Thạc Sĩ Tính chất Fredholm của nửa nhóm tiến hóa

Đề tài: Tính chất Fredholm của nửa nhóm tiến hóa
LỜ I CẢ M Ơ N
Lờ i đầ u tiên trong bả n luậ n văn này, tôi xin trân trọ ng kính gở i đế n Thầ y Lê Hoàn Hóa ngư ờ i
đã tận tâm hư ớ ng dẫ n, chỉ bả o cho tôi trong suố t quá tr ình hoàn thành luận văn, lòng biết ơ n chân
thành và sâu sắ c.
Xin bày tỏ lòng biết ơ n đố i vớ i Qu ý Thầy, Cô trong và ngoài Khoa Toán – Tin học, trư ờ ng
Đạ i Họ c Sư Phạ m Thành phố Hồ Chí Minh, trư ờ ng Đạ i họ c Khoa họ c Tự nhiên Thành phố Hồ Chí
Minh đã tận tình giảng dạy, truyền đạ t kiế n thứ c trong suố t thờ i gian họ c tậ p v à làm việc.
Chân thành cảm ơ n Quý Thầy, Cô trong Ban Chủ nhiệm Khoa Toán –Tin học, Quý Thầy, Cô
thuộc Phòng Quản lý Khoa học Công nghệ Sau Đạ i họ c, trư ờ ng Đạ i họ c Sư phạ m Thành phố Hồ
Chí Minh đã nhiệt tình giúp đỡ , độ ng vi ên, tạo mọi điề u kiệ n thuậ n lợ i về thủ tụ c h ành chính cho tôi
trong suốt quá trình học tập.
Xin cảm ơ n các bạ n bè đồ ng nghiệ p và các bạ n cùng lớ p cao họ c giả i tích khóa 18 đ ã luôn
độ ng viên và quan tâm trong thời gian học tâp và làm luận văn. Vì kiến thức bản thân còn nhiều hạn
chế, nên luận văn khó tránh khỏ i thiế u sót, rấ t mong nhậ n đư ợ c sự chỉ bả o củ a Qu ý Thầy, Cô và sự
góp ý chân thành của các bạn bè đồ ng nghiệ p.
Trầ n Thanh Hiệ p LỜ I CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan rằ ng nộ i dung luậ n văn này không đư ợ c sao chép bấ t kỳ luậ n văn nào khác
trư ớ c đây.
Họ c viên
Trầ n Thanh Hiệ p MỞ ĐẦU
Lý thuyế t Fredholm (ra đờ i vào 1903) là lý thuyế t về ph ư ơ ng tr ình vi phân. Theo nghĩa hẹp,
nó liên quan đế n nghiệm của phư ơ ng tr ình tích phân Fredholm. Theo nghĩa rộng, cấu trúc trừu
tư ợ ng c ủa lý thuyết Fredholm đư ợ c thể hi ện dư ớ i dạ ng l ý thuyết phổ của toán tử Fredholm và nhân
Fredholm trên không gian Hilbert. Và công cụ để nghiên cứu tính ổn định phổ của phư ơ ng tr ình
truyền sóng là lý thuyết lưỡng phân.
Một họ tiến hoá { ( , , , )}t
U t t
τ
τ τ
≥
∈¡ liên kết với phư ơ ng tr ình vi phân tuyến tính chỉnh,
không tự sinh trên không gian Banach X với các hệ số toán tử sinh ra ba toán tử
quan trọng xác định trên không gian các hàm nhận giá trị trong X:
(1) toán tử vi phân G, ( )
d
G A t
dt
ư
= + ; (0.1)
(2) toán tử hàm số E
t
, ( )( ) ( , , , 0 ) ( )
t
E u U t u t t τ τ τ τ τ = ư ư ∈ ≥ ¡ ; (0.2)
(3) toán tử sai phân Dτ
,
: , 1 , 0,1 ( n n n ) ( ( ) 1 ) [ )
n n
D x x U n n x
τ
τ τ τ
∈ ư
∈
ư + + ư ∈
¢ ¢
a . (0.3)
Trong khuôn khổ luận văn này, đầu tiên tác giả trình bày một chứng minh của Định lý lưỡng
phân trong trường hợp vô hạn chiều mà không có bất kỳ ràng buộc đặc biệt nào của toán tử A t( ).
Tiếp theo, tác giả trình bày tính chất Fredholm, tính chất phổ và tính đóng của miền giá trị của ba
toán tử nêu trên.
Luận văn được trình bày theo bố cục như sau:
Phần mở đầu giới thiệu tổng quan về các vấn đề chính được nghiên cứu trong luận văn, đồng thời
nêu bố cục của luận văn.
Chư ơ ng 1 là các ki ến thức chuẩn bị cơ bản về lý thuyết Fredholm, nửa nhóm tiến hóa, lưỡng phân
lũy thừa.
Chư ơ ng 2 được xây dựng gồm hệ thống các Định lý và Bổ đề dùng để chứng minh Định lý lưỡng
phân (Định lý 2.1, Định lý 2.2) trong trường hợp vô hạn chiều mà không có bất kỳ ràng buộc nào
của toán tử A(t).
Chư ơ ng 3 là s ự nối tiếp của chư ơ ng 2, tác gi ả trình bày tính chất Fredholm, tính chất phổ và tính
đóng của miền giá trị của các toán tử , ,
t
E G Dτ
.
Cuối cùng là phần Kết luận và Tài liệu tham khảo. Chư ơ ng 1
KIẾ N THỨC CHUẨN BỊ
1.1 Lý thuyế t Fredholm
Đị nh nghĩa 1.1
Cho X và Y là các không gian Banach, gọ i T X Y : → là toán tử tuyế n tính bị chặ n, T đư ợc gọ i là
Fredholm nế u:
(i) dim Ker T < ∞ ;
(ii) ImT đóng;
(iii) dim CoKer T < ∞ .(dim dim / Im CoKerT Y T = ( )).
Khi T là ánh xạ Fredholm, chỉ số c ủa T kí hiệu IndT là số nguyên xác định bởi:
Ind dim dimIm T KerT co T = ư
Tính chất 1.2
Từ định nghĩa trên và từ những kết quả cơ bản của giải tích hàm tuyến tính, tồn tại các phép chiếu
liên tục
P X X : → , Q Y Y : → thỏa: Im Ker P T = ; Ker Im Q T = .
Do đó,
er er
Im Im
X K T K P
Y T Q
= ⊕
= ⊕
Bổ đề 1.3 Cho T X Y : → là toán tử thỏ a ImT chứ a một không gian con đầ y, đóng thì ImT đóng.
Bổ đề 1.4 Kí hiệu Fred , ( X Y) là không gian các toán tử Ferdholm từ X vào Y và Fred( X ) là tậ p các
toán tử Fredholm xác đị nh trên X. Ta có Fred , ( X Y) là tậ p mở của B(X,Y) và chỉ số Fredholm là
hàm hằng trên Fred(X,Y).
Bổ đề 1.5 Cho T X X : → là toán tử compact, khi đó I T+ là Fredholm.
Bổ đề 1.6 Cho T X Y : → và S Y Z : → là các toán tử Fredholm. Khi đó, ST X Z : → cũng là Fredholm.
Hơ n nữ a, Ind Ind Ind ( ST T S ) = + ( ) ( ) .
Định nghĩa 1.7
Cặ p Fredholm: cặ p không gian con (W,V) trong X đư ợ c gọ i là cặ p Fredholm nế u:
i) α (W, dim W V V ) = < ∞ ( I )
ii) W +V : đóng
iii) β (W, dim W V co V ) = + < ∞ ( )Chỉ số Fredholm: Chỉ số Fredholm củ a cặ p không gian con (W,V) là
ind W, W, W, . ( V V V ) = ư α β ( ) ( )
1.2 Họ tiế n hoá và nửa nhóm tiến hoá
Định nghĩa 1.2.1 Cho X là không gian Banach, L(X) là không gian các toán tử tuyế n tính bị chặ n
trên X. Họ { ( )} ( )
t 0
T t L X
≥
T = ⊂ đư ợc gọ i là nử a nhóm trên X nế u
T I (0) = và T t s T t T s ( + =) ( ) ( ) vớ i mọ i t s, 0 ≥ .
Nử a nhóm { ( )}t 0
T t
≥
T = đư ợc gọ i là bị chặ n lũy thừa nế u tồ n tạ i M ≥1 và ω > 0 sao cho
( ) , 0
t
T t Me t
ω
≤ ∀ ≥ .
Định nghĩa 1.2.2 Toán tử P L X ∈ ( ) đư ợc gọ i là phép chiế u nế u
2
P P = . Nử a nhóm { ( )}t 0
T t
≥
T =
đư ợc gọ i là lư ỡ ng phân lũy thừ a nế u tồ n tạ i mộ t phép chiế u P L X ∈ ( ) và hai hằ ng số K ≥1 và ν > 0
sao cho
(i) T t P PT t t ( ) = ∀ ≥ ( ), 0;
(ii) ( ) , Im
t
T t x Ker x x P
ưν
≤ ∀ ∈ và ∀ ≥t 0 ;
(iii) ( )
1
,
t
T t x e x x KerP
K
ν
≥ ∈ và ∀ ≥t 0 ;
(iv) ( ) er
: er er T t K P K P K P → là mộ t đẳ ng cấ u ∀ ≥t 0 .
Ví dụ: Trên
2
X R = đư ợ c trang bị chu ẩn ( x x x x
1 2 1 2
, ) = + , ta định nghĩa T t X X ( ): → như sau
( )( ) ( ) ( )
2
1 2 1 2 1 2
, , , , , 0
t t
T t x x e x e x x x x R t
ư
= ∀ = ∈ ∀ ≥ .
Khi đó, nửa nhóm { ( )}t 0
T t
≥
T = là lưỡng phân lũy thừa.
Định nghĩa 1.2.3 Nếu { ( )}t 0
T t
≥
T = là nửa nhóm trên X và U X ⊂ là một không gian con tuyến tính,
U được gọi là T – bấ t biế n nếu T t U U t ( ) ⊂ ∀ ≥ , 0.
Một họ {U t t J ( , , , τ τ )
t≥τ} ∈ gồm các toán tử tuyến tính bị chặn trên X được gọi là họ tiế n hóa bị
chặ n lũy thừ a liên tụ c mạ nh trên J nếu:
i) Với mỗi x X ∈ , ánh xạ (t U t x , , τ τ ) a ( ) liên tục với mọi t ≥τ thuộc J
ii)
( )
sup , : , , { ( ) }
t
e U t t J t
ω τ
τ τ τ
ư ư
∈ ≥ < ∞, với ω ∈R tùy ý iii) U t t I U t U t s U s ( , , , , , ) = = ( τ τ ) ( ) ( ) vớ i mọ i t s ≥ ≥τ thuộc J.
Nửa nhóm tiến hóa:
{ } 0
t
t
E
≥
là nử a nhóm tiế n hóa xác đị nh trên không gian L R X p ( , ), 1 ≤ < ∞ p hoặ c
C R X 0 ( , ) _không gian các hàm liên tục triệ t tiêu tạ i ±∞ , theo qui tắc:
( )( ) ( , , , 0 ) ( )
t
E u U t u t R t τ τ τ τ τ = ư ư ∈ ≥ .
Ta đị nh nghĩa toán tử G trên Lp liên kế t vớ i nử a nhóm tiế n hóa trên nh ư sau:
(Gu t u t A t u t )( ) = ư + '( ) ( ) ( ) vớ i miề n xác đị nh:
{ ( ) ( )}
1
dom W : G u L u t domA t = ∩ ∈ ∈ p p
. (1.1)
Ta gọ i G là mở rộng đóng của G.
Nửa nhóm liên hợp:
Cho { }
0
tA
t
E
≥
là nử a nhóm liên tục mạnh trên X, khi đó, nửa nhóm liên hợp {( ) }
0
*
tA
t
e
≥
trên không gian
Banach X* nói chung là không liên tục mạnh. Không gian con:
{ * *: * * 0 khi 0 ( ) }
tA
X x X e x x t
e
= ∈ ư → →
là không gian con tuyến tính đóng của X* và ( ) * 0 ( )
tA
e X X t ⊆ ∀ ≥
e e
. Thu hẹ p
tA
e
e
củ a ( ) *
tA
e xác
đị nh một nửa nhóm liên tục mạnh trên X
e
. Hơ n nữa,
X A X A = ∀ ∈ ρ λ σ ( ) ( ) * * \ ( )
e
£ .
Chú ý 1.2.4
Từ định nghĩa củ a X
e
suy ra er * ( )
tA
K I e X ư ⊂
e
và er * er ( ) ( )
tA tA
K I e K I e ư = ư
e
vớ i mỗi t ≥0;
Ker A X ( *ư ⊂ µ)
e
và K A K A er * er ( ư = ư µ µ ) ( )
e
với µ ∈£ bất kỳ.
Lý thuyết lưỡng phân
Định nghĩa 1.3.1 Cho X là không gian Banach, J là R R ,
ư +
hoặ c R, họ tiế n hóa { ( , )}t
U t
τ
τ
≥
được
gọ i là có lư ỡ ng phân lũy thừ a { t}
t J
P
∈
trên J vớ i hệ số lư ỡ ng phân M ≥1 và α > 0 nếu , P t J
t ∈ , là các
phép chiếu trên X và mọi t J ≥ ∈τ , các khẳ ng đị nh sau thỏ a:
i) ( , , ) ( ) U t P PU t
τ t
τ τ =
ii) Thu hẹ p: của toán tử U t( ,τ ) trên K P er
τ
, ( ) er
, U t
K Pτ
τ , là toán tử khả nghịch từ K P er
τ
đến er K Pt
.
iii) Thỏa các ư ớc lư ợ ng lưỡng phân sau:
( )
( )
Im
,
t
U t Me
Pτ
α τ
τ
ư ư
≤ và
( ( ) )
( )
1
er
,
t
U t Me
K Pτ
α τ
τ
ư
ư ư
≤ . (1.2) Chư ơ ng 2
TOÁN TỬ VI PHÂN FREDHOLM VỚI HỆ SỐ KHÔNG BỊ CHẶN
Trong chư ơ ng này, tác giả trình bày một chứ ng minh củ a Đị nh lý l ư ỡ ng phân trong trư ờ ng
hợp vô hạn chiều mà không có bất kỳ ràng buộc đặc biệt nào của toán tử A t( ): Định lý 2.1 và Đị nh
lý 2.2
Định lý 2.1 Giả sử { ( , , , )}t
U t t R
τ
τ τ
≥
∈ là một họ tiế n hóa bị chặ n lũy th ừa liên tục mạ nh trên không
gian Banach phả n xạ X, G là toán tử sinh củ a nử a nhóm tiế n hóa t ư ơ ng ứ ng xác đị nh trên
L R X p
p ( , , 1, ) ∈ ∞ [ ) hoặ c trên C R X 0 ( , ). Khi đó: toán tử G là Fredholm nế u và chỉ nế u tồ n tạ i
a b R , ∈ , a b ≤ sao cho hai điề u kiệ n sau thỏ a:
(i) Họ tiế n hóa { ( , )}t
U t
τ
τ
≥
có lư ỡ ng phân lũy thừa { t }t a
P
ư
≤
trên (ư∞,a] và { t }t b
P
+
≥
trên [b,∞) .
ii) Toán tử nút N b a P P ( , :Ker Ker ) a b
ư + → , định bởi:
( ) ( ) ( )
Ker
, ,
a
b P
N b a I P U b a ư
+
= ư , là toán tử Fredholm.
Hơ n nữa, nếu toán tử G là Fredholm thỏa thì
a) dim Ker G = dim Ker N(b,a);
b) codim ImG = codim Im N(b,a); ind G = ind N(b,a).
Định lý 2.2 Vớ i các giả thiế t nh ư Đị nh lý 2.1, toán tử G là Fredholm khi và chỉ khi hai điề u kiệ n
sau đây thỏ a:
i') Họ tiế n hóa { ( , )}t
U t
τ
τ
≥
có lư ỡ ng phân lũy thừa { t }t a
P
ư
≤
trên Rư
và { t }t b
P
+
≥
trên R+
.
ii') Cặ p không gian con (Ker , Im P P 0 0 )
ư +
trong X là Fredholm.
Hơ n nữ a, nế u toán tử G là Fredholm thì:
a') dim Ker G α ( K P P er ,Im 0 0 )
ư +
=
b’) codim Im G β ( K P erP ,Im 0 0 )
ư +
=
c’) ind G ind er ,Im ( K P P 0 0 )
ư +
=
Ta ký hiệ u:
¡ ¡ ¡ ¡ ¢ ¢ ¢ ¢
+ ư + ư = ∈ ≥ = ∈ ≤ = ∈ ≥ = ∈ ≤ {t t t t n n n n : 0 , : 0 , : 0 , : 0 , } { } { } { }
T £ = ∈ = {λ λ: 1 ; } X là không gian Banach; X
*
là không gian liên hợ p; A
*
, domA, Ker A, Im
A, ρ λ λ λ λ ( A A I L X A I ) = ∈ ư ∈ ư { : , , : song ánh , £ ( ) } σ ( A) ,
( ) σfred A = {λ λ ∈ ư £ : không Fredholm A }, và sprad(A) = ∈ sup : { λ λ σ ( A)} lầ n lượ t là liên hợ p, miề n xác đị nh, nhân, ả nh, tậ p giá trị chính quy (tậ p giả i), ph ổ, phổ Fredholm, và bán kính
phổ của A; | A Y
là thu hẹ p củ a A trên Y X ⊂ ; L X Y ( , ) là không gian Banach các toán tử
tuyế n tính bị chặ n t ừ X đến Y; L X( ) là tập các toán tử bị chặn trên X;
L L X p
p p = ∈ +∞ (¡ , , 1, ) [ ) là không gian Banach gồm các hàm từ X vào ¡ sao cho
p
f khả
tích Lebesgue; C X 0 (¡ , ) là không gian các hàm liên tục triệt tiêu tại ±∞ ; ( , ) p
l X ¢ là không
gian Banach gồm tất cả các dãy x = ( x
n ) các phầ n tử trong ¢ sao cho
1
p
n
n
x
∞
=
∑ < ∞; ( ) 0
c X ¢, là
không gian các dãy triệ t tiêu tạ i ±∞ . Không gian hàm ε (¡ ) là một trong các không gian
L X p (¡ , ) hoặ c C X 0 (¡ , ) , không gian dãy ε (¢ ) là một trong các không gian l X p (¢, ) hoặ c
( ) 0
c X ¢, , ε (¡
+ ) là một trong các không gian L X p (¡
+
, ) hoặ c C X 0 (¡
+
, ),
ε
0 00 (¡ ¡
+ + ) =C X ( , ) là không gian các hàm liên tụ c trên
+
¡ triệ t tiêu tạ i 0 và ∞ , không gian
dãy ε (¢
+ ) là một trong các không gian l X p (¢
+
, ) hoặ c ( ) 0
c X,
+
¢ , ε π ([0,2 ]) là một trong các
không gian L X p ([0,2 , π ] ) hoặ c C X per([0,2 , π ] ) - là không gian các hàm tuầ n hoàn chu kỳ
2π trên đoạ n [0,2π ]. Ta dùng hình thứ c in đậ m để ký hiệ u cho dãy, chẳng hạn,
( ) ,
n n
n
x x X
∈
x = ∈
¢
. Với n∈¢ , trực chuẩn thứ n trong ( , ) p
l X ¢ hoặ c ( ) 0
c X ¢, là n nk ( )
k
δ
∈
e =
¢
,
vớ i
nk
δ là hệ số Kronecker. Nế u x X ∈ thì ta ký hiệ u dãy
n k ( )
k
x x
∈
⊗ = e
¢
bởi
n nk ( )
k
x xδ
∈
⊗ = e
¢
sao cho
n
x x = và 0
k
x = vớ i k n ≠ .
Vớ i Y X ⊂ và
*
Y X * ⊂ , ta ký hiệ u { }
*
Y X x x Y ξ ξ : , 0,
⊥
= ∈ = ∀ ∈ và
Y x X x Y * { : , 0, ξ ξ
*}
⊥
= ∈ = ∀ ∈ . Nế u X X X 1 2
= ⊕ thì ( )
*
X X 1 2
⊥
= và ( )
*
X X 2 1
⊥
= .
Nế u P là một phép chiế u trên X thì P* cũng là một phép chiế u trên X* vớ i
( ) ( )
*
Im * er Im P K P P
⊥
= = và KerP P K P * Im er * ( ) ( )
⊥
= = .
Nế u ( P Q, ) là một cặ p phép chiế u trên X thì X P K P = ⊕ Im er và
X Q K Q = ⊕ Im er .
Bất kỳ một toán tử A bị chặ n trên X có th ể đượ c viết dưới dạng toán tử ma trận như sau:
[ ]
( )
( ) ( ) ( )
P PAQ PA I Q
A A Q I Q
I P I P AQ I P A I Q
 
  ư
= ư =  
 
  ư
  ư ư ư
 
(2.1)
Nếu AQ PA = ma trận này là ma trận chéo với các phần tử trên đường chéo là
Im
| A Q và
er
| A K Q . Nế u A Q P (Im Im ) ⊆ hoặ c AQ PAQ = thì ta đồ ng nhất
Im
| A Q = AQ : Im Im Q P → , ta viế t:
( )
( )
Im
er
|
0 |
Q
K Q
A PA I Q
A
I P A
  ư
=  
ư
 
. (2.2)
Cho toán tử sai phân D xác đị nh trên không gian l Z X p
p ( , , 1, ) ∈ ∞ [ ) như sau:
: , 1 ( n n n ) ( ( ) 1 )
n Z n Z
D x x U n n x
∈ ư ∈
a ư ư
Toán tử liên hợ p củ a D là:
*: 1, * ( n n n ) ( ( ) 1 )
n Z n Z
D U n n ξ ξ ξ
∈ + ∈
a ư + . (2.3)
Ta có:
K D x x U n m x m n Z n m er : , ; , , , = = ∀ ∈ ≥ {( n n m )
n Z∈
( ) } (2.4)
K D U n m m n Z n m er * : , * ; , , . = = ∀ ∈ ≥ {(ξ ξ ξ
n m n )
n Z∈
( ) } (2.5)
Vớ i mỗi n Z ∈ , ta định nghĩa các không gian con sau:
X x X x KerD x x
n k n = ∈ ∃ ∈ = { : , , ( )
k Z∈ } (2.6)
X X KerD n k n ,∗ = ∈ ∃ ∈ = {ξ ξ ξ ξ *: *, . ( )
k Z∈ } (2.7)
X* là không gian liên hợ p củ a X, cho các không gian con:
* *
Y X
Y X
⊂
⊂
,
Ta kí hiệ u:
{ }
* { }*
*: , 0
: , 0
Y X x x Y
Y x X x Y
ξ ξ
ξ ξ
⊥
⊥
= ∈ = ∀ ∈
= ∈ = ∀ ∈
Bổ đề 2.3 Vớ i mọ i n∈¢ và m∈¢ , m n ≤ , các khẳ ng đị nh sau thỏ a:
(i) dim d im X K erD n
≤ < ∞ và dim dim * X D n,* ≤ <∞;
(ii) U n m X X ( , ) m n ⊂ , hơ n nữ a, toán tử ( , | : ) X m n
m
U n m X X → khả nghị ch;
(iii) ( ) ,* ,*
, * U n m X X n m ⊂ , hơ n nữ a, toán tử ( )
,*
,* ,*
, *| :
X n m n
U n m X X → khả nghị ch;
(iv) ( ) ,* ,*
, U n m X X m n
⊥ ⊥
⊂ và
,* ,*
dim dim n n
co X X
⊥
= < ∞; U n m X X ( , *) n m
⊥ ⊥
⊂ và
dim dim n n
co X X
⊥
= < ∞;
(v) X X n n,*
⊥
⊂ và X X n n ,*
⊥
⊂ .
Chứng minh
(i) Theo đị nh nghĩa củ a X n
và Xn,*
thì D là toán tử Fredholm.
(ii) Cố đị nh
m
x X ∈ và lấy một dãy ( k )
k Z
x KerD
∈
∈ sao cho
m
x x = .