chúng tôi về vấn đề này sẽ cho phép chúng ta giải quyết được giả
thuyết về tính Zalcman đã nói ở trên.
Như chúng ta đã biết, hình học theo quan điểm KLEIN là hình học của
các nhóm biến đổi. Vì thế một bài toán cổ điển trong hình học đó là mô tả
các tự đẳng cấu của một lớp đa tạp nào đó. Trong phần cuối của luận án,
dưới góc độ của hình học phức hyperbolic, chúng tôi giải quyết vấn đề thứ
ba của luận án đó là mô tả tường minh các CR-tự đẳng cấu vi phân giải
tích thực của một lớp các siêu mặt thực kiểu vô hạn trong C
2 .
Với tất cả những lý do trên, chúng tôi lựa chọn đề tài luận án là: "Tính
hyperbolic của không gian phức và nhóm các CR-tự đẳng cấu vi8
phân". Chúng tôi hy vọng rằng những kết quả đạt được của luận án sẽ
góp phần giúp chúng ta hiểu rõ hơn các đặc trưng hình học của các không
gian phức.
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận án là:
Đưa ra điều kiện cần và đủ cho tính hyperbolic modulo và tính taut
modulo một tập con giải tích của miền kiểu Hartogs.
Đưa ra câu trả lời cho giả thuyết về tính Zalcman của không gian phức
C
n
.
Miêu tả nhóm các CR-tự đẳng cấu vi phân giải tích thực của các siêu
mặt kiểu vô hạn thông qua không gian vectơ các trường vectơ tiếp xúc
chỉnh hình.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của luận án gồm các không gian phức, miền kiểu
Hartogs, siêu mặt thực nhẵn kiểu vô hạn M trong C
2 .
Phạm vi nghiên cứu của đề tài đó là tính hyperbolic modulo, tính taut
modulo một tập con giải tích của miền kiểu Hartogs; tính Zalcman của
không gian phức; trường vectơ tiếp xúc chỉnh hình của siêu mặt thực nhẵn
kiểu vô hạn M trong C
2 .
4. Phương pháp nghiên cứu
Để giải quyết các vấn đề đặt ra trong luận án, chúng tôi sử dụng các
phương pháp và kỹ thuật truyền thống của Giải tích phức, Hình học
phức,
5. Các kết quả đạt được và ý nghĩa của đề tài
Luận án đạt được một số kết quả sau:9
Vấn đề 1: Nghiên cứu tính hyperbolic modulo một tập con giải tích và
những thuộc tính liên quan của miền kiểu Hartogs.
Định lý 1.2.4: Giả sử X là không gian phức và S là một tập con giải
tích của X. Khi đó Ω H (X) là hyperbolic modulo S × C
m
nếu và chỉ nếu X
là hyperbolic modulo S và hàm H thỏa mãn điều kiện sau: Nếu {x k } k≥1 ⊂
X \ S với lim
k→∞
x k = x 0 ∈ X \ S và {w k } k≥1 ⊂ C
m
với lim
k→∞
w k = w 0 6=
0, thì lim sup
k→∞
H(x k , w k ) 6= 0.
Định lý 1.3.1: Giả sử X là một không gian phức và S là một tập con
giải tích trong X. Khi đó
i. Nếu Ω H (X) là taut modulo S × C
m
thì X là taut modulo S và log H là
đa điều hòa dưới, liên tục trên (X \ S) × C
m
.
ii. Đặc biệt hơn, nếu X là không gian phức liên thông bất khả quy địa
phương và S là tập con giải tích (thực sự) thì log H là đa điều hòa dưới
trên X × C
m
.
iii. Ngược lại, nếu X là taut modulo S, H là liên tục trên (X \ S) × C
m
và log H là đa điều hòa dưới trên X × C
m
thì Ω H (X) là taut modulo
S × C
m .
Vấn đề 2: Nghiên cứu đường cong giới hạn Brody trong C
n
và ( C
∗
) 2 .
Định lý 2.2.3: C
n (n ≥ 2) không là kiểu E-giới hạn đối với bất kỳ hàm
độ dài E trên C
n
.
Định lý 2.3.1: ( C
∗
) 2
không là kiểu ds 2
FS
-giới hạn, ở đây ds 2
FS
là metric
Fubini-Study trên P
2 ( C ).
Ngoài ra, luận án còn đưa ra một tiêu chuẩn cho tính chuẩn tắc của họ
các ánh xạ chỉnh hình nhiều biến phức vào một không gian phức compact10
với metric Hermit tùy ý.
Định lý 2.1.9: Giả sử Ω là một miền trong C và X là một không gian
phức compact với metric Hermit E. Giả sử S là một siêu mặt phức trong
X và đặt M = X \ S. Giả sử F ⊂ Hol(Ω, M). Khi đó họ F là không chuẩn
tắc nếu và chỉ nếu tồn tại dãy {p j } ⊂ Ω với p j → p 0 ∈ Ω khi j → ∞,
{f j } ⊂ F, {ρ j } ⊂ R với ρ j > 0 và ρ j → 0 +
khi j → ∞ sao cho
g j (ξ) := f j (p j + ρ j ξ), ξ ∈ C
thỏa mãn một trong hai khẳng định sau:
(i) Dãy {g j } phân kỳ compact trên C ;
(ii) Dãy {g j } hội tụ đều trên các tập con compact của C tới một đường
cong E-Brody không hằng g : C → M.
Vấn đề 3: Miêu tả nhóm các CR-tự đẳng cấu vi phân giải tích thực của
một lớp các siêu mặt thực trong C
2 .
Định lý 3.2.4: Giả sử (M, 0) là một mầm siêu mặt thực nhẵn lớp C 1
tại 0 được xác định bởi phương trình ρ(z) := ρ(z 1 , z 2 ) = Rez 1 + P(z 2 ) +
Imz 1 Q(z 2 , Imz 1 ) = 0, trong đó P, Q thoả mãn các điều kiện sau:
(1) P, Q nhẵn lớp C 1
với P(0) = Q(0, 0) = 0,
(2) P(z 2 ) > 0 với bất kỳ z 2 6= 0
(3) P(z 2 ), P
0
(z 2 ) phẳng tại z 2 = 0.
Khi đó dim R hol 0 (M, 0) ≤ 1.
6. Cấu trúc luận án
Luận án bao gồm ba chương, được viết dựa trên bốn công trình đã được
đăng và nhận đăng trên các tạp chí trong và ngoài nước. Cụ thể:11
Chương 1 với tên gọi "Tính hyperbolic modulo và tính taut modulo của
miền kiểu Hartogs", chúng tôi trình bày chi tiết chứng minh về điều kiện
cần và đủ cho tính hyperbolic modulo, tính taut modulo S × C
m
của miền
kiểu Hartogs Ω H (X). Bên cạnh đó, trong chương này chúng tôi còn trình
bày chứng minh định lý Eastwood cho tính hyperbolic modulo.
Chương 2 với tên gọi "Đường cong giới hạn Brody trong C
n
và ( C
∗
) 2
",
chúng tôi trình bày chứng minh một khẳng định cho giả thuyết về tính
Zalcman của không gian phức C
n
. Thêm nữa, trong chương này chúng tôi
trình bày một chứng minh khác của Định lý 2.5 trong [28] và chứng minh
định lý này còn đúng trong trường hợp họ các ánh xạ chỉnh hình nhiều
biến phức vào một không gian phức compact với metric Hermit tùy ý.
Chương 3 với tên gọi "Nhóm các CR-tự đẳng cấu vi phân", chúng tôi sẽ
mô tả tường minh nhóm các CR-tự đẳng cấu vi phân giải tích thực của một
lớp các siêu mặt thực kiểu vô hạn trong C
2
thông qua việc mô tả không
gian vectơ thực các mầm trường vectơ chỉnh hình tiếp xúc với siêu mặt
đó. Cụ thể chúng tôi chứng minh rằng hol 0 (M, p) của siêu mặt kiểu vô hạn
D’Angelo trong C
2
có số chiều thực không vượt quá 1.
Ngoài ba chương chính ở trên, luận án còn có các phần như: Mở đầu,
Danh mục kí hiệu, Tổng quan, Kết luận và Kiến nghị, Danh mục công trình
công bố của tác giả, Tài liệu tham khảo, Mục lục.