Báo Cáo Thiết kế tối ưu tiết diện trong kết cấu dàn thép bằng phương pháp phần tử hữu hạn thông qua việc giả

1. Đặt vấn đềViệc đi tìm phương án thiết kế tối ưu theo mục tiêu đề ra và thỏa mãn các điều kiện ràng buộc liên quan đến độ bền vững của công trình là cần thiết trong lĩnh vực xây dựng.
Bài toán thiết kế tối ưu kết cấu thép dạng dàn với hàm mục tiêu là trọng lượng bản thân tòan bộ các thanh dàn. Các biến thiết kế là các diện tích tiết diện các thanh dàn. Các điều kiện ràng buộc cần thỏa mãn bao gồm: ràng buộc về điều kiện bền, ràng buộc về điều kiện ổn định Euler, ràng buộc về điều kiện chuyển vị, ràng buộc về điều kiện kiến trúc, ràng buộc về điều kiện độ mảnh giới hạn và các điều kiện ràng buộc khác trong quá trình thiết lập bài toán tối ưu.
2. Bài toán quy hoạch phi tuyến giải quyết theo phương pháp dựa trên chuỗi các chươngtrình tuyến tínhBài toán quy hoạch phi tuyến (Nonlinear Programming - NLP)
Phát biểu bài toán:
Tìm X = { X1 X2, .,Xn} ={X*}T = {X1*, X2*, , Xn*} sao cho: cực tiểu hóa hàm Z = f(X)
chịu các ràng buộc: gj(X) £ 0 j = 1, , m hj(X) = 0 j = 1, , k
L U
Xi £ Xi £ Xi
với 1 trong các hàm f(X), gj(X), hk(X) là hàm phi tuyến.
Nguyên tắc giải quyết bài toán: Một cách gần đúng, ta tuyến tính hóa các hàm phi tuyến thông qua việc khai triển chuỗi Taylor bậc nhất hàm mục tiêu và các hàm ràng buộc chung quang điểm X0, trên cơ sở đó, bài toán qui họach phi tuyến được phát biểu lại một cách gần đúng:
Cực tiểu hoá : f(X) = f(X0) + Ñ f(X0) d X Chịu các ràng buộc :
gj (X) » gj (X0) + Ñ gj (X0) d X
hk (X) » hk (X0) + Ñ hk (X0) d X
Ñgj (X0) d X £ 0, j = 1, , m (Feasible direction).
Ñhk (X0) d X £ 0, k = 1, , l (Feasible direction)



[TABLE]
[TR]
[TD][TABLE="width: 100%"]
[TR]
[TD]X

[/TD]
[/TR]
[/TABLE]
[/TD]
[/TR]
[/TABLE]
[TABLE]
[TR]
[TD][TABLE="width: 100%"]
[TR]
[TD]i i i

[/TD]
[/TR]
[/TABLE]
[/TD]
[/TR]
[/TABLE]
[TABLE]
[TR]
[TD][TABLE="width: 100%"]
[TR]
[TD]i

[/TD]
[/TR]
[/TABLE]
[/TD]
[/TR]
[/TABLE]
L £ X + δX £ XU

i = 1, , n (move limits)


Trong đó : d X = X – X0
Việc giải quyết bài toán qui họach phi tuyến dựa trên chuỗi các chương trình tuyến tính được thực hiện: chọn điểm xuất phát X0 nằm trong không gian thiết kế, đưa bài toán tối ưu về dạng qui hoạch tuyến tính bằng cách tuyến tính hóa quanh điểm X0 hàm mục tiêu và các hàm ràng buộc phi tuyến thông qua khai triển Taylor bậc nhất, tìm nghiệm tối ưu của bài toán dạng qui hoạch tuyến tính mới được thiết lập, lặp lại quá trình như trên (vòng lặp) trong đó nghiệm tối ưu có được từ vòng lặp kế trước chính là cơ sở để chọn điểm xuất phát cho vòng lặp tiếp theo, việc thực hiện vòng lặp liên tục cho đến khi kết quả được hội tụ thỏa đáng.
3. Quy hoạch tuyến tính và thuật toán đơn tínhXét quy hoạch tuyến tính ở dạng chuẩn:
n
min åcjx j
j=1
n
åaijx j £ bi , i = 1, , m
j=1


xj ³ 0, j = 1, , n
Việc đầu tiên là đưa biến bù vào và đặt tên mục tiêu là z:
n


Min z =

å
j=1
n

cjx j


wi = bi - åaijx j , i = 1, , m
j=1
Các hệ phương trình ở trên mà ta sẽ lập ở mỗi bước lặp gọi là các từ vựng (dictionary). Trừ z ra, các biến nằm ở vế trái các phương trình (tức là biến “phụ thuộc”) ở mỗi bước lặp gọi là biến cơ sở ở bước đó (basic variable). Các biến ở vế phải, tức là biến “độc lập”, được gọi là biến không cơ sở (nonbasic variable). Nghiệm nhận được khi cho các biến không cơ sở giá trị 0 được gọi là nghiệm cơ sở (basic solution). Vậy mỗi từ vựng xác định một nghiệm cơ sở tương ứng.
Ở đây khi tiến hành thuật toán đơn hình, biến ban đầu và biến bù được xử lý như nhau,
không phân biệt. Do đó ta ký hiệu lại thành một bộ biến x:
(x1, , xn, W1, , Wm) = (x1, , xn, xn+1, , xn+m).
Khi đó bài toán trở thành:
n
min z = åcjx j
j=1
n
xn+i = bi - åaijx j , i = 1, , m
j=1
Các hệ phương trình trên được gọi là từ vựng xuất phát. Nội dung của thuật toán đơn hình là chuyển từ một từ vựng sang một từ vựng khác với giá trị mục tiêu tốt hơn. Mỗi từ vựng có m biến cơ sở và n biến không cơ sở. Ta ký hiệu B là tập các chỉ số tương ứng với các biến cơ sở và N là tập các chỉ số tương ứng với các biến không cơ sở khi đó: N = {1,
, n} và B = {n + 1, , n + m}, nhưng chúng sẽ thay đổi sau mỗi bước. Ở mỗi bước, từ
vựng đều có dạng:
n
z = z + å cjx j
jÎN
n
xi = bi - å aijx j , i Î B.
jÎN
Ở đây dấu gạch trên ký tự để chỉ rằng đại lượng này thay đổi qua các bước.
Ở mỗi bước lặp, đúng một biến từ không cơ sở trở thành biến cơ sở, được gọi là biến vào (entering variable), và đúng một biến cơ sở trở thành biến không cơ sở, gọi là biến ra (leaving variable). Biến vào được chọn trong các biến có hệ số mục tiêu (tức hệ số trong hàm mục tiêu) âm để làm giảm hàm mục tiêu. Nếu không có hệ số mục tiêu âm thì nghiệm nhận được ở bước lặp đó là tối ưu. Nếu có nhiều hệ số mục tiêu âm ta được phép lựa chọn. Bây giờ ta chọn một cách tự nhiên (quy tắc thường dùng) là chọn biến có hệ số (âm) nhỏ nhất để hi vọng làm giảm hàm mục tiêu nhiều nhất. Khi đó ta vẫn còn độ tự do khi có nhiều hệ số bằng nhau.
Biến ra được chọn để đảm bảo tính không âm của các biến. Giả sử biến vào đã chọn là xk, tức là giá trị của nó trở thành dương. Khi đó các biến đang là cơ sở sẽ bị thay đổi và bằng:


Xi =

bi - aik xk , i Î B


xk được phép lớn đến mức mọi x1 ³ 0, i Î B. Tức là:


1 ³ aik
xk bi


, i Î B,


hoặc tương đương:
-1
æ aik ö
xk = ç max ư


è iÎB

bi ø


Ở đây ta quy ước 0 = 0 và ta sẽ xét sau trường hợp có số
0


bi = 0


và trường hợp không có



tỉ số


aik
bi


nào dương. Vậy quy tắc chọn biến ra là chọn biến có chỉ số l Î B mà

alk =
bl



[TABLE]
[TR]
[TD][TABLE="width: 100%"]
[TR]
[TD]ik .

[/TD]
[/TR]
[/TABLE]
[/TD]
[/TR]
[/TABLE]
æ a ö
max


ç
iÎB

bi ư


è ø
Sau khi chọn biến vào và biến ra, việc chuyển từ vựng sang từ vựng mới là nhờ các phép toán hàng. Toàn bộ việc làm này gọi là phép xoay (pivot). Vì có thể có nhiều biến vào và biến ra có thể lấy đều đảm bảo giảm hàm mục tiêu và các biến vẫn không âm, để tránh sự không xác định đó ta sử dụng quy tắc xoay (pivot rule).
Thực tế, có quy hoạch tuyến tính mà hàm mục tiêu có thể dẫn đến - ¥ trong miền chấp
nhận được. Trường hợp này sẽ không có nghiệm tối ưu. Ở đây, ta xét trường hợp không có



tỉ số

aik , i Î B, nào dương. Tỉ số này gặp phải khi tìm biến ra sau khi đã xác định biến xk là
bi


biến vào, tức là tăng từ 0 lên một số dương. Khi đó các biến cơ sở là:
xi = bi - aik xk , i Î B


bi và aik là cùng dấu (vì

aik £ 0 ) và là không âm. Do đó mọi biến cơ sở xi không thể từ
bi


không âm trở thành âm. Vậy biến vào có thể lấy giá trị lớn tùy ý để hàm mục tiêu tiến tới - ¥.
Lúc này ta nói là hàm mục tiêu không giới hạn nội, hoặc bài toán không giới hạn nội.
4. Thiết lập bài toán thiết kế tối ưu cho kết cấu dàn thép tiết diện ốngCác thông số hình học kết cấu
nemax: số lượng các thanh trong kết cấu dàn thép tiết diện ống;
njoint : số lượng các nút trong kết cấu dàn thép;
Ri, ri (i=1: nemax) lần lượt là bán kính trong và bán kính ngoài tiết diện của thanh thứ i;
Xi : diện tích tiết diện ngang của thanh dàn thứ i;
Cường độ tính toán chịu kéo, nén của thép: R, mô đun đàn hồi: E, mô đun chịu cắt của
vật liệu:G.
Chọn hình dáng tiết diện ngang thanh dàn:
Chọn hình dáng tiết diện ngang thanh dàn dạng tiết diện của thép ống.
Để cho việc tự động hóa thiết kế tối ưu được dễ dàng hơn, ta gắn:
ri = γRi (i = 1 : nemax)Với g là hằng số cho trước.
Lúc này ta có:

[TABLE]
[TR]
[TD][TABLE="width: 100%"]
[TR]
[TD]2

[/TD]
[/TR]
[/TABLE]
[/TD]
[/TR]
[/TABLE]
- Diện tích tiết diện thanh thứ i :