Tài liệu Tiếp tuyến của đồ thị của hàm số

Lập phương trình tiếp tuyến Δ của của đường cong (C) có hàm số y = f(x).

Lập phương trình Δ là ta tìm Hệ số góc k ( khi cho biết tiếp điểm) hoặc ngược lại tìm Tiếp điểm (x0;y0) (khi cho biết hệ số góc k).

Ta thường thấy các dạng toán yêu cầu lập phương trình tiểp tuyến

Vấn đề 1.Tại điểm M0(x0;y0))(C∈.

Trường hợp này M0 chính là tiếp điểm , có duy nhất một tiếp tuyến có phương trình

y = f’(x0).(x – x0) + y0. (1)

Lưu ý : (x0;y0) là tiếp điểm. và f’(x0)= k là hệ số góc của tiếp tuyến.

Vấn đề 2.Qua điểm N(x1;y1).

Trường hợp này N(x1;y1) không nhất thiết là tiếp điểm nên có thể có nhiều hơn một tiếp tuyến qua N , ta thường sử dụng hai cách giải sau :

+Dùng công thức (1).Tiếp tuyến qua N nên thoả y1 = f’(x0).(x1 – x0) + y0. Giải phương trình này ta tìm x0, suy ra các toạ độ tiếp điểm rồi vận dụng trường hợp 1.

+Hệ tiếp xúc.

Giả sử k là hệ số góc nên phương trình tiếp tuyến Δ qua N có dạng y = k.(x – x1) + y1

Hoành độ tiếp điểm là nghiệm hệ phương trình: )2()(')()(11⎩⎨⎧=+ư=kxfyxxkxf

Suy ra f(x) = f’(x)(x – x1) + y1 (3).

Chú ý : Đối với các hàm số đã học ở chương trình phổ thông, thông thường ta có:

+Phương trình (3) có bao nhiêu nghiệm (tiếp điểm) là có bấy nhiêu tiếp tuyến.

+Điểm N(x1;y1) có thể thuộc đường cong.

Vấn đề 3.Có hệ số góc k cho trước.

a .Cho trực tiếp ,hệ số k = a (hằng số) cho trước.

b.Cho gián tiếp .

Ví dụ : Tiếp tuyến song song hoặc vuông góc với đường thẳng (d): ax + by + c = 0

⇒suy ra hệ số góc Δbakư= (song song) hoặc abk= ( vuông góc)

c. Tiếp tuyến tạo với trục hoành một góc α cho trước.(có hai đường thẳng Δ lần lượt có hệ số góc α,)

Phương pháp giải có thể vận dụng phương trình (1) hoặc hệ (2).

Tất cả hai trường hợp này đều giải phương trình k = f’(x) để tìm x (tiếp điểm).

Vấn đề 4.Tìm trên trục ,đường thẳng cho trước những điềm qua đó kẽ đến (C) một tiếp tuyến ,hai tiếp tuyến vv


Qua N có bao nhiêu tiếp tuyến khi và chỉ khi phương trình (3) có bao nhiêu nghiệm.

Các ví dụ, bài tập minh hoạ :

Bài 1. Cho đường cong (C) có hàm số y = x3 – 3x2 + 2 .

1. Lập phương trình tiếp tuyến tại điểm uốn của (C).

2. Lập phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua A(0 ; 3).

3. Lập tiếp tuyến của (C) song song với đường phân giác thứ hai của hệ trục Oxy.

4. Tìm trên trục tung các điểm từ đó kẽ đến (C) đúng hai tiếp tuyến phân biệt.