Tiến Sĩ Tìm điểm bất động chung cho một họ các ánh xạ giả co chặt

Luận án tiến sĩ năm 2013
Đề tài: TÌM ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG CHO MỘT HỌ CÁC ÁNH XẠ GIẢ CO CHẶT



Mục lục

Mở đầu . 1
Chương 1. Một số khái niệm và kiến thức chuẩn bị 10
1.1. Bất đẳng thức biến phân trong không gian Hilbert . 10
1.1.1. Bất đẳng thức biến phân cổ điển 11
1.1.2. Một số phương pháp tìm nghiệm cho bất đẳng thức
biến phân cổ điển . 14
1.2. Một số phương pháp lạp tìm điểm bất động cho một họ các
ánh xạ giả co chạt 22
1.2.1. Một số phương pháp lạp cơ bản . 25
1.2.2. Một số phương pháp lạp khác 30
Chương 2. Nguyên lý bài toán phụ hiệu chỉnh cho một họ vô hạn các ánh xạ giả co chặt 37
2.1. Phương pháp nguyên lý bài toán phụ hiệu chỉnh dựa trên
tổng vô hạn 37
2.2. Phương pháp nguyên lý bài toán phụ hiệu chỉnh dựa trên
ánh xạ Wn 56
Chương 3. Bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của một họ hữu hạn các ánh xạ không giãn 71
3.1. Bất đẳng thức biến phân trên tập điểm bất động chung của
họ hữu hạn các ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert 71
3.2. Phương pháp KM-HSD cho họ hữu hạn các ánh xạ không
giãn trong không gian Hilbert 80
Kết luận 92
Tài liệu tham khảo . 94

[TABLE]
[TR]
[TD="align: left"]Mở đầu
[/TD]
[/TR]
[/TABLE]
[TABLE="width: 609"]
[TR]
[TD="align: left"]Trong toán học người ta thường gặp bài toán tìm một phần tử thuộc vào giao của một họ các tập lồi đóng C[SUB]ị[/SUB] trong không gian Hilbert hay Banach, với i = 1, 2, ., ở đây mỗi tập C[SUB]ị[/SUB] có thể cho dưới dạng hiện như: hình cầu, không gian con cũng như nửa không gian hoặc dưới dạng ẩn như: tập điểm bất động của một ánh xạ không giãn Tị, tập nghiệm của bất đẳng thức biến phân với ánh xạ đơn điệu A[SUB]ị[/SUB], hay tập nghiệm của bài toán cân bằng với song hàm G[SUB]ị[/SUB](u, v). Bài toán này thường được gọi là bài toán Chấp nhận lồi và nó có ứng dụng rộng rãi trong lĩnh vực xử lý ảnh như phục chế lại và tạo ảnh dựa vào các dữ liệu liên quan trực tiếp hay gián tiếp đến vật thể cần xây dựng ảnh (xem [6], [26], [35], [63]). Lĩnh vực này còn có nhiều ứng dụng trong y học, quân đội, công nghiệp và đặc biệt là trong thiên văn hay công nghệ sinh học.
Trong trường hợp cardG = 2 và Ci, C[SUB]2[/SUB] là các không gian con của H, bài toán này đã được Neumann J. V. [53] nghiên cứu vào năm 1949. Xuất phát từ một điểm x bất kỳ, ông xây dựng hai dãy {x[SUB]k[/SUB]}X=[SUB]1[/SUB] và {y[SUB]k[/SUB]}X=[SUB]1[/SUB] như sau:
yo = x, Xk = Pci(yk-1), yk = Pc[SUB]2[/SUB](xk), k = 1, 2, ., (0.1)
và đã chứng minh được rằng cả hai dãy này hội tụ mạnh đến P[SUB]C[/SUB] (x) khi k —— oo, ở đây C = C[SUB]1[/SUB] nC[SUB]2[/SUB] và P[SUB]C[/SUB](x) là phép chiếu mêtric lên C. Khi C[SUB]1[/SUB], C[SUB]2[/SUB] là các tập con lồi đóng bất kỳ của H, năm 1965, Bregman L. M. [13] chứng minh được sự hội tụ yếu của các dãy lặp xác định như trên đến P[SUB]C[/SUB](x).
Trong trường hợp cardG > 2 và mỗi tập C[SUB]ị[/SUB] cho dưới dạng là tập điểm bất động của ánh xạ không giãn Tị, thì bài toán trên là bài toán tìm điểm
bất động chung cho một họ các ánh xạ không giãn {Tị}i>2 và đã được các nhà toán học Ceng L. C. [19] — [20], Maingé P. E. [43], Marino G., Takahashi W. [64] — [66], Xu H. K. [47], [48], . nghiên cứu.
Mục đích của đề tài luận án là nghiên cứu một phương pháp giải mới để tìm điểm bất động chung cho một họ các ánh xạ giả co chạt, chứa trường hợp riêng là một họ các ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert.
Đối với ánh xạ À-giả co chạt T trong không gian Hilbert được xác định bởi
I T(x) — T(y) ||2<|| x — y ||2 +À I (I — T)(x) — (I — T)(y) ||2, (0.4)
với 0 < À < 1, Browder F. E. và Petryshyn W.V. [14], năm 1967, đã chứng minh sự hội tụ yếu của phương pháp lạp Mann
Xn+1 = aXn + (1 — a)T (xn) (0.5)
tới một điểm bất động của T, khi À < a < 1.
Năm 1979, Reich S. [59] đã cải tiến kết quả trên cho lớp các ánh xạ không giãn trong không gian Banach lồi đều và dãy lạp {xn} được xác định theo công thức:
xn+1 anxn + (1 an)T (xn)- (°.6)
Với điều kiện dãy số {an}^=Q thỏa mãn 0 < an < 1 và an(1—an) = oo, tác giả đã chứng minh được sự hội tụ yếu của dãy lạp (0.6) tới một điểm bất động của ánh xạ không giãn T.
Ta thấy rằng các kết quả trên chỉ cho được sự hội tụ yếu, thậm chí với cả ánh xạ không giãn. Để nhận được sự hội tụ mạnh đến điểm bất động của ánh xạ không giãn T trong không gian Hilbert, Nakajo K. và Takahashi W. [52] đã đề xuất phương pháp lai ghép sau:

Tài liệu tham khảo
[1] Phạm Kì Anh, Nguyễn Bường (2005), Bài toán đặt không chỉnh, Nhà
xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội.
[2] Nguyễn Bường (2001), Hiệu chỉnh các bài toán bằng phương pháp toán tử đơn điệu, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội.
[3] Acedo G. L., Xu H. K. (2007), "Iterative methods for strict pseudo¬
contractions in Hilbert space", Nonlinear Analysis, 67, pp. 2258-2271.
[4] Alber Ya. I. (1975), "On solving nonlinear equation involving monotone operators in Banach spaces", Sibiriaan Mathematics Journal, 26, pp. 3-11.
[5] Alber Y., Ryazantseva I. (2006), Nonlinear Ill-Posed Problems of Monotone Types, Springer Verlag.
[6] Andrews H. C., Hunt B. R. (1977), Digital Image Rrestoration, Engle¬wood Clifs, N.J.: Prentice-Hall.
[7] Aoyama K., Iiduka H., Takahashi W. (2006), "Weak convergence of an iterative sequence for accretive operators in Banach spaces", Fixed Point Theory and Applications , 2006, pp. 1-13.
[8] Baasansuren A. J., Khan A. A. (2000), "Regularization auxiliary prob¬lem principle for variational inequalities", Computers and Mathematics with applications, 40, pp. 995-1002.94 95
[9] Bauschke H. H. (1996), "The approximation of fixed points of compo¬sitions of nonexpansive mappings in Hilbert spaces", Journal of Math¬ematical Analysis and Applications, 202, pp. 150-159.
[10] Bauschke H. H., Combettes P. L., Reich S. (2005), "The asymptotic behavior of the composition of two resolvents", Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications, 60, pp. 283-301.
[11] Berinde V. (2007), Iterrative Approximaton of Fixed Points, Springer Verlag Berlin Heidesberg.
[12] Bnouhachem A., Noor M. A., Al-Said E., Khalfaoui M., Zhaohan S. (2011), "Extragradient method for variational inequalities", Hacettepe Journal of Mathematics and Statistics, 40, pp. 839-854.
[13] Bregman L. M. (1965), "The method of successive projection for find¬ing a common point of convex sets" , Soviet Mathematics Doklady, 6, pp. 688-692.
[14] Browder F. E., Petryshyn W. V. (1967), "Construction of fixed points of nonlinear mappings in Hilbert spaces", Journal of Mathematical Analysis and Applications, 20, pp. 197-228.
[15] Buong Ng. (2006), "Regularization for unconstrained vector optimiza¬tion of convex functionals in Banach spaces", Computational Mathe¬matics and Mathematical Physics, 46, pp. 354-360.
[16] Buong Ng., Son P. V. (2007), "Regularization extragradient method for common fixed point of a finite family of strictly pseudocontractive mappings in Hilbert spaces", International Journal of Mathematical Analysis , 1, pp. 1217-1226.
[17] Buong Ng. (2007), "Iterative regularization method of zero order for Lipschitz continuous mappings and strictly pseudocontractive map-
[/TD]
[/TR]
[/TABLE]