Thạc Sĩ Tính đơn điệu của dưới vi phân hàm lồi

Luận văn thạc sĩ năm 2012
Đề tài: TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA DƯỚI VI PHÂN HÀM LỒI

Mục lục
Lời cảm ơn . iii
Mở đầu . vi
0.1. Lý do chọn đề tài . vi
0.2. Mục đích và nhiệm vụ vi
0.2.1. Mục đích nghiên cứu vi
0.2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu . vi
0.2.3. Phương pháp nghiên cứu vii
0.2.4. Bố cục luận văn vii
Chương 1. Tập lồi và hàm lồi trong không gian Hilbert thực . 1
1.1. Không gian Hilbert thực 1
1.1.1. Định nghĩa và ví dụ 1
1.1.2. Các đẳng thức và bất đẳng thức 3
1.2. Tập lồi 6
1.2.1. Định nghĩa và ví dụ . 6
1.2.2. Một số tính chất quan trọng 6
1.2.3. Phép chiếu theo chuẩn . 8
1.2.4. Định lí tách tập lồi 10
1.3. Hàm lồi 11
1.3.1. Định nghĩa và ví dụ 11
1.3.2. Một số tính chất quan trọng 13
Chương 2. Dưới vi phân của hàm lồi và tính đơn điệu của nó . 16
2.1. Dưới vi phân 16
2.2. Đạo hàm theo hướng . 21
2.3. Tính đơn điệu của dưới vi phân 25
2.3.1. Toán tử đơn điệu 25
2.3.2. Toán tử đơn điệu cực đại 26
2.3.3. Tính đơn điệu của dưới vi phân hàm lồi . 27
Chương 3. Hàm tựa lồi, hàm giả lồi và tính đơn điệu suy rộng của
dưới vi phân . 30
3.1. Hàm tựa lồi và hàm giả lồi . 30
3.1.1. Định nghĩa và ví dụ . 30
3.1.2. Một số tính chất quan trọng . 31
3.2. Tính đơn điệu suy rộng của dưới vi phân hàm tựa lồi và hàm
giả lồi 34
3.2.1. Toán tử tựa đơn điệu và giả đơn điệu 34
3.2.2. Tính tựa đơn điệu và giả đơn điệu của đạo hàm của hàm tựa lồi và
hàm giả lồi . 35
Tài liệu tham khảo . 40

Mở đầu
0.1. Lý do chọn đề tài
Giải tích lồi là bộ môn quan trọng trong giải tích phi tuyến tính
hiện đại. Giải tích lồi nghiên cứu khía cạnh giải tích các khái niệm,
tính chất cơ bản của tập lồi và hàm lồi. Tính đơn điệu của dưới vi
phân hàm lồi là một trong những tính chất quan trọng của hàm lồi,
nó đã được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên
cứu và đã đạt được nhiều kết quả sâu sắc cùng với các ứng dụng quan
trọng trong các lĩnh vực khác nhau. Việc nghiên cứu về tính đơn điệu
của dưới vi phân hàm lồi và hoàn chỉnh hàm lồi vẫn là đề tài cần được
quan tâm và nghiên cứu trong bộ môn giải tích lồi.
0.2. Mục đích và nhiệm vụ
0.2.1. Mục đích nghiên cứu
Mục đích chính của luận văn là nghiên cứu và trình bày một cách
có hệ thống các kiến thức cơ bản và quan trọng nhất về dưới vi phân
của hàm lồi và tính đơn điệu của nó.
0.2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
Luận văn tập trung vào nhiệm vụ chính sau đây:
1) Nghiên cứu tập lồi và hàm lồi trong không gian Hilbert thực.
2) Đạo hàm theo hướng và dưới vi phân hàm lồi.
3) Tính đơn điệu của dưới vi phân hàm lồi.
4) Hàm tựa lồi và hàm giả lồi.
5) Tính đơn điệu suy rộng của dưới vi phân hàm tựa lồi và hàm giả
lồi.
0.2.3. Phương pháp nghiên cứu
- Sử dụng phương pháp của giải tích hàm kết hợp với phương pháp
của giải tích hiện đại.
- Sử dụng các phương pháp của lí thuyết tối ưu.
- Kế thừa phương pháp và kết quả của lý thuyết tôi ưu không trơn.
0.2.4. Bố cục luận văn
Nội dung luận văn gồm 47 trang, trong đó có phần mở đầu, ba
chương nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo.
Chương 1 : Trình bày một số kiến thức cơ bản như : Không gian
Hilbert thực, tập lồi, hàm lồi.
Chương 2 : Dưới vi phân hàm lồi và tính đơn điệu của nó.
Nội dung của chương này là trình bày việc xây dụng đạo hàm theo
hướng và dưới vi phân của hàm lồi, các toán tử đơn điệu và chỉ ra tính
đơn điệu của dưới vi phân hàm lồi.
Chương 3 : Hàm tựa lồi, hàm giả lồi và tính đơn điệu suy rộng của
dưới vi phân.
Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt các kết quả đạt được.

Chương 1
Tập lồi và hàm lồi trong không
gian Hilbert thực