Thạc Sĩ Tích phân Wiener−Itô bội

LỜI GIỚI THIỆU

Giải tích ngẫu nhiên ngày nay đóng một vai trò hết sức quan trọng trong lý thuyết
xác suất ư thống kê hiện đại, nó có ứng dụng rộng rãi ở tất cả các lĩnh vực khác nhau
như trong công nghệ thông tin, công nghệ viễn thông, kinh tế, thị trường chứng khoán,
bảo hiểm, dự báo rủi ro, trong nông nghiệp Và hiện đang được giảng dạy ở hầu
hết các trường đại học trong và ngoài nước, nó thu hút rất nhiều nhà khoa học không
ngừng nghiên cứu và phát triển về nó.
Trong đó vi tích phân Itô là một trong những khái niệm quan trọng của giải tích
ngẫu nhiên. Từ khái niệm đó người ta đã xây dựng nên một lớp các quá trình ngẫu
nhiên Itô, chúng rất có ý nghĩa về mặt lý thuyết cũng như ứng dụng. Do đó đã được
các nhà toán học và các nhà kinh tế nghiên cứu và phát triển.
Phạm vi của luận văn này là hệ thống lại một số kết quả đã có và tìm hiểu thêm
các tính chất của quá trình Itô, xem xét một số ứng dụng của vi tích phân Itô, khái quát
lại những kiến thức cơ bản của giải tích ngẫu nhiên và trên cơ sở đó bước đầu tìm hiểu
về giải tích Malliavin
Luận văn được chia làm 3 chương cụ thể như sau:
Chương I: Những khái niệm cơ bản của tích phân ngẫu nhiên. Chương này trình
bày các kiến thức cơ sở cần cho các chương tiếp theo bao gồm: tích phân Wiener và các
tính chất, tích phân Itô và các tính chất, tích phân Stratonovitch, Pư tích phân, trong
đó ta có xét đến sự liên hệ của các loại tích phân, ngoài ra ta còn tìm hiểu sơ lược về
Martingale cùng với định lý quan trọng của nó từ đó dẫn tới việc ta xét mối quan hệ
giữa quá trình Itô và martingale ở chương II
Chương II: Quá trình Itô và các tính chất. Nghiên cứu và phân tích kỹ quá trình
Itô trong trường hợp một chiều và trường hợp nhiều chiều, công thức Itô trường hợp
một chiều và công thức Itô tổng quát cùng các ví dụ. Trong đó ta nghiên cứu tính chất
quan trọng là điều kiện để quá trình Itô trở thành martingale. Tiếp theo là nghiên cứu
công thức khai triển ItôưTaylor , một trong những công thức quan trọng dùng để xây
dựng các phương pháp số để giải các phương trình vi phân ngẫu nhiên. Từ khai triển
ItôưTaylor tiếp đến ta xây dựng các thuật toán xấp xỉ để giải phương trình vi phân ngẫu
nhiên trên cơ sở phương pháp số.
Chương III: Tích phân WienerưItô bội. Bắt đầu từ tích phân WienerưItô kép là
trường hợp đặt biệt của tích phân bội, kế tiếp ta xét tích phân lặp, tích phân WienerưItô
bội và xét mối quan hệ giữa chúng. Trong chương này ta còn xét đa thức Hermite, quá
trình Hermite và các tính chất đặc biệt của chúng. Từ đó dẫn đến kết quả cuối chương
là xây dựng khai triển WienerưItô Chaos và một số ví dụ áp dụng.


MỤC LỤC
Trang
Lời cảm ơn . 1
Mục lục 2
Lời giới thiệu . 6
Bảng kí hiệu 8
Chương I: Một số khái niệm về tích phân ngẫu nhiên . . 9
§1.1 TíchphânWiener . 9
1.1.1 Tích phân Wiener của hàm số đơn giản 9
1.1.2 Các tính chất cơ bản của tích phân Wiener của hàm đơn giản . 10
1.1.3 Tích phân Wiener của hàm số bình phương khả tích . 12
1.1.4 Vídụ 13
§1.2 TíchphânngẫunhiênItô 14
1.2.1 Định nghĩa tích phân Itô của hàm ngẫu nhiên . 14
1.2.2 Các tính chất của tích phân ngẫu nhiên Itô 15
1.2.3 Vídụ . 16
§1.3 TíchphânStratonovitch . 18
1.3.1 Cácđịnhnghĩa 18
1.3.2 Vídụ . 19
1.3.3 Liên hệ giữa tích phân Stratonovitch và tích phân Itô 19
§1.4 PưTíchphân . 21
1.4.1 Địnhnghĩa . 21
1.4.2 Chúý 21
1.4.3 Vídụ . 22
§1.5 Martingale 23
1.5.1 Địnhnghĩa(Bộ lọc) 23
1.5.2 Địnhnghĩa(Martingale) . 23
1.5.3 Địnhlý 23
1.5.4 Địnhlý 25
Chương II: Quá trình Itô và các tính chất . 28
§2.1 QuátrìnhItô . 28
2.1.1 Địnhnghĩa(quátrìnhItô) 28
2.1.2 Công thức Itô trường hợp một chiều . 29
2.1.3 Vídụ . 29
2.1.4 CôngthứcItôtổngquát . 30
2.1.5 Vídụ . 31
2.1.6 Định lý ( mối liên hệ giữa quá trình Itô và martingale) . 34
§2.2 Khai triển ItôưTaylor . 36
2.2.1 Khai triển Taylor cho trường hợp biễu diễn tích phân tất định . 36
2.2.2 Khai triển ItôưTaylorchoquátrìnhItô 37
§2.3 PhươngphápsốxấpxỉquátrìnhItô . 43
2.3.1 Mộtsốtiêuchuẩnhộitụ 43
2.3.1 Địnhnghĩa(xấpxỉmạnh) . 44
2.3.2 Địnhnghĩa(xấpxỉyếu) 44
2.3.3 Phươngphápxấpxỉmạnh . 44
2.3.3.1 Phương pháp EulerưMaruyamamạnh . 45
2.3.3.2 PhươngphápMilsteinmạnh 45
2.3.3.3 PhươngphápTaylormạnh . 46
2.3.3.4 Phương pháp xấp xỉ mạnh RungeưKutta 47
2.3.4 Phươngphápxấpxỉyếu 48
2.3.4.1 PhươngphápEuleryếu . 48
2.3.4.2 PhươngphápTayloryếu 48
2.3.4.3 Phương pháp RungeưKuttayếu . 49
Chương III: Tích phân WienerưItô bội . 50
§3.1 Tích phân WienerưItôkép . 50
3.1.1 Định nghĩa ( Hàm bậc thang ngoài đường chéo) . 50
3.1.2 Địnhnghĩa(Hàmđốixứnghoá) . 50
3.1.3 Địnhlý 51
3.1.4 Địnhlý 51
3.1.5 Bổđề . 53
3.1.6 Định nghĩa ( Tích phân WienerưItôkép) . 53
3.1.7 Vídụ . 53
3.1.8 Địnhlý 54
3.1.9 Địnhlý . 55
3.1.10 Vídụ 56
§3.2 Tích phân WienerưItôbội 57
3.2.1 TíchphânItôlặp 57
3.2.1.1 Địnhnghĩa(Hàmđốixứng) 57
3.2.1.2 Định nghĩa ( Hàm đối xứng hoá) 57
3.2.1.3 Định nghĩa ( Tích phân WienerưItô lặp) 58
3.2.1.4 Địnhlý 59
3.2.1.5 Địnhlý 59
3.2.2 Tích phân WienerưItôbội . 60
A. Xây dựng tích phân bội cho hàm bậc thang ngoài đường chéo 61
3.2.2.1 Định nghĩa ( Hàm bậc thang ngoài đường chéo) . 61
3.2.2.2 Địnhlý . 61
3.2.2.3 Địnhlý 62
B. Xấp xỉ tích phân bội bằng dãy các hàm bậc thang ngoài đường chéo 64
3.2.2.4 Địnhlý . 64
3.2.2.5 Địnhnghĩa(Tíchphânbội) 64
3.2.2.6 Định lý ( Tính chất của tích phân bội) 65
3.2.2.7 Định lý ( Mối quan hệ giữa tích phân bội với tích phân lặp) . 65
3.2.2.8 Định nghĩa ( Tích phân bội theo tích phân lặp) . 66
§3.3 Đa thức Hermite và quá trình Hermite . 67
A. Đa thức Hermite theo một biến x 67
3.3.1 Địnhnghĩa 67
3.3.2 Định nghĩa ( Đa thức Hermite một biến) . 67
B. Đa thức Hermite bậc n biến x, tham số t 69
3.3.3 Định nghĩa ( Đa thức Hermite chưa chuẩn hoá bậc n, biến x, tham số t) 71
3.3.4 Địnhlý . 71
3.3.5 Địnhlý . 72
3.3.6 Một vài kết quả rút ra từ đa thức Hermite 73
C. Quá trình ngẫu nhiên dạng Hermite 74
3.3.7 Định nghĩa ( Đa thức Hermite bậc n, biến x, tham số t chuẩn hoá) . 74
3.3.8 Định nghĩa ( Quá trình ngẫu nhiên dạng Hermite) . 74
3.3.9 Địnhlý . 75
3.3.10 Bổđề 75
3.3.11 Hệquả 76
3.3.12 Định lý ( Các tính chất cơ bản của quá trình Hermite) . 77
3.3.13 Định nghĩa (Quá trình ngẫu nhiên dạng Hermite suy rộng) . 79
3.3.14 Địnhlý 79
§3.4 Khai triển WienerưItôChaos 81
3.4.1 Địnhnghĩa(Tíchtenxơ) 81
3.4.2 Địnhlý . 81
3.4.3 Định lý ( Phép biểu diển Itô của một đại lượng ngẫu nhiên) . 83
3.4.4 Khai triển WienerưItôChaos . 85
3.4.5 Vídụ . 89
3.4.5.1 Ví dụ 1 89
3.4.5.2 Ví dụ 2 89
3.4.5.3 Ví dụ 3 . 90
Kết luận . 91
Tài liệu tham khảo 92