Luận Văn Tính an pha ổn định của hệ phương trình vi phân điều khiển phi tuyến không ôtônôm có chậm

Trong thực tiễn, nhiều bài toán đề cập đến các vấn đề kỹ thuật, điều khiển thường liên quan đến các hệ động lực mô tả bằng các phương trình toán học dạng:
()()()()xtft,xt,ut=&
trong đó ()xt là biến trạng thái mô tả đối tượng đầu ra, ()ut là biến điều khiển mô tả đối tượng đầu vào của hệ thống, những dữ liệu đầu vào có tác động quan trọng có thể làm ảnh hưởng đến sự vận hành đầu ra của hệ thống. Như vậy ta hiểu một hệ thống điều khiển là một mô hình toán học được mô tả bởi phương trình toán học biểu thị sự liên hệ vào-ra: ()()()()xtft,xt,ut=&
x(t)
u(t)
Một trong những mục đích chính của bài toán điều khiển hệ thống là tìm điều khiển đầu vào sao cho đầu ra có những tính chất mà ta mong muốn. Trong đó, tính ổn định là một trong những tính chất quan trọng của lý thuyết định tính các hệ động lực và được sử dụng nhiều trong các lĩnh vực vật lý, kỹ thuật, kinh tế, Nói một cách hình tượng, một hệ thống được gọi là ổn định tại một trạng thái cân bằng nào đó nếu các nhiễu nhỏ của các dữ kiện hoặc cấu trúc ban đầu của hệ thống không làm cho hệ thống thay đổi nhiều so với trạng thái cân bằng đó. Nói một cách giải tích, cho một hệ thống mô tả bởi phương trình toán học điều khiển, bài toán ổn định hóa của hệ là tìm hàm điều khiển, người ta thường gọi là hàm điều khiển ngược (feedback control), ()(utht,x= sao cho hệ động lực:
()()()()()()()xtft,xt,ht,xtFt,xt==&.
là ổn định hoặc ổn định tiệm cận tại trạng thái cân bằng.
Trong các bài toán ổn định hóa tổng quát, hệ điều khiển thường được mô hình hóa với các tác động của điều khiển ngược, của các nhiễu điều khiển, các thiết bị điều khiển, quan sát, và thường được mô tả theo sơ đồ sau:
Thiết bị
điều khiển
đầu vào
()ut
Hệ điều khiển
()xft,x,u=&
đầu ra
()xt
Cơ sở lý thuyết được sử dụng trong bài toán ổn định hóa này là lý thuyết ổn định Lyapunov, lý thuyết ổn định này được hình thành bởi những công trình nghiên cứu đầu tiên của nhà toán học người Nga A. M. Lyapunov từ cuối thế kỷ XIX. Trước Lyapunov đã có một số công trình nghiên cứu về tính ổn định, tuy nhiên phải đến khi Lyapunov công bố công trình nổi tiếng “Bài toán tổng quát về sự ổn định của chuyển động, 1892” thì lý thuyết ổn định mới thực sự được quan tâm và có bước tiến mạnh mẽ. Vấn đề ổn định phương trình vi phân đã được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu và giải quyết, có thể kể ra đây một số tác giả trong nước như: Hoàng Hữu Đường, Vũ Tuấn, Nguyễn Thế Hoàn, Vũ Ngọc Phát, Trần Thị Loan,.v.v . Những định nghĩa về tính ổn định của Lyapunov đưa ra hơn một thế kỷ qua vẫn còn nguyên giá trị và ngày càng phát triển. Hai phương pháp do ông đề xuất là phương pháp số mũ đặc trưng và phương pháp hàm Lyapunov. Trong đó, phương pháp hàm Lyapunov được xem là cách tiếp cận chính khi nghiên cứu về tính ổn định, nội dung của phương pháp này là dựa vào sự tồn tại của một lớp hàm đặc biệt (được gọi là hàm Lyapunov) mà tính ổn định của hệ đã cho được kiểm tra trực tiếp qua dấu của đạo hàm (dọc theo quỹ đạo đang xét) của hàm Lyapunov tương ứng.
Cùng với sự phát triển của lý thuyết ổn định, lý thuyết điều khiển toán học cũng là một trong những lĩnh vực toán học ứng dụng quan trọng mới được xuất hiện và phát triển trong mấy thập kỷ gần đây, tính điều khiển được hệ động lực được khởi xướng bởi một công trình nổi tiếng của Kalman từ những năm 60 của thế kỷ XX, trong đó đã chứng minh một điều kiện đại số về tính điều khiển được của hệ tuyến tính hữu hạn chiều không có hạn chế điều khiển. Từ những kết quả của Kalman thì việc nghiên cứu tính điều khiển được đã không ngừng phát triển và trở thành một hướng quan trọng của lý thuyết điều khiển hệ động lực.
Do nhu cầu nghiên cứu các tính chất định tính của hệ thống điều khiển, người ta bắt đầu nghiên cứu tính ổn định các hệ điều khiển hay còn gọi là bài toán ổn định hoá các hệ điều khiển. Đây là nội dung nghiên cứu chính của đề tài này.