Thạc Sĩ Tích phân Ito

Đề tài: Tích phân Ito
Mở đầu
Có thể nói giải tích toán học là lĩnh vực nghiên cứu phép tính vi phân và tích
phân. Từ cuối thế kỷ 17, Newton và Leibniz đã xây dựng phép tính vi phân và tích
phân cổ điển. Tới nửa đầu thế kỷ 20, tích phân ngẫu nhiên bắt đầu được xây dựng.
Người có công lớn nhất trong việc sáng tạo ra tích phân ngẫu nhiên là K.Ito, nhà
toán học kiệt xuất người Nhật.
Nếu tích phân Riemann - Lebesgue được xây dựng theo độ đo thì tích phân Ito
được xây dựng theo quá trình Wiener. Cùng với phương trình vi phân ngẫu nhiên
thì phép tính tích phân ngẫu nhiên đã trở thành công cụ quan trọng cho nhiều vấn
đề của vật lí, sinh học và kinh tế.
Khoá luận này trình bày một số hiểu biết của tác giả về những khái niệm cơ
bản nhất về tích phân Ito, đặc biệt là công thức Ito và ứng dụng của nó vào việc
giải một số bài tập liên quan.
Khoá luận gồm 2 chương:
Phần 1. Lí thuyết
x1 Kiến thức cơ sở.
1:1 Cơ sở về lý thuyết độ đo.
1:2 Cơ sở về lý thuyết xác suất.
Trong bài này trình bày một số kiến thức cơ sở có liên quan dùng làm sự chuẩn
bị cho nội dung khoá luận.
x2 Tích phân ngẫu nhiên Ito
1:2 Tích phân Wiener.
2:2 Tích phân Ito.
Đây là nội dung chính về phần lý thuyết mà tác giả đã tìm hiểu và trình bày3
được về quá trình ngẫu nhiên Ito.
Phần 2 .Bài tập áp dụng
Trong chương này, tác giả vân dụng lý thuyết để giải một số bài tập điển hình
về quá trình ngẫu nhiên Ito.
Khoá luận này được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Vinh, dưới sự
hướng dẫn tận tình, chu đáo của cô giáo ThS.Nguyễn Thị Thế và sự góp ý, giúp
đỡ của các thầy cô giáo trong tổ Xác suất thống kê và Toán ứng dụng trong khoa
Toán.
Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các Giáo sư, phó Giáo
sư, Tiến sĩ, Thạc sĩ, . , khoa Toán Đại hoc Vinh, các thầy cô tham gia quản
lý, giảng dạy, cung cấp tài liệu, hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và
nghiên cứu.
Tác giả cũng bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới cô giáo ThS. Nguyễn Thị Thế,
các thầy cô trong tổ Xác suất thống kê và Toán ứng dụng, các thầy cô trong khoa
Toán và bạn bè đã giúp đỡ tác giả hoàn thành khoá luận này.
Mặc dù đã có rất nhiều cố gắng nhưng vì năng lực và thời gian còn hạn chế
nên khoá luận không tránh khỏi những thiếu sót cả về nội dung và hình thức. Vì
vậy, tác giả rất mong lời chỉ bảo của quý thầy cô và những góp ý giúp đỡ của bạn
đọc.
Tác giả xin chân thành cảm ơn !
Vinh, tháng 5 năm 2008
Tác giả.4
phần 1
lýthuyết
x1. kiến thức cơ sở
1.1. Một số kiến thức cơ bản về độ đo
1.1.1. Định nghĩa. Cho ư =6 ;, họ F các tập con của ư được gọi là một ắ -
trường nếu:
(i) ư; ; 2 F
(ii) Nếu A 2 F thì A 2 F, 8A 2 F
(iii) Nếu An 2 F; 8n á 1 thì
[1
n=1
An 2 F
1.1.2. Định nghĩa. Giả sử F là một ắ - trường các tập con của ư. Khi đó, hàm
ạ : F ! R được gọi là độ đo trên ắ - trường F nếu thoả mãn các tiên đề sau:
(i) ạ( = 0
(ii) ạ(A) á 0
(iii) Nếu fAng và AiAj = ;, 8i =6 j, thì
ạ(
[1
n=1
An) =
X1
n=1
ạ(An)
ạ gọi là ắ - hữu hạn nếu tồn tại fXng các phần tử của F sao cho ạ(Xn) < 1,
với mọi n 2 N
và
X =
[1
n=1
Xn
Nếu ạ là độ đo ắ - hữu hạn trên ắ - trường F sao cho độ đo của mỗi khoảng5
trùng với thể tích của không gian đó thì ạ được gọi là độ đo Lebegue.
1.1.3. Hàm đo được
Giả sử A, B là các ắ - đại số, (X; A);(Y; B) là các không gian đo được, ánh
xạ f : X ! Y được gọi là đo được nếu B 2 B thì f
Ă1
(B) 2 B, tức là nghịch ảnh
của một tập đo được là một tập đo được.
Hàm f : X ! R được gọi là đo được ( hay ạ- đo được) nếu 8a 2 R thì tập
fx 2 X : f(x) < ag 2 A.
Nếu X = R
n
và ạ là đo được Lebesgue thì hàm f là đo được Lebesgue
1.1.4. Tích phân Rimann - Stieltjes
Giả sử f và g là hai hàm số thực xác định trên đoạn [0,1]. Xét một phân hoạch
của đoạn [0,1]:
¿n : 0 = t0 < t1 < Â Â Â < tn = 1
và một họ các giá trị trung gian
ắn : tiĂ1 ã yi ã ti
; i = 1; : : : ; n
Ta định nghĩa
Âi(g) = g(ti) Ă g(tiĂ1); i = 1; : : : ; n
Âix = ti Ă tiĂ1; i = 1; : : : ; n
Tổng Riemann- Stieltjes (R Ă S) tương ứng với ¿n và ắn được định nghĩa bởi
công thức
Sn = Sn(¿n; ắn) =
Xn
i=1
f(yi)Âi(g) =
Xn
i=1
f(yi)(g(ti) Ă g(tiĂ1))
Nhận xét rằng khi g(t) = t thì tổng (R Ă S) chính là tổng Riemann của f.