Thạc Sĩ Tích phân ngẫu nhiên đối với martingale

LỜI NÓI ĐẦU

Giải tích ngẫu nhiên ngày nay đóng một vai trò hết sức quan trọng trong lý thuyết xác suất - thống kê hiện đại, nó có ứng dụng rộng rãi ở tất cả các lĩnh vực khác nhau như trong công nghệ thông tin, công nghệ viễn thông, kinh tế, thị trường chứng khoán, bảo hiểm, dự báo rủi ro, trong nông nghiệp.Và hiện đang được giảng dạy ở hầu hết các trường đại học trong và ngoài nước, nó thu hút rất nhiều nhà khoa học không ngừng nghiên cứu và phát triển về nó.

Trong đó tích phân ngẫu nhiên là một trong những khái niệm quan trọng của giải tích ngẫu nhiên. Từ khái niệm đó người ta đã xây dựng nên một loại tích phân ngẫu nhiên đối với Martingale,mở rộng tích phân Ito, chúng rất có ý nghĩa về mặt lý thuyết cũng như ứng dụng. Do đó đã được các nhà toán học và các nhà kinh tế nghiên cứu và phát triển. Phạm vi của luận văn này là hệ thống lại một số kết quả đã có và tìm hiểu thêm các tính chất của tích phân ngẫu nhiên, xem xét một số ứng dụng của tích phân ngẫu nhiên, khái quát lại những kiến thức cơ bản của giải tích ngẫu nhiên và trên cơ sở đó bước đầu tìm hiểu về tích phân ngẫu nhiên đối với Martingale
Luận văn được chia làm 3 chương cụ thể như sau:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị. Chương này trình bày các kiến thức cơ sở cần cho các chương tiếp theo.Trọng tâm là: Martingale, martingale liên tục, martingale liên tục phải, martingale địa phương, martingale liên tục phải địa phương
Chương 2: Tích phân ngẫu nhiên. Nghiên cứu các tập hợp và quá trình dự đoán được, khoảng thời gian ngẫu nhiên, độ đo trên các tập dự đoán được, mở rộng phép lấy tích phân và hàm lấy tích phân địa phương
Chương 3: Công thức Ito. Tìm hiểu về biến phân bậc hai và tính chất của biến phân bậc hai, công thức Ito và ứng dụng của công thức Ito

Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và khả năng có hạn nên các vấn đề trong luận văn vẫn chưa được trình bày sâu sắc và không thể tránh khỏi có những sai sót trong cách trình bày. Mong được sự chỉ bảo của thầy cô và sự góp ý xây dựng của bạn bè cũng như đồng nghiệp .

Lời nói đầu 5
1 Kiến thức chuẩn bị 7
1.1 Không gian L
p và tính đo được 7
1.2 Hàm biến phân bị chặn và tích phân Stieltjes 8
1.3 Không gian xác suất,biến ngẫu nhiên,lọc . 9
1.4 Điều kiện hội tụ . 10
1.5 Quá trình ngẫu nhiên 11
1.5.1 Các định nghĩa . 11
1.5.2 Hai quá trình ngẫu nhiên quan trọng . 13
1.6 Thời điểm dừng . 15
1.7 Kỳ vọng có điều kiện và tính chất . 16
1.7.1 Các định nghĩa của kỳ vọng có điều kiện . 17
1.7.2 Các tính chất của kỳ vọng có điều kiện 17
1.8 Martingale 18
2 Tích phân ngẫu nhiên đối với L
-Martingale 26
2.1 Các tập hợp và quá trình dự đoán được 28
2.2 Khoảng thời gian ngẫu nhiên . 29
2.3 Độ đo trên các tập hợp dự đoán được . 32
2.4 Định nghĩa tích phân ngẫu nhiên . 34
2.5 Mở rộng phép lấy tích phân và hàm lấy tích phân 42
3 Công thức Ito 47
3.1 Quá trình biến phân bậc hai và các tính chất . 47
3.1.1 Định nghĩa và đặc trưng của biến phân bậc hai . 48
3.1.2 Tính chất của biến phân bậc hai đối với L
-Martingale 51
3.1.3 Định lý giới hạn . 54
3.2 Công thức Ito một chiều 56
3.3 Ứng dụng của công thức Ito 59
3.3.1 Đặc trưng của chuyển động Brown 59
3.3.2 Quá trình mũ 62
3.3.3 Một họ Martingale sinh ra bởi M . 65
Kết luận 71
Tài liệu tham khảo 72